книги из ГПНТБ / Трофимов, А. М. Основы аналитической теории развития склонов (на примере осыпных и делювиальных)

3. Определение вида зависимости уклона крутостенного склона от его высоты

Если в общем характеризовать поле полученных точек графика 4, то можно отметить, что оно довольно узкой по­ лосой перемещается от нижнего правого угла к верхнему левому, т. е. показывает хорошо выраженную зависимость а (А).

Поле точек в полулогарифмическом масштабе может быть ограничено двумя прямыми параллельными линиями, верхняя из которых означает предел значения, выше которого не существует устойчивых высот крутых склонов, а нижняя

где Ш( — коэффициент прямой, можно записать значение пер­ вого предела (верхней линии) как

где - — переводный коэффициент масштйба графика по оси у

(в нашем случае для наглядности мы увеличили вертикаль-

График 5. Зависимость a(h), выраженная в полулогарифмическом масштабе (построена по данным, показанным на графике 4).

30

ный масштаб графика в 2 раза; отсюда, чтобы получить истинные значения, правую часть умножаем на .

Пользуясь тем, что значение тх, для обеих прямых имеет одинаковое значение и учитывая, что последние члены урав­ нений (1.1.2—2а) и (1.1.3—26) можно умножить на величину \пе (ибо 1 п е= 1), чтобы все члены уравнения были логариф­ мическими, из уравнений (1.1.2—2а) и (1.1.2—26) можно по­ лучить обобщенное уравнение для нижнего и верхнего пре­ делов, разница которых будет только в величине А. Судя по графику 5, величина А определяется общей высотой склона. Учитывая все сказанное получим

нальности.

Потенцируя (1.1.2—2в), будем иметь уравнение связи

§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ КРУТОСТЕННОГО СКЛОНА

Рассматривая профили крутых склонов, можно отметить

бровки) они становятся минимальными и довольно однознач­ ными на больших расстояниях.

Изучение крутых склонов горного массива Питон-дю-Кабре (центр, часть о-ва Мартиника), сложенного дацитами плио­ цена, проведенное Фогересом (Faugéres, 1966), показало, что все они имеют средние уклоны свыше 50°; к вершине же уклоны падают до 25—30° и ниже. Уменьшение уклонов крутых склонов к бровке характерно для всех изучаемых склонов. Бетюн (Bethune, 1967) показал, что в зависимости от характера соотношения между скоростью углубления долин и процессов выветривания происходит постепенное уменьшение уклонов крутых склонов от основания к вер­ шине. Вершинная часть склона при этом округляется. В соот­ ветствии с этим, в одной из работ (Трофимов, Бабанов, 1968) мы рекомендовали кривые распределения уклонов аппрокси­ мировать экспоненциальной убывающей функцией, нижний предел которой асимптотически стремится к нулю. Эту же зависимость дает уравнение (1.1.2—3). По аналогии с выво­ дами этих уравнений (а также аналогии суждений), характер распределения уклонов некоторых склонов изображается нами

31

графически в полулогарифмическом масштабе в врде прямых линий с различиями в угловом коэффициенте (гр. 6). На гра­ фике 6 по оси х отложены значения горизонтального проложения профиля склона (х), а по оси у — логарифмы уклонов; однако, в отличие от графика 5, они даны в значениях тан­ генса угла. Точки профиля каждого склона имеют довольно высокий коэффициент корреляции (от 0,997 до 0,780), позво­ ляющий судить о том, что они близки к прямой, выражаю­ щей обратную линейную регрессию и уравнение которой для каждого профиля приведено на графике. В соответствии с уравнениями (1.1.2 —1; 1.1.2—2а, б) общее уравнение для всех нанесенных на графике 6 прямых может быть записано

Проведем с уравнением (1.1.3—1) две операции:

— во-первых, заменим А0 через значение высоты склона следующим образом. Так как In Л0 = ln tg а0 можно выразить

tga0 через среднее значение уклона склона, введя коэффициент

ln А0 — In ТіА;

— во-вторых, для того, чтобы все члены уравнения (1.1.3—1) были логарифмическими, умножим последний член уравнения на величину Іпе (полагая \ п е = \ ) . Итак,

ln tg а = ln у,А — ktx -ln e.

В соответствии с выводом уравнения (1.1.2—3), из (1.1.3—1) получим

Применяя уравнение (1.1.3—2), были обсчитаны ряд профилей, некоторые из которых показаны на графике 7. На отдельном графике 8 показана кривая зависимости а (А), снятая с про­ филей соответствующих склонов (показаны сплошной линией), а также другая кривая (пунктирная линия) той же зависи­ мости по уравнению (1.1.3—2). Для каждого из склонов на графике 8 даны значения kt \ 7,, а также частные уравнения, составленные на основании (1.1.3—2). Все перечисленные профили крутых склонов характеризуются следующими зна­ чениями параметров уравнения (1.1.3—2) (см. таблицу 3).

Судя по графику 8, уравнение (1.1.3—2) вполне удовле­ творительно описывает зависимость а (А) крутого склона и, следовательно, вполне может быть применимо для этих целей.

Учитывая, что значение тангенса угла можно переписать в виде приращения dh/dx, из зависимости (1.1.3—2) можно

32

3-.316-Л

Т аблица 3

Значения А/; к,; А для крутых склонов, профиля которых изображены на графике 8

вывести уравнение профиля крутого склона. Действительно, переписав (1.1.3—2) в виде

выбирая граничные условия таким образом, чтобы при л: = 0 значение Л также было бы равно нулю, запишем уравнение профиля крутого склона или, заменив k fa — t

Сопоставляя уравнение (1.1.3—3) с (1.1.2—5) можно отме­ тить, что уравнение (1.1.3—3) является как бы частным'ре­ шением (1.1.2—5), а (1.1.3—4) — конечное решение частного уравнения (сравнить степени в уравнениях, под которыми стоит основание натуральных логарифмов). Из графика 6 мы видели, что положение прямой линии (1.1.3—1) определяется величиной коэффициента kt . Если kt стремится к нулю, пря­ мая параллельна оси х и в переводе в обычную (не полутогарифмическую) систему координат, профиль склона выра­ зится прямой линией. Точно так же, поменяв знак kt , можем получить иную профильную характеристику крутого склона.

Итак, изменяя значения коэффициента kt , можно получить

различия в профиле склона (то же — типы). С этой целью исследуем уравнение (1.1.3—1), умножив последний член на величину In е

34

(убыль величины угла в точке пропорциональна уклону). Другими словами, чем больше угол склона, тем скорее он

ния уклона, а само приращение может быть совершенно различным, логично следует мысль о выделении крайних пре­ делов значения »темпа“, соответственно чему могут быть выделены основные типы крутых склонов.

Пользуясь методом, предложенным Ю. В. Медведковым (1966) и Б. Л. Гуревичем (1967), который они применили для анализа уравнений Кларка (Clark, 1951) плотности распреде­ ления населения в городах, вернемся вновь к уравнению (1.1.3—5). Интегрируя это уравнение в пределах значений

(1.1.3-7)

вновь придем к уравнению (1.1.3—1), однако, в данном слу­ чае правую часть уравнения (1.1.3—7) оставим неизменной

А

ln tg а.х — ln tg cc0 = — J k-dx

о

либо используя первую операцию с (1.1.3—1)

X

(1.1.3—8)

о

h

X

График 7. Поперечные профили крутых склонов. Обозначения: 1, 2, 5 — уступы Сотнурской возвы­ шенности у дер. Шаренбал (МАССР); 3, 4 — про­ фили склонов балки (там же); 6, 7, 8 — склоны Горкинского оврага (окр. г. Казани).

Потенцируя (1.1.3—8), получим уравнение

X

в (1.1.3—2), а зависит от х. Соответственно изменениям при­ ращения уклона, выделяются морфологические типы крутых склонов:

1 тип. kt < О (А, = const). Применяя метод, с помощью которого было получено уравнение (1.1.3—4), можно пока­ зать, что профиль крутого склона будет в ы п у к л ы м .

2 тип. kt — 0. Приведенные выше рассуждения привели нас к выводу, что в данном случае профиль крутого склона

ный. Таким образом, судя по уравнению (1.1.3—9) подобными четырьмя типами может быть исчерпано все морфометриче­ ское разнообразие крутых склонов.

36

/

График 8. Распределение (приращение) уклонов по поверхно­ сти крутых склонов (1—8), изображенных на графике 7 (сплош­ ная линия) и кривые (точки) аппроксимирующего уравнения.

§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА k t ОТ СРЕДНЕГО УКЛОНА КРУТОГО СКЛОНА

Одним из выводов при анализе уравнений (1.1.3—6а) и (1.1.3—66) является предположение о наличии зависимости коэффициента kt от среднего ук­

лона склона. Это предположе­ ние станет очевидным, если вы­ писать из таблицы 3 все значе­ ния kt для склонов на графике 8 и сопоставить их со значения­ ми средних уклонов профилей (таблица 4).

График 9. Зависимость коэффициента К/ от среднего уклона крутого скло­

на (tga)-

37

Таблица 4 показывает прямую зависимость kt(tga); дру. гими словами, чем выше средний уклон склона, тем выше значение коэффициента к,. На графике 9 (вертикальная о с ь -

где z — коэффициент прямой.

Уравнение (1.1.4—1) для данного случая запишется в виде

В связи с малым количеством точек на графике 9, приведен­ ные значения коэффициентов носят частный характер, однако, сам характер линейной зависимости (с той или иной степенью точности) вполне может быть принят для записи уравнения общего вида.

Итак, описывая конфигурацию профиля крутого склона уравнением (1.1.3—4), нам, учитывая зависимость £,(tga),

совершенно не обязательно проводить расчеты для опреде­ ления kt . Его можно заменить значением среднего уклона

крутого склона, которое легко определяется в полевых усло­ виях и на профиле.

Подставляя (1.1.4—1) в уравнение (1.1.4—2), можно по­

§ 5. ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ МОРФОМЕТРИЧЕСКИХ ТИПОВ КРУТЫХ СКЛОНОВ

Для оценки выделенных четырех основных морфометри­ ческих типов крутых склонов, были выбраны четыре природ­ ных склона, каждый из которых характеризует один из типов (склоны уступа „карстового пояса“, окр. д. Шаренбал, МАССР).

Все склоны сложены породами татарского яруса (Яг). в со­ ставе которого переслаивание мергелей различного цвета, глин, алевролитов с подчиненными пластами известняков и, частично, доломитов. В том же случае, когда пласты извест-

38

профиль крутого склона становится сложным. Все склоны

выбраны с одинаковым общим уклоном (а = 56°—57°) и харак­ теризуются параметрами, приведенными в таблице 5 (профиля

В соответствии с построением графика 4 и выводом урав­ нения (1.1.3—2), данные таблицы 5 наносились на график 11, построенный аналогичным графику 4 образом. В результате

д а