книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

8.2.При всей своей привлекательности правило Яко­

би страдает тем очевидным недостатком, что опирается оно на весьма ограничительные условия:

Нарушение хотя бы одного из них лишает смысла не толь­ ко формулу (7.5), из которой мы вывели правило Якоби (эту трудность, как видно из подстрочного примечания на этой странице, можно обойти), но и сами выражения (8.1). Поэтому еще в прошлом веке возник вопрос о возможно­ сти сохранения правила (8.1) и в тех случаях, когда неко­ торые из миноров Ajl, Д2, ..., Аг равны нулю. Точная по­ становка вопроса такова:

Пусть известны знаки плюс или минус тех из миноров

которые отличны от нуля. Можно ли при этом условии приписать знаки плюс или минус остальным (т. е. равным нулю) минорам из (8.3) так, чтобы сохранили силу равен­ ства (8.1)?

Чтобы показать нетривиальность этого вопроса, нач­ нем с одного негативного результата, приводимого обыч­ но в учебниках (см. [4]).

П р и м е р 8.1. Пусть а и Ь — вещественные числа, a =j= Ъ, аЪ Ф 0; рассмотрим квадратичную форму

ранга на единицу, а потому в силу теоремы 6.3 форма А к (х, х) при­ обретает по сравнению с А (х, х) либо один положительный квад­

рат (т. е., согласно предложению 2° из § 5, приобретает дополнитель­ но одно положительное собственное значение), и тогда, согласно (4.3), 0, либо отрицательный квадрат, и тогда Д)£_1Д)£< 0.

Отсюда и следует правило Якоби.

§ 8] СИГНАТУРНОЕ ПРАВИЛО ЯКОБИ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 61

порядка п = 3. Ее матрица

*) По поводу этой оговорки см. ниже конец п. 8.4.

**) Для случая форм третьего порядка это правило было извест­ но уже Гауссу [12].

Тогда A ^ A m i < 0 и сигнатурное правило Якоби (8.1) сохраняет силу, какой бы знак (плюс или минус) ни при­ писать (нулевому) минору Ah.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим усеченные формы

ной) формы A m i (т, х) равен к -j- 1. Теорема 6.1 позволя­

разнятся на две единицы, то у формы А Л+1 (х, х) ровно на один положительный квадрат (т. е. на одно положитель­ ное собственное значение) и ровно на один отрицатель­ ный квадрат (т. е. на одно отрицательное собственное зна­ чение) больше, чем у формы A (х, х). Поскольку же дис­ криминанты Ай-! и Д,1+1 равны соответственно (см. (4.3)) произведениям всех собственных значений указанных форм, то знаки этих дискриминантов противоположны (в состав сомножителей, образующих АЛ+1, входит «лиш­ нее» отрицательное собственное число): A^Ak+i < 0.

*) Поэтому и сигнатуры форм А Л-1 (х, х) п А к (х, х) одинаковы — см. теорему 6.2.

ровно на одну знакоперемену и на одно знакопостояиство больше, нежели в наборе

(1 = ) Д()! ^11 •••>

т. е. для формы Я й+1 (х,х) осталось в силе правило Якоби. Верно это правило и для всей формы А (х, х) = А п (х , х),

(см. теорему 6.3) либо еще одно положительное собственное

Из приведенного рассуждения ясно, что правило Гундельфингера можно применять и в том случае, когда в (8.6) есть несколько «изолированных» нулей, т. е. ситуа­ ция (8.8) повторяется при нескольких значениях индекса к.

щих подряд минора, а соседние с этой парой (слева и справа) миноры отличны от нуля:

Д/1-1 Ф 0, A h — Aft+i = 0 , Aft+2 Ф 0 .

Если приписать минорам Аки AJi+1 одинаковые знаки {любые)

дискриминантами A;i_x, Дй, Д,!+1, Д,1+2 соответственно. Ранг формы (х,х) равен к — 1 (Ди ф 0). Таков же ранг вырожденной формы A h (х , х), а потому и сигнатуры этих форм одинаковы (теорема 6.2). Ранг формы А/1+2(х, х) равен к -f- 2 (Дй+2 ф 0 ) , а потому у формы Я й+1 (х, х) ранг не меньше к (следствие из леммы 6.1). В то же время он не превышает к, ибо Ah+1 = 0.

Итак, ранг формы А к+1 (х, х) равен к. Поэтому (теоре­ ма 6.1) сигнатуры форм A k+1 (х, х) и Я /1+2 (х, х) одинаковы.

либо один отрицательный квадрат (теорема 6.3). Стало быть, форма А к+2 (х,х) по сравнению с А к-Х(х,х) приобре­ ла либо два положительных квадрата и один отрицатель­

правилу, указанному в формулировке теоремы, получим в наборе

и Д/о Д/i+n A/i+2

в первом из названных случаев два знакопостоянства и одну знакоперемену, а во втором — одно знакопостоянство и две знакоперемены. Остается повторить то же заклю­ чительное рассуждение, что и в доказательстве правила Гундельфингера — теоремы 8.2.

З а м е ч а н и е . Из формулировок и доказательств теорем 8.2 и 8.3 видно, что они, как и исходное правило Якоби (см. (8.1)), которое эти теоремы обобщают, сохра­ няют силу для (вещественных) квадратичных форм

дят на мысль о возможности дальнейших обобщений сиг­ натурного правила Якоби. Однако в общем случае (т. е. для п р о и з в о л ь н ы х эрмитовых и квадратичных форм) здесь нас, как и в п. 8.2, ожидает разочарование. В этом убеждает следующий пример ([4], стр. 275).

коэффициенты, А (ж, х) — квадратичная форма четвертого порядка с матрицей

3.Вычислить сигнатуру а эрмитовой формы

Ответ, a = 2.

У к а з а н и е . Воспользоваться правилом Фробениуса (тео­ ремой 8.3).

68 ГАНКЕЛЕВЬ! МАТРИЦЫ И ФОРМЫ trji. It

у которой левый верхний угол («блок») совпадает с данной

Особым продолжением матрицы Нп-г называется та­ кое ее продолжение, ранг которого совпадает с рангом мат­ рицы

Ниже будет изложен метод изучения ганкелевых мат­ риц путем построения особых продолжений некоторых их «блоков» и сравнения заданных матриц с этими особы­ ми продолжениями. Но для развития указанного метода прежде всего следует выяснить, всегда ли у данной мат­ рицы Нп-г существуют особые продолжения (хотя бы по­ рядка п + 1) и каков их «запас». Наиболее просто эта за­ дача решается для н е о с о б е н н ы х ганкелевых мат­

*) Мы здесь (и в дальнейшем — на всем протяжении глав II и III) в связи со специальным способом нумерации элементов ганкелевых и теплицевых матриц сознательно изменяем обозначения, при­

менявшиеся в главе I для последовательных главных миноров: минор Д/г порядка к (см. п. 6.1) теперь обозначается (к— 0, 1, ..., п).

§ 9] ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ. ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ 69

функцию двух переменных

Задача, очевидно, сводится к решению алгебраического

после чего достаточно положить s2n-l = х, sZn = у, и ис­ комое продолжение будет найдено.

из которого сразу следует (поскольку D n-XФ 0) утверж­ дение теоремы. Более того, мы видим, что при л ю б о м выборе х = s2n-i найдется единственное y ( — s2n), дающее в паре с х особое продолжение Нп матрицы Нп-1г

ве щ е с т в е н н ы е особые продолжения. Поскольку

вэтом случае все коэффициенты в (9.1) вещественны, уравнение (9.2) задает в плоскости (х, у) при а Ф 0 пара­ болу, а при а = 0 — прямую линию. Из структуры оп­

ределителя D n {х, у) легко, между прочим, видеть, что

а= — D n-2.

9.3.Несколько сложнее решается более важная для

нас задача об особых продолжениях о с о б е н н ы х

ганкелевых матриц Нп-г (Пп-i = 0).

Т е о р е м а 9.2 ( в т о р а я т е о р е м а о п р о ­ д о л ж е н и и ) . Пусть Нп-г — особенная ганкелева мат­ рица и ранг ее *) р (<С п). Если главный минор Dр_х ф 0, то существует единственная пара чисел S2n-i, s2п>

*) Для рангов ганкелевых (а в главе III и теплицевых) матриц мы, вместо применявшегося в главе I обозначения г, будем писать р, резервируя букву г для других целей (см. ниже §§ 10 п И).