книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

линейно независимые формы Lj (х) (/ = 1, ..., гй) можно считать содержащими только эти переменные. Стало

быть, если ^ аш , k+i + 1 ф 0, то формы Lr(х),.. ,,LTji{x) и

Р (х) = alt k+l£l +•••+%•, k+1?к+ ( у ак+1, к+1 + 1j £k+l

линейно независимы. Следовательно, ранг формы В&Цх, х) равен rk -f- 1, а сигнатура ее равна o h + 1-

Заметим теперь, что в силу тождества (6.1)

В11) (х, х) = Д.+1(х, х) +

+ у [а1, m il + ■••+ k+iSk + ( у ак+1,k+1 — 11 Ek+i •

По условию ранг формы А к+1 (х, х) равен rh -)- 1, а по­ скольку таков же ранг и всей формы ВW (х, х), то форма

■[

N (х) = ai, fe+iii + •. • + a-k, п+Лк + ( у aim, h+i — 1) lfc+i

линейно зависит от линейных форм, фигурирующих в пред­ ставлении для Лй+1 (х, х) в виде суммы rh -f- 1 независи­ мых квадратов (это представление мы здесь не выписыва­ ем). Но тогда это же можно сказать и о форме tN(x) при любом t. Таким образом, при любом t форма

имеет один и тот же ранг rk + 1, а значит, по лемме 6.2, — одну и ту же сигнатуру. Но, положив в (6.4) t = 1, мы воз­

поменяв ролями формы Р (ж) и N (ж), мы с помощью ана­ логичных рассуждений получим п,1+1 = a,, — 1.

Теорема 6.3 доказана *).

*) Употребленный нами при доказательстве теоремы 6.3 прием построения «промежуточной» формы (6.4) называют гомотопией, а

формы В^ (х, х) и В'1^ (.г, .т) — гомотопными.

вать как частные случаи общих фактов (вариационной) тео­ рии собственных значений линейных пучков эрмитовых форм (см., например, [4], гл. X, §§ 7, 9). Однако, с одной стороны, ни в одном из известных нам изложений этой тео­ рии мы не нашли прямо сформулированных теорем 6.1 — 6.3, которые необходимы для получения основных ре­ зультатов глав II и III, а с другой стороны, представля­ лось заманчивым привести непосредственные доказатель­ ства этих теорем, использующие минимум средств, без ссылок на теорию пучков.

6.4 В заключение приведем, следуя [4], еще одно по­ лезное предложение относительно усеченных форм.

1°. Если у формы А (х, х) ранга г отличен от нуля по­ следовательный главный минор порядка г ( Ег фО), то усеченная форма

Г

Аг (ж, ж) — 2 i j = l

имеет тот же ранг и ту оке сигнатуру, что и вся форма

А(х , х).

Всамом деле, утверждение о ранге тривиально, так

как (0 =f= )ДГ — дискриминант формы АТ(х,х). Если г — = п, то и утверждение о сигнатуре тривиально.

Пусть теперь г <; п, а

г

(6.5)

— представление формы А {х, х) в виде суммы независи­ мых квадратов.

Положим в (6.5)

Тогда в левой части форма А (х, х) перейдет в Ат{х, х), а в правой получится представление формы Ат(х, х),в виде суммы г квадратов. Но так как ранг формы Ат(х, х) равен г (Аг Ф 0), то на основании предложения 3° из § 5 эти квадраты линейно независимы. А поскольку

Примеры и упражнения

1.Рассмотрим форму (ср. пример 1 к § 5):

Является ли последнее представление каноническпм? Каковы

т. е. форма (6.6) сводится к

А 4 (х , х) = — оС3 + £|о|3

(обратите внимание на необычную нумерацию переменных, впрочем, уже встречавшуюся в упражнении 2 к § 5).

Какова сигнатура а4 этой формы н как она изменится при пере­ ходе к форме (также теплицевой)

рассмотрев какую-нибудь более простую квадратичную форму?

Ук а з а н и е . Применить предложение 1°.

§7. Формула Сильвестра и приведение

эрмитовой формы к сумме квадратов по методу Якоби

7.1.Вернемся к эрмитовым формам

П

сдискриминантом \А \= Ап и усеченным формам A h (х, х)

сдискриминантами

Ah = detIагУIf,j=i (к = 1, 2, ..., п — 1), А0 = 1.

Для упрощения дальнейших записей целесообразно несколько расширить употребление введенного в самом

Применяя к последнему определителю теорему сложения,

что и требовалось доказать.

Заметим, что при г = л все слагаемые суммы (7.2) равны нулю, а при г < л в ней аннулируются те слагае­ мые, у которых хотя бы один из индексов t, / не превосхо­ дит г.