книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

матрицы Нп-х) будет изменять в характеристике только вторую составляющую, причем всякий раз увеличивая ее на две единицы.

Несколько иная картина получается при нечетном к = = 2т — 1 ( > 0). Матрица Е п- т-\ (см. (10.7)) снова со­ храняет ранг г (поскольку 2п — 2т — 2 = 2п — к — 3 < < 2п — к — 1) и характеристику (г, 0). Что же касается матрицы Нп- т, то она теперь имеет вид

т. е. ее (г, ^-характеристика выглядит так: (г, 1). Припереходе к дальнейшим продолжениям Я п_т+1, / / ^ + 2,... эта ха­ рактеристика будет переходить в (г, 3), (г, 5) и т. д., поскольку снова от добавления строки и столбца «испорчен­ ная» диагональ, состоящая из элементов s2n-fc-1, будет отда­ ляться от правого нижнего угла всякий раз дополнительно на две позиции.

ганкелевойматрицы Нп-г число к^>0. Обозначим т = j^—у - J ([а] — целая часть а). Тогда ранг матрицы Нп- т-\ ра­

или нечетности к характеристика имеет вид (г, 2) при к =[2т или (г, 1) при к = 2т — 1. У всех дальнейших продолжений Hn- m+v(0 <; v т — 1) характеристика при чет­ ном или нечетном к имеет соответственно вид (г, 2 + 2v)

или (г, 1 + 2v).

Примеры и упражнения

т. е. (г, /^-характеристика матрицы Н3 имеет вид (3, 0).

2.Проверить, что у ганкелевой матрицы

0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 IU = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

(г, /^-характеристика имеет вид (2, 2).

У к а з а н и е . Сравнить Я 4 с матрицами Hi, Нз, Н 3 и Я 4 при­ мера 5 к § 9 и воспользоваться выводами этого примера.

3. Найти (г, /^-характеристику ганкелевой матрицы

Ответ. (2,1).

У к а з а н и е . Для вычисления константы к можно восполь­ зоваться формулами (9.4) и результатом упражнения 6 к § 9.

4.Найти (г, /^-характеристику ганкелевой матрицы

Ответ. (2, 3).

У к а з а н и е . При вычислении константы к воспользоваться результатом упражнения 7 к § 9.

рое утверждение леммы становится бессодержательным, мы можем и в этом случае формально придать ему смысл, положив (по определению)

П_г = D-! = 1 {Ф 0).

Пусть теперь г -f к 0. Заметим, что при к — 0 оба утверждения леммы тривиальны, ибо по определению кон­

где звездочками заменены все прочие (не интересующие нас сейчас) элементы последних к рядов матрицы Нп~г. Для вычисления определителя Б г+к_х воспользуемся резуль­

татами § 3. А именно, рассмотрим матрицу Нп-1 — особое продолжение матрицы Нг (ранга г) и построим минор

(при г = 0 левый верхний угол, т. е. D ^ , здесь отсутст­ вует). Здесь символами s’v (v = 2п — к — 1,. .. , 2п — 2)

обозначены попавшие в состав минора М(Р элементы по­ следовательности (Ю.З), задающей все особые продолже­ ния матрицы Нт(заметим, что в силу формул (10.5) все

диагональ, состоящую из элементов sin-k-i, соответству­ ющей диагональю исходной матрицы Я п_17 т. е. элемен­ тами Szn-ic-!- Учитывая предложение 1° из § 3, мы не изменим величины полученного таким образом нового оп­

ределителя МкГ) (szn-k-i) (см. (3-4)), если и все прочие его элементы, т. е. элементы, стоящие в его правом нижнем углу под диагональю заменим соответствующими элементами исходной матрицы Нn_2. Но в последнем слу­ чае мы получим (см. условие леммы) минор 0 г+к_х, так что, учитывая лемму 3.1 в форме (3.5), имеем

равен г -{- 2. Каждый следующий шаг продолжения, т. е.

перехода от Нп—т к Нп- т+х, Нп~т+2,- . ., -Sn-m+v,. . . , бу­ дет по теореме 10.1 давать матрицы с характеристиками

(г, 4), (г, 6),. . (г, 2 + 2 v),.. ., а ранги их будут соот­ ветственно равны г + 4, г —]—6, .. ., т* —)—2 —]—2v,. . . Про­ цесс закончится полным восстановлением матрицы Нп-г = = Лп-т+(т-1'>, ранг которой по этому правилу подсчи­ тывается так:

р = г + 2 -| -2(щ — 1) = г 2т = г -\г к.

Если же к нечетно (к = 2т — 1), то характеристика матрицы Нп-т имеет вид (г, 1). Ранг Нп-т в силу леммы 11.1 не меньше, чем г 1. Но он в точности равен г 1, так как

•

П—W—1

• • • s2n-k-l

и отбрасывание последней строки приводит к прямоуголь­ ной матрице, не содержащей «испорченного» элемента s2n-k-i (см. п. Ю-2), но включающей блок Нп- т-х (и по­ давно Нг). Ранг этой прямоугольной матрицы равен поэ­

11.1ранги этих продолжений будут соответственно равны

г+ 3, г + 5,. . ., г + 1 + 2v,... Стало быть, у исходной

матрицы Нп-г = Нп- тНт-1) ранг равен

p = r - | - l - ( - 2 ( m — 1) = г 4 2яг — 1 = г 4 - к.

ганкелева матрица ранга р, а число г определяется соотно­ шениями (10.2), то отличен от нуля минор D p_x(порядка р) этой матрицы, составленный из первых г и последних р — г ее рядов.

ной Фробениусом теории ганкелевых матриц (см. мемуар Фробениуса [44] или, например, изложение этой теории

(а в случае г = 0 просто взяв) сперва одну последнюю строку и один последний столбец матрицы Нп-Х, образуем минор В Тпорядка г + 1; затем присоединим к Dr^ две последние строки и два последних столбца матрицы Нп-Хи образуем минор В г+1 порядка г 2 и т. д., пока это позволяют от­ носительные размеры маШрицы Пп-Хи минора Dr^x.

dt-1+4^°

и г + к = р есть ранг матрицы Нп-Х.

Другим почти непосредственным следствием теоремы

11.1является

Те о р е м а 11.4. Если в (г, к)-характеристике ганкелевой матрицы Нп-Х ранга р число к )> 0, то любое продолжение Нп матрицы Нп-г (т- е. продолжение по­

*) В работе [44] Фробениус, помимо константы г, вводит для каждой гаикелевой матрицы также константу к, определяемую (как теперь ясно, несколько формально) равенством к — р — г.

**) См. также упражнение 7 в конце параграфа.

***) tjT0) впрочем, впервые отмечено лишь в [28]. Как справед­ ливо заметил автору Т. Я. Азизов, при малых по сравнению с п величинах г ранг р = г к матрицы Нп_х экономнее искать не по

этому правилу, а непосредственно вычисляя составляющую к § (г, /^-характеристике методами § 10,