книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория
.pdf200 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
МАТРИЦ |
[ГЛ. IY |
||
|
Итак, система (18.36) однозначно разрешима относи |
||||
тельно чисел ср (р = |
0, + 1, . . |
+ |
га). Составив из них |
||
тешгацеву матрицу |
Тп — |cp-q||р,5=0, |
видим, |
что по тео |
||
реме 18.3 она обратима и может быть восстановлена по формуле (18.18).
18.10. Переходя к задаче обращения ганкелевых мат
риц |
Нп = |Sj+h К я-=0 |
порядка |
п + 1, |
напомним, что |
после |
умножения такой |
матрицы |
справа |
на матрицу |
|
|
0 0 . . . |
0 1 |
|
0 |
0 . . . |
• |
|
О |
1 |
|
|
1 |
0 . . . |
1 |
0 |
. . |
|
О |
О |
0 |
0 |
(см. п. 17.1) также порядка га + 1, получим теплицеву матрицу
HnJ,71+1 |
-- |
аП -- ьр-<1 р. 3=о, |
|
||
|
— |
т |
= |
|
|
элементы которой схр |
связаны с элементами sk исходной |
||||
матрицы Нп формулами (ср. |
(17.3)) |
|
|||
Ср — sp+n |
(р — 0, |
r^ l, . . ., + га). |
(18.38) |
||
Заметим далее, что обратимость матрицы Нп эквива |
|||||
лентна обратимости Тп, |
и при этом (см. (17.8)) |
|
|||
(Ттп)-1 = |
(HnJn+1) - х = Jn+1Hn\ |
|
|||
или |
|
|
|
|
(18.39) |
Ж ? = |
Jn+^Tl)-1. |
||||
Таким образом, для ганкелевых матриц в качестве не посредственного следствия теоремы 18.1 получается
Т е о р е м а 18.7. |
Если |
ганкелева |
матрица Нп = |
|||
■—||Sj+k ID) я-=о такова, |
что каждая из систем уравнений |
|||||
П |
|
|
(р = |
0, |
1, |
. . ., га), |
2 |
Sp-q+n%q = бро |
|||||
q = 0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
Sp-q+nl/q-n — |
б р п |
(? = |
0, |
1, |
. . ., га) |
g = 0
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 201
разрешима и выполнено условие х 0 =j= 0, то матрица Нп — неособенная, и обратная к ней строится по формуле
0 0 .
0 0 .
х0- 1
о О
•* 0 * 1
Уо У -1 |
У-п |
|
0 |
Уо |
У—71+1 |
|
||
|
х о * 1 |
• |
• |
жп - 1 |
Хп |
0 |
|
|
|
||||||
0 |
0 |
|
. |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
О |
о |
1 А |
71 |
0 0 |
|
•0 у_пУ _ п + 1 |
|||||
0 2 /_ 71 * |
* |
•У-з У-ги-1 |
|
||||
0 |
|
Уо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II 0 |
х п х п-1 . |
. |
. |
£ 1 |
||
0 |
0 |
Xп . |
. |
. |
Х2 |
|
: • |
|
■ |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
■ |
* |
• |
0 |
0 |
0 |
0 |
. |
. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о сводится к внесению выра
жений (18.38) для d (вместо ср) в системы (18.1) и (18.2) и умножению обеих частей формулы (18.3) (в соответ ствии с (18.39)) слева на матрицу / п+1 (т. е. — к переста новке в обратном порядке столбцов левых сомножителей каждого из двух произведений, стоящих в фигурных скоб ках формулы (18.3)).
Ясно, что можно было (см. п. 17.1) от матрицы Нп пе реходить не к Tl, а к теплицевой матрице
Тп — Jп+гНп = I С р -д ||р,7=о
с элементами (ср. (17.3))
Ср = s-p+n (р = 0, + 1, . . ., + п). (18.40)
Тогда мы пришли бы к теореме 18.7' («двойственной» теореме 18.7), которая получается из теоремы 18.1, если выражения (18.40) для сР внести в формулы (18.1) и (18.2) вместо ср соответственно и переставить в обратном порядке строки правых сомножителей в каждом из двух произ ведений, стоящих в фигурных скобках формулы (18.3) *).
*) Интересно, что перестановка в обратном порядке строк (столб цов), т. е. умножение матрицы слева (справа) на матрицу / п+1, ши
роко применяется для обращения иными методами самих тешгацевых и блочно-теплицевых матриц (см., например, уже упоминавшиеся в подстрочном примечании на стр. 171 работы [57], [39а]).
202 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
Предлагаем читателю самостоятельно переформули ровать для ганкелевых матриц теоремы 18.2—18.4, при чем каждую — в двух вариантах, использующих форму лы HnJn+1 = Тп и Jn+1Hn — Тп соответственно *).
Примеры и упражнения
1.Для теплицевой матрицы
|
0 |
1 |
—1 |
£ |
|
Г з = |
£ |
о |
1 |
—1 |
|
0 |
£ |
0 |
1 |
||
|
|||||
|
о |
о |
£ |
0 |
выпишем системы (18.1) и (18.2):
|
|
|
+i®3= 1, |
|
У-ъ - У - у |
+ |
£2/о = |
°- |
|||
ixo |
+ж2— ж3 = 0, |
ixJ- з |
+ 2 /_ ! |
— |
2/0 = |
° . |
|||||
|
ix1 |
+ |
*3 = |
0, |
*3/-г |
|
+ |
У о = |
°> |
||
|
|
|
ix3 |
= |
0; |
|
»</_! |
|
= |
1- |
|
Их решения таковы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
i |
*0 — — |
2 |
’ |
|
|
|
*2 = |
° , |
|
жз = |
"2~ |
|
|
|
|
£ |
|
|
£ |
|
|
|
|
1 |
У-ъ = |
1 + |
~ |
- |
У - г ~ ~ |
2 ’ |
У - Х = |
— *, |
Уо -------- 2“ ■ |
|||
Условие |
х о ф О |
выполнено. Поэтому |
(см. (18.3)) |
|
|
||||||
|
—Va |
0 |
0 |
|
2 |
Va |
-V a |
0 |
|
0 |
Va |
-V a |
||
|
||||
|
—£/a |
0 |
Va |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 + £/2 |
0 |
0 |
||
|
i/2 1 -|- i/2 |
0 |
||
|
i |
— i/2 |
+ |
|
0
0
0
-V a 0
0
0
to О
|
—Va —£ |
—£/г 1 + £/а |
||
|
0 |
—Va —1 |
— »/а |
|
|
0 |
0 |
— Va |
— £ |
|
0 |
0 |
0 |
—i/a |
0 |
—i/2 |
0 |
1/а |
|
О |
О |
—£/2 0 |
_ |
|
0 |
0 |
0 |
—£/2 ' — |
|
О |
О |
О |
О |
|
*) В самое последнее время (уже после опубликования статей [16, 17]) обнаружился еще один подход к теоремам 18.1 и 18.3 и соот ветствующим результатам для гаикелевых матриц. Этот подход, ос нованный на известном алгебраическом понятии безутианты двух многочленов (см. [7]), развит Ф. И. Ландером [36а].
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 203
7l |
i/2 |
|
74 |
- |
72 - |
74 |
|
- ’А - |
72 + Vi |
|
74 |
|
72 + |
72 |
|
0 |
-7.1 |
- |
72 + |
Vi |
74 |
|
|
74 |
- 1/* |
|
-7 2 |
- |
г + |
72 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
- |
72 + 74 |
0 |
7* + |
74 |
|
|
0 |
|
-7.1 |
- 72 + 74 -7 4 |
|||
|
0 |
|
- 7 г |
-7 4 |
- £+ 7* |
||
|
|
|
|
- 7 2 |
—t |
—72 1 + 7 2 |
|
|
|
|
|
72 |
0 —72 |
—72 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
—1 |
|
|
|
|
—72 |
0 |
72 |
- 7 2 |
Проверка: |
|
|
|
|
1 0 0 0 |
|
|
i |
—72 |
1 + 7 2 |
|
|
|
0 |
—72 |
— 72 |
0 1 0 0 |
|
|
0 |
0 |
—i |
0 0 1 0 |
|
|
0 |
72 |
- 7 2 |
0 0 0 1 |
2. Для матрицы примера |
1 |
рассмотреть усеченную матрицу |
|||
|
0 1 |
—1 |
|
|
|
Тг = |
i |
0 |
1 |
|
|
|
0 i |
о |
|
|
|
и, пользуясь данными примера 1, построить по правилу (18.11) мат
рицу |
Т ? . |
|
|
1 |
|
|
■i |
—i |
|
|
Ответ. 7121 |
0 |
0 |
—г |
|
|
■1 |
0 |
—i |
3. |
Показать, что в теореме 18.1 условие х о ф О является сущест |
|||
венным — привести пример, когда системы (18.1) и (18.2) р а з р е
ш и м ы , но хо = |
0 и матрица |
Тп оказывается о с о б е н н о й . |
У к а з а н и е . |
Такие примеры возможны уже при п = 2, т. е. |
|
для теплицевых матриц третьего |
порядка. |
|
4.Доказать, что при п < 2 нельзя построить пример, требуемый упражнением 3.
5.Условие хо ф 0 теоремы 18.1 существенно еще и в том смыс ле, что при его нарушении матрица Гп, хотя и может оказаться не
особенной, но обратная к ней матрица Г”1 не определяется реше ниями систем (18.1) и (18,2), Это уже было показано в конце и. 18,§
204 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
МАТРИЦ |
ЕГЛ. IV |
||
(см. (18.32)) на примере матрицы |
|
|
|
||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
Построить другие |
примеры такого |
рода. |
|
||
6. Убедиться, |
что для неособенной теплицевой матрицы |
||||
|
|
0° |
i |
\\ |
|
||1 ОI
хотя и хо— 0, тем не менее решения систем (18.1) и (18.2) вполне определяют эту (а стало быть, и обратную к ней) матрицу *).
7. Обратить матрицу Т3 примера 5 по методу, изложенному и. 18.4.
0 0 1 0
0 0 —1 1
Ответ. Тдг =
1 —1 0 0
0 1 0 0
8. Матрицу Тз примера 1 обратить по методу теоремы 18.3 (по формуле (18.18)).
9.Обратить по методу теоремы 18.4 матрицу
iо 1
7^0,3_ |
О |
i |
О |
Х 2 |
|
|
|
|
О |
0 |
i |
(порожденную матрицей Т3 упражнения 1).
— i 0 1
Ответ. (Г®-3)-1 = 1 0 — £ 0
0 0 —i
10.Матрицу Т3 примера 5 обратить по методу, изложенному
п. 18.7.
|
|
|
Ответ. См. упраяшение 7. |
И . Показать, |
что условие i n ^ O |
в теореме 18.3 существенно |
|
(ср. упражнения |
3 и |
5). |
|
*) Таким образом, |
условие хо Ф 0 хотя и существенно, но н е |
||
н е о б х о д и м о , |
причем не только |
для обратимости теплицевой |
|
матрицы Тп (это было видно уже из примера 5), но и для того, чтобы решения систем (18.1) и (18.2) определяли обратную матрицу.
§ 19] |
ВЗАИМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
205 |
§ 19. Взаимные преобразования тешшцевых
иганкелевых форм
19.1.Результаты § 17 относительно взаимных преоб разований теплицевых и ганкелевых матриц наводят на мысль об их применении к преобразованиям соответ ствующих эрмитовых и квадратичных форм. Однако на этом пути нас сразу ожидает разочарование. Прежде всего заметим, что для произвольной эрмитовой теплицевой фор мы (порядка п)
п—1
T V l ( х , х ) = |
2 0 > -4 ^ Р ?4 |
(^ - р = ^р> |
Р = 0 , 1 , . . . , П |
1 ) |
|||
|
Р. 4 = 0 |
|
|
|
(19.1) |
||
|
|
|
|
|
|
||
матрица |
Тп-г = |
|ср^д ||р,-д=о |
после |
преобразований |
(см. |
||
п. 17.1) |
H U |
= Tn^Jnj |
Hn-i = |
JnTn-x |
|
||
|
|
||||||
приводит |
к ганкелевым |
матрицам Нп-1 , S n-i, которые |
|||||
невещественны |
(а стало |
быть, н е э р м и т о в ы — см. |
|||||
п. 9.1), е с л и |
н е в е щ е с т в е н н а м а т р и ц а |
Т„_!• |
|||||
Поэтому в общем случае у нас нет возможности с помощью
H U ( и л и H U ) образовать ганкелеву эрмитову или вещественную квадратичную форму и сопоставить ее с
формой (19.1). |
поэтому |
в е щ е с т в е н н ы м и |
квад |
||
Ограничимся |
|||||
ратичными теплицевыми формами, т. |
е. формами |
|
|||
|
|
п—1 |
|
|
|
Тп-х(х, X) — 2 |
<'p-g£p5g |
|
|||
|
|
Р, 4 = 0 |
|
|
|
(с_р = |
ср, р = |
0, 1, |
. . ., |
П — 1) |
(19.2) |
с вещественными симметрическими теплицевыми матри
цами |
Тп-г = I ср- q 1^=0. Теперь ганкелева |
матрица |
Hn-i = |
H U — H U = |sj+k HDlLo вещественна |
(и, как |
всегда, симметрична) и потому определяет квадратичную ранкелеву форму
'П — 1
2 si+fcTbTl/f? |
(19.3) |
Ь
206 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ [ГЛ. IV
коэффициенты которой sk связаны с коэффициентами ср формы (19.2) простыми соотношениями (см. (17.2) и (17.3))
s k = c ft-(n-1 ) = |
|
(/с = 0 , 1, . . ., 2 п |
2 ), |
|
Ср — Sp+(7i-i) = |
5- р+ (n-i) |
(Р — 0» + |
• • •> d= |
(и— !))• |
Таким образом, |
матрица |
ffn-i = lty+JEut=<> симметрич |
||
на не только относительно главной, но и относительно побочной диагонали. Поэтому мы должны ограничиться формами (19.3) именно с такими матрицами, если поже лаем двигаться и в обратном направлении — от ганкелевых к теплицевым матрицам.
Естественно поставить вопрос: как преобразуются ос новные инварианты форм — ранги и сигнатуры — при указанных выше преобразованиях, каковы правила их пересчета? Однако такая постановка оказывается некор ректной. Уже простые примеры показывают, что ранг и сигнатура, скажем, формы (19.2), вообще говоря, не определяют сигнатуры соответствующей формы (19.3) (ран ги форм(19.2) и (19.3), разумеется, совпадают, ибо матрицы
Тп |
и |
Я п-х этих форм отличаются друг от друга только |
||||
порядком следования строк (столбцов)). |
(порядка |
|||||
п = |
П р и м е р . Пусть теплицева форма Т2 (х, х) |
|||||
3) |
определяется матрицей |
|
|
|||
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
Тг |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
с последовательными главными минорами D -x = |
1, D 0 = |
|||||
= i, D1 = О, D2 = —1. Ранг ее и сигнатура равны соот ветственно: р = 3, ат, = 1 (по правилу (16.6) или по тео реме 8.2). Соответствующая ганкелева матрица Н2 = JST2 имеет вид
0 1 1 Нг = 1 1 1 1 1 о
еепоследовательные главные миноры равны:
~1» D§50, Di ~ —1, D%—1,
I 191 в з а и м н ы е Пр е о б р а з о в а н и я 20?
так что (по правилу Фробениуса (12.20) или по теореме
8.2) бя§ = - 1, |
|
|
Рассмотрим теперь теплндеву матрицу |
||
1 0 |
2 |
|
Т* = 0 |
1 |
О |
2 |
0 |
1 |
снова порядка' п = |
3 и ранга р = |
3. |
Сигнатура соответ |
|||
ствующей формы Т2 (х, х) |
(поскольку D -г = |
1, |
D 0 = 1, |
|||
2?! = 1, D2 = — 3) |
равна: |
Of = |
1, |
как и |
у |
формы |
Т2 (х, х).
Однако у ганкелевой формы Й2 (х, х) с матрицей
2 |
0 |
1 |
{JST2= )H 2 0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
и последовательными главными минорами D_x = 1, D0 =
= 2, D[ = |
2, D2 = 3 сигнатура равна: |
= 3. |
19.2. |
Отрицательный результат, |
обнаруженный в |
п. 19.1, не должен нас обескураживать. В действительности оказывается, что существуют неособенные линейные пре образования независимых переменных, переводящие про извольные эрмитовы теплицевы формы в эрмитовы ганкелевы формы и обратно (здесь допущена некоторая воль ность речи — точные утверждения см. ниже). Речь идет
о преобразованиях |
Э. Фишера — Г. Фробениуса, |
кото |
|
рыми мы сейчас займемся. |
числа, |
||
Пусть а и |
b — произвольные комплексные |
||
о т л и ч н ы е |
о т |
н у л я , а п — натуральное |
число. |
Зададим линейное преобразование (комплексных) пере менных (|0, 1ц . . ., £„_*) в (комплексные) переменные
Ole» |
Tli> •• |
Tin-i) |
следующим образом. Рассмотрим тож |
||
дество |
|
|
|
|
|
So + |
h* + |
S2e2 + |
- + ^ - xen-i = |
|
|
|
= |
(a + |
ae)n- Lri0 + |
(a + аг)п~г {b + |
be) % + ... |
|
|
f. . . + (b + |
be)71"1^ - ! |
( Ф .- Ф .) |
|
двух многочленов, в котором е — независимая перемен ная. Если в многочлене, стоящем справа, раскрыть все
208 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
скобки, а затем сравнить коэффициенты при одинаковых степенях е в левой и правой частях, то получим соотно шения вида
n—1 |
|
|
£Р= 2 арЯ; |
(р = 0 ,1 , ... , п — 1), |
(19.4) |
3=0 |
|
|
задающие искомое линейное преобразование, которое мы назовем преобразованием Фишера — Фробениуса *) (сокра щенно — преобразованием (Ф .— Ф.)).
1°. При дополнительном требовании
Д ~ ab — аЬ 0 |
(19.5) |
преобразование (19.4) является неособенным.
В самом деле, при условии (19.5) имеют смысл взаим
но обратные дробно-линейные преобразования |
|
||||
|
а __ &+ ^6 |
|
р _ |
|
|
|
а + ае |
’ |
Ь— ад ’ |
|
|
в силу которых соотношение (Ф .— Ф.) можно |
переписать |
||||
в виде |
|
|
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
|
(аЬ — ab)n_1 2 |
Фц; = |
|
|
|
|
з'=о |
|
|
|
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
= |
2 Ф — ай)п_1_г (ай — Ъу £р. |
(Ф. — Ф. bis) |
|||
|
р=0 |
|
|
|
|
Сравнивая здесь коэффициенты при одинаковых |
степенях |
||||
й, получим |
соотношения |
|
|
|
|
|
п-I |
|
|
|
|
■Пз = 2 М ;р |
(/ = |
о, 1 , . . . , п — 1), |
(19.6) |
||
|
р=0 |
|
|
|
|
являющиеся обращением линейного преобразования (19.4). |
|||||
19.3. |
Найдем теперь явные выражения для коэффици |
||||
ентов apj преобразования (19.4). |
|
|
|||
*) Соотношение (ф. — Ф.) предложено Г. Фробеииусом [45]. Оно обобщает введенное ранее Э. Фишером [43] преобразование, ко
торое получается из (Ф. — Ф.) при частных значениях а = 1/2,
ъ = —иг.
19 |
ВЗАИМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
209 |
* ] |
|
2°. Коэффициенты преобразования (19.4) вычисляются
по формулам |
|
|
|
|
ар} = ап~1~Ф1~рЬр |
2 |
C Li-jC r!i [-J-) |
|
|
|
|
Ц = 0 |
' аЬ 1 |
|
|
(p>j = |
0 , i , . . . , n — 1), |
(19.7) |
|
в которых |
|
|
|
|
I |
s! |
пРи |
s > t > 0, |
|
|
-гг-.----- ггг |
|
||
|
41 (* -»)! |
у |
|
(19.8) |
Опри бсеж прочих s, t.
Всамом деле, внесем выражения (19.4) в породившее
их равенство (Ф .— Ф.):
п—\ |
п—1 |
п—1 |
2 |
( 2 арръ) & = |
2 (а + ае)п-1-з (Ь + Ъв)> Pj. |
р = 0 |
'з= 0 |
3=0 |
Меняя порядок суммирования в левой части и сравнивая соответствующие коэффициенты при произвольных вели 31чинах— 1 *r\j, получаем
2 аРзЕр = (й + ае)"--1-] (Ь+ 5а)5' ( /= 0 ,1 ........ |
П — 1), (19.9) |
р==0
Или
п —1
2 HpjEP = й1
33=0
Выполним теперь умножение в правой части и сравним коэффициенты при ер в обеих частях:
ар} = а1 |
П—1—3 3 |
я |
||
2 |
2 |
|||
ciU -,-3 (4 -)' |
||||
|
р =0 |
v=0 |
^ * |
|
|
U n |
\»=П |
||
(H -v = P )
(ц,7 = 0 , 1 , . . . , г а — 1).
Остается положить здесь всюду v = р — ц, и тогда, учи тывая соглашение (19.8), получим (19.7).