книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

§ 9]

ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ. ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ

71

*

*

♦

н

,

р-1

*

♦

*

s p

s p + l

S7 X + p -2

S7 1 + p - l

0

0

0

t

*

*

*

*

*

*

*

*

где Hp-i — «блок»

матрицы

причем det Н9-х =

нас значения,

а

t =

.? п + р

П о ^ п + Р - 1

® 1 ^ п + Р - 2

1^71"

Ранг матрицы B n-i равен р.

Поэтому ее минор

*

#

H

л

d e t

p-x

*

*

0

0 . . . 0 i

0 0 . . . 0

t

Йр-!

ф 0,

то t = 0, чем и установлена формула (9.4) для

v =

л -f

р. Ясно, что повторением этого же приема мы мо­

жем экстраполировать формулу (9.4) и для v = л -)- р +

-f- 1,

.... 2л — 2.

Если бы существовало особое продолжение Нп матри­

жить, т. е. получить формулу (9.4) и flnnv

= 2 л — 1, 2л:

s 2 n - l

=

a 0s 2n -2 +

a l s 2 n -3

+

••• +

a p - l s 2 n - p - n 1

, q n

S2n

=

ОоЯгп-! -f-

a ^ n - 2

+

••• +

a p - l S2n-P- /

‘

Этим доказано, что искомое продолжение,

е с л и

о н о

с у щ е с т в у е т , определяется

единственным образом

формулами (9.5).

Остается обратить это рассуждение, а именно: опреде­

лить числа s2n_i, s2nформулами (9.5) и проверить,

что онц

5 9]

ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ. ОСОЁЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЙ

73

— 3

2 + £

0

0

1

0

1 —г

- 3

2 + г

0

1 —г

- 3

2 +г

0

1 —г

—3

2 + г

0

0

—3

2 + г

0

0

0

2 + г

0

0

0

0

1

0 1 —г - 3 2 + г 0

0 1 — i

- 3 2 + г

0 0

1 — i

—3

.2 + г

0

0

0

—3

2 + г

0

0

0

0

2 + г

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1 — i

- 3

0

1 — i

- 3

2 + г

1 — £

— 3

2+ г

0

- 3

2+ г

0

14

46

17 +

17 г

Легко видеть,

что

Я 4 является также

продолжением

гапкелевой

матрицы Я 3;

матрицы Я 4 и

Я 6 — продолжениями II3, матрица

Я 5 — продолжением матрицы Я 4.

det Яа =

— 4 +

i

ф 0, т. е.

2. Проверить,

что в примере 1

у матрицы Яа ранг

р равен 3. Убедиться, что

D 3 =

det Н 3 Ф О,

т. е. Я 3 не является о с о б ы м

продолжением для Яа. В то же время

D3 = det Я 3 =

0, т. е. ранг Я 3 равен 3 и Я 3— особое продолжение

для Яа.

3. Вычислить для примера 1

определитель

det Н 3 =

D 3 и

убедиться, что Ъ3 ф 0 (как и D3 ф 0); сопоставить

эти

результаты

с равенством D 3 =

0

и теоремой 9.1.

4. Ранги

матриц

Я 3 и Я 3 примера 1 совладают и

равны 4.

Поэтому ранги их продолжений IIi и Я 4 (соответственно)

не меньше

4, так что

последние не являются

особыми

продолжениями для

Каким

продолжением является матрица Я 6 для Hi, для

Яз

для

Рассмотрим вещественную ганкелеву матрицувторого

по-

5.

рядка

Очевидно, матрицы Яг, Я 3, Я 4,

как и Яг,

Я 3, Я 4, ...,

яв­

ляются особыми продолжениями матрицы Hi (их

ранг, как

и у

§ 9]

ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ.

ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ

75

Матрицы # 3, # 4,

. . . являются также особыми продолжениями

ганкелевой матрицы По, причем как таковые (но отнюдь не как осо­

бые продолжения матрицы Н\\) они определяются единственным об­

разом (теорема 9.2): здесь п =

3, s5 =

1, so =

0; s7= 1 ,

s8= 0;...

Аналогичная ситуация имеет место для матрицы IIг и ее осо­

бых продолжений

Н 3, Н4,

...: здесь снова ге =

3, но s5 =

0,

se = 0 !

s7= 0,

s s = 0;...

Сопоставить эти примеры

с

приведенным ниже

результатом упражнения 7.

соотношениях

(9.4) коэф­

6.

Показать,

что

фигурирующие в

фициенты osj ( / =

0, 1,...,

р —

1) вычисляются по формулам

а ° _ _

Рр-1

, «

1

-

Зр-2

-

Зо

Рр

...........р р

где р0, Pi, .... Рр_г и Рр ( =

Dp_x ф 0)

— алгебраические

дополне­

ния элементов sp, sp+1, ...,

s2p_t и s2p последней

строки определите­

ля Dр {— 0) соответственно.

7.

В случае

в е щ е с т в е н н о й

ганкелевой

матрицы

Hn_lt

удовлетворяющей условиям теоремы 9.2, ее особое продолжение так­

же вещественно.

Воспользоваться

результатом

упражнения 6.

У к а з а н и е .

8. У ганкелевой матрицы

S0

Sl

• •

V i

SP

Sn-1

Si

S2

• •

sp

SP+1

sn

®р-1 So

• • ®2P-2

*2P-1

®n+P-2

se

SP+1

* • • S2P-1

S2P

sn+p-l

*n-X

*n

• •

®n+p-2

®n+p-l

• •

s2n~2

76

ГАНКБЛЕВЫ

МАТРИЦЫ

И

ФОРМЫ

[ГЛ. II

И

Si

S3

. .

р

д(р1) =

«2

S3

. .

sp+l

SP

sp+l

• Я2р-1

Доказать

рекуррентную

формулу

д («)д (0) =

д(“ -1)д(р1)

(а =

1, 2......2п -

2р).

(9.7)

У к а з а н и е .

При

ф 0

воспользоваться

формулами

(9.4)

и результатами упражнения 6. При Д(р0) =

0 и

Д^1' =

0 фор­

мула (9.7) тривиальна. Остается

убедиться, что случай, когда

Д ^ =

0, а Д<« ф

О,

невозможен,

использовав

для этого,

напри­

мер,

тождество

Сильвестра (2.6).

По поводу обобщения последне­

го утверждения см. ниже упражнение 10.

9.

П р и

у с л о в и и Д<®> ф 0 из (9.7)

следует,

что

Д<») =

/

Д(15

\“

(а =

0 , 1, . . ., 2га — 2Р).

(9.8)

/ _

|

_

)

Д «

Если Д<« ф О,

то

(см.

указание

к

упражнению

8)

и Д ^ ф О,

и из (9.8) видим,

что в с е

д£а) ф 0

(а ^

1).

Показать

на

примерах,

что

в последнем утверждении условие

Др0) Ф 0 существенно.

10 (Т. Я.

Азизов).

Если Д ® =

0,

то

Д(р“ >= 0

(а < п - р).

Убедиться на примерах, что при а >

п — р уже возможно неравен­

ство Д^а) ф 0.

У к а з а н и е .

Отбросив у

матрицы Нп_1

первый столбец и

вой) миноры Д^,а) (а

п —

р), опять использовав тот факт,

что при

Д»> =

0 также д£х) =

0.

0

11.

Если в ганкелевой

матрице Нп_1 — II si+3- II

первые

симы, то

ф 0 [4].

У к а з а н и е .

Записать для элементов (h +

1)-й строки фор­

мулы, аналогичные

(9.4), и с их

помощью убедиться, что в

полосе,

состоящей

из h первых строк,

в с е м и н о р ы

п о р я

д к а Л

§ Ю]

ХАРАКТЕРИСТИКА

77

§ 10. ( г , ^-характеристика ганкелевой матрицы

10.1.

Теорема 9.2 открывает путь для установления од­

лезного инструмента исследования ганкелевых

матриц.

Пусть

Hn-i

— |si+i ||i,"j=i — произвольная ганкелева

матрица

порядка

п ()> 0) и ранга Р (0 ^ р ^

п), а

(1 = ) D-lt D 0, Dlt .... D,..x, Dr,..., Z>n_x

(10.1)

наборе (10.1)

п о с л е д н и м (считая слева направо) о т-

л и ч н ы м

о т

н у л я является минор Dг_х. Этим оп­

ределяется целочисленная константа г (0 ^ г ^

р):

ф 0t

0 v -i = 0

( v > r ) .

(10.2)

Ясно, что при 7- =

п ( =

р) второе из этих соотношений от­

следующим образом. При г =

р положим к = 0. Заметим,

что равенство г =

р, в частности, всегда будет иметь место

при р =

0 и р =

п.

рассмотрим «усеченную» матрицу

Если

же г << р, то

so

SJ

.

.

•

sr- l

Sr

Si

S2

•

•

•

sr

_ T41

sr+l

sr - l

*

*

S2r-2

s2 r - l

sr

* ■

S2 r- 1

S2 r

теоремы 9.2)

единственным образом

определяется

б е с ­

к о н е ч н а я

последовательность чисел

S2r+1, '?2r+2i s2r+3i s2l+<l!

■ ■ •)

(10.3)

s 2 r + l>

s 2r+ 2 >

S2r+S >

s 2 r+ 4 > • • • > s 2 n - 3 )

s 2 n - 2

( W . 4 )

бор не пуст, так

как г <

п — 1 (ибо г <

р < п).

Сравним теперь набор (10.4) с последовательностью

(10.3).

Если

бы

sv =

(v

=

2г -)- 1,...,

2п — 2), то

отсюда следовало бы, что р = г,

вопреки условию. По­

этому единственным образом

определяется

натуральное

число к такое, что

s2r+ l ~

s2r+l!

s2r+2

= s2r+2

)• •• !

s2 n -k -2 =

sin -k - 2 i

$2,п-к-1 Ч~ ®2n-lt-l- (10.5)

Таким

образом,

в

д а н н о м

с л у ч а е

0

<; к ^

2п — 2г — 2,

(10.6)

к ^

*) В п. 11.1 будет показано, что всегда г + к < п, т. е. подавно

п; поэтому можно вместо диагоналей здесь говорить о строках

или

столбцах. Этот факт отражен и в приведенной схеме.

^