книги из ГПНТБ / Трофимов, А. М. Основы аналитической теории развития склонов (на примере осыпных и делювиальных)

V

График 39. Кривые, иллюстрирующие различ­ ный ход отступания крутой части склона во времени: равномерный, замедляющейся и коле­ бательный (см. график 38).

Кривая этой функции показана на графике 39 (линия Б). Находя производную от функции (1.3.5—8)

~ == ( К е Р° sin ® t y — bx e ~ p>t (іо cos (o t — p 0 sin W)

запишем уравнение скорости перемещения точки перелома склона по уравнению (1.3.4—10) в виде

Глава 4. ЛИНЕЙНАЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИИ

ИНТЕНСИВНОСТИ ДЕНУДАЦИИ СКЛОНА А. Е. ШАЙДЕГГЕРА. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ И КРИТИКА

ТЕОРИИ. ПОДБОР КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ НАИБОЛЕЕ РЕАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ

Одной из наиболее завершенных теорий развития крутых склонов следует считать линейную и нелинейную теории ин­ тенсивности денудации А. Е. Шайдеггера (1964).

§1. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ДЕНУДАЦИИ

Врассматриваемых выше моделях денудационных процес­ сов в результате отложения материала у основания склона формируется цоколи коренных пород. Подобные модели бы­ ли Даны Беккером и его последователями*. Теория Беккера,

однако, применима и к незащищенным осыпным материалом

* Обзор работ дан у Стралера (Strahler, 1952) и Шайдеггера А. Е (1964).

120

склонам. Использование основных факторов денудации скло­ на без учета отложения материала у его основания — основ­ ная йдея теории интенсивности денудации А. Е. Шайдеггера

(1964).

Учитывая, что модели .развития крутой части склона по Беккеру происходит пѵтем параллельного отступания склона и выполаживанием (радиальная схема развития склона), А. Е. Шайдеггер систематически исследовал, какую форму склона можно получить в результате применения названных гипотез интенсивности денудации. Он выдвинул предположе­ ние, что могут существовать три основных характерных слу­ чая развития склонов:

Случай 1. Процессы денудации происходят с одинаковой интенсивностью в каждой точке склона.

Случай 2. Интенсивность денудации пропорциональна вы­ соте расположения точки над некоторым базисным уровнем.

Случай 3. Интенсивность денудации пропорциональна кру­ тизне склона.

Последнее положение свидетельствует о том, что по ме­ ре перехода склона к углу естественного откоса, скорости смещения продуктов выветривания убывают (или более кру­ той склон подвержен разрушению в большей степени, чем пологий).

Обозначая высоту склона через у, длину через х, он вы­

словами, изменяя масштаб времени, мы можем произвести замену

ние.

Начальная форма склона представляет собой произволь­

121

Данное уравнение решается А. Е. Шайдеггером графи­ чески; отступание склона идет параллельно с равномерным понижением высот всех точек склона.

Случай 2 (гр. 40 А-2). Дифференциальное уравнение

с начальным условием (1.4.1 — 7) имеет решение

В этом случае за определенное количество времени все вы­ соты сокращаются пропорционально горизонтальному проложению склона. Если склон был прямолинейный, то изменение его можно назвать центральным отступанием (по радиальной схеме).

Случай 3 (гр. 40, А-3).

Дифференциальное уравнение

с начальным условием (1.4.1— 7) имеет решение

При графическом разборе этого уравнения профиль склона смещается в правую сторону. Если вначале склон прямоли­ нейный, то отступание его будет строго параллельным.

§ 2. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ДЕНУДАЦИИ

Указывая на некоторую схематизацию линейной теории А. Е. Шайдеггер добавляет, что процесс денудации действует нормально к склону, так что вертикальное понижение пред­ ставлено вертикальным эффектом воздействия денудации с направлением, перпендикулярным склону.

В соответствии с этим и в отличие от случая линейной теории, А. Е. Шайдеггер дает другую, нелинейную формулу, более близко описывающую естественный процесс (гр. 40 Б).

.122

График 40. Графическое выражение развития склонов по линейной (А) и нелинейной (Б) тео­ риям интенсивности денудации А. Е. Шайдеггера. А — модели склонов, показывающие характер развития с учетом коэффициентов а , ß, у в со­

отношениях, предложенных А. Е. Шайдеггером. Б — модели склонов, показывающих характер развития с учетом тех же коэффициентов, най­ денных для наиболее реальных моделей (в пре­ делах теории А. Е. Шайдеггера).

рассматривая в качестве функции воздействия на склон

порционален величине самого действия (Ф) для любой точки, но зависит от наклона склона в каждой точке.

Однако методы, предложенные А. Е. Шайдеггером, очень неудобны ввиду того, что они разобщены, приближенны и требуют непосредственного знакомства с техникой вычисле­ ния на электронно-вычислительной машине. Кроме того, не­ которые допущения нуждаются в серьезной критике.

§ 3. КРИТИКА ТЕОРИЙ

Три перечисленных выше закономерности процесса фор­ мирования склона не могут быть равноценными для природы. Очевидно, что первая закономерность, устанавливающая

123

равномерность разрушения склона по всей его поверхности,— независимо от высоты расположения данной точки и крутизны склона — не может быть реальной. Даже простые атмосфер­ ные воздействия (температура, влажность и т. п.), не говоря уже о собственно процессе денудации, не могут быть вне зависимости к высоте и крутизне склона. В нелинейной тео­ рии условия этого случая несколько выправляются, однако, он остается еще весьма нереальным.

Второй закон А. Е. Шайдеггера дает возможность учета одного существенного фактора интенсивности разрушения склона: высоту расположения рассматриваемой точки на склоне. При этом, однако, получается, что разрушение водо­ раздельной горизонтальной поверхности происходит быстрее, чем сам склон. Это также нереально. Этим законам верно отражается только то положение, что интенсивность разру­ шения склоновой поверхности при отсутствии подмыва тем больше, чем выше область на склоне (см., например, Спири­ донов, 1951; Маккавеев, 1955)*.

Третий закон подмечает наиболее существенный и реаль­ ный фактор, влияющий на интенсивность разрушения склона, зависимость ее от крутизны склона, независимо от высоты расположения рассматриваемой точки. При этом оказывается, что на плакорных участках денудация вообще не имеет места. Это тоже нереально, ибо плакорные участки также подвергаются разрушению, хотя в значительно меньшей сте­ пени, чем наклонные.

В нелинейных формулах законов А. Е. Шайдеггера эти резкие границы между тремя случаями несколько сглажива­ ются, так как всюду вводится коэффициент, отражающий крутизну склона.

Таким образом, приходим к выводу, что все три формулы А. Е. Шайдеггера, взятые по отдельности, дефектны. Наиболее существенный фактор учитывает третья зависимость, менее существенный — вторая, и почти нереальная — первая зависи­ мость.

Учитывая критику теории, наиболее правильным будет обобщение этих законов, где реальное значение каждого из природных факторов будет учтено величиной соответствую­ щего коэффициента. При этом, обобщенное уравнение будет описывать наиболее естественные формы развития склонов при условии равенства нулю коэффициента, соответствую­ щего первому случаю А. Е. Шайдеггера и когда второй коэффициент значительно меньше третьего.

* Существует, однако, область отсутствия эрозии близ водораздельной полосы (Хортон, 1948; Козьменко, 1949).

124

§ 4. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ДЕНУДАЦИИ

Линейный случай

Исходя из вышеизложенного и полагая, что природный процесс включает в себя весь комплекс факторов, соотноше­ ние которых, правда, может меняться в силу тех или иных обстоятельств, целесообразно рассмотреть развитие склонов по данной теории в обобщенном виде (Митин, Трофимов, 1964).

Соответственно этому вводятся коэффициенты і, Р и і (для каждого из трех случаев). Введение коэффициентов не­ сколько упорядочит общую теорию, ибо учтет, что в общем развитии склона процент пропорциональности интенсивности

Уравнение (1.4.4— 1) является линейным неоднородным диф­ ференциальным уравнением в частных производных. Решение его распадается на два случая:

1. М О ,

2 . р = 0 .

1. ß =f=0 .

Введением неявной зависимости

Последнее легко решается с помощью сведения задачи к ре­ шению системы обыкновенных дифференциальных уравнений *, общий интеграл которых дает решение уравнения (1.4.4 —4) в виде

* См., например: В. И. Смирнов (1954).

125

Отсюда

где Ф — произвольная функция от ( t + —^ .

Используя начальное условие (1.4.4 — 2), получим решение задачи Коши для уравнения (1.4.4 — 1) в виде

2. ß = 0. Решается аналогично предыдущему. Общее ре­ шение записывается следующей формулой:

Анализируя формулы (1.4.4 — 7; 1.4.4 —8) приходим к вы­ воду, что изменение формы склона сводится к замене, вопервых, аргумента на (л: + yt). Таким образом, график будет смещаться вправо или влево по оси х на величину |?| А Так как склон отступает в сторону водораздела, то естественно принять 7 с отрицательным знаком.

Во-вторых, множителем перед функцией f ( x + 7О является величина ехр[3/]. Очевидно, что высота склона не может увеличиваться в результате денудации, так что ß < 0 .

Второй член справа в формуле (1.4.4 — 7) должен быть отрицательным так как смещение профиля склона может происходить только в сторону уменьшения у. Отсюда сле­ дует принять а < 0 .

Итак, все коэффициенты а, ß, 7 являются отрицательными величинами. Заметим, что в случаях линейной теории они принимали значения (соответственно)

3)0 , 0 , - 1 .

Нелинейный случай

Так же, как и в линейном случае наше обобщение будет заключаться в том, чтобы рассмотреть взамен (1.4.2-- 1) уравнение

126 .

При решении уравнения (1.4.4 —9а) наиболее удобно при­

Последнее является линейным неоднородным уравнением в частных производных, метод решения которых был нами

127

цированием и подстановкой.

Из этих уравнений можно х, £, у выразить через функцию

(последние четыре равенства получены с помощью системы уравнений (1.4.4 — 16)) можно найти функцию /, а с помощью ее и решение нашей задачи

склона. Другими словами, тангенс угла наклона по истечении

(1 .4 .4 -1 8 )

S - j / ‘ +(£)'(■ + ’ с)-

Последнее будем решать с помощью теории характеристик.

128

Характеристическая система для данного уравнения будет