книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория
.pdf40 |
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ |
ИГЛ. I |
||||
представлении формы А (х, х) равны количествам (с |
учетом |
|||||
кратности) положительных и отрицательных собствен |
||||||
ных чисел матрицы А =||ауИГ, j=i соответственно. |
||||||
Собственные числа |
Л2, |
Яп эрмитовой матрицы А |
||||
называют также собственными значениями соответствую |
||||||
щей эрмитовой формы А (х, |
х). |
В согласии с этим опреде |
||||
литель |
\А\ = |
Я2 ...Хп (см. |
(4.3)) называют дискриминан |
|||
том формы А (х, х). При этом неособенным матрицам А от |
||||||
вечают, по определению, невырожденные (или регулярные) |
||||||
формы |
А (х, |
х) с отличным |
от нуля дискриминантом |
|||
(|Л |^0), а |
особенным |
матрицам — вырожденные (или |
||||
сингулярные) |
формы ( \А| = 0 ). |
|
|
|||
5.3. |
Приведем еще одно простое, но важное для даль |
|||||
нейшего предложение:
3°. Если эрмитова форма А (х, х) порядка п и ранга
г(^> 0) представлена каким-то образом в виде суммы точно
гквадратов'-
Т
А{х, х ) = 2 <*it| £*(*)!*.
К= 1
то формы
Ль = Lh (x) = с1й|х + c2k£2 + ... + cnh£n = 1> 2, ..., г)
(5.12)
линейно независимы, т. е. данное представление — канони ческое.
В самом деле, по условию ранг формы А (х, х), т. е.
ранг матрицы А = ||а^||i,j=lt равен г. Утверждение о линейной независимости форм (5.12) означает, что и у мат
рицы С = \\chi IlSi, 2,’.‘.'.',’ " (вообще говоря, прямоуголь
ной) ранг равен г, т. е. максимален. |
Заметим теперь, что |
||
|
Г |
|
|
А{х, х ) = |
2 |
' аИ Ас(х)|2 = |
|
|
!:=1 |
|
|
|
г |
|
|
— |
2 |
а к I ск1%1 + СЛ2?2 + |
• • • + сктЛп |2 = |
к=1
пг
—2 ( S akcki^kjj £ilj-
i,i= i Ч =х |
' |
5 5] |
ЭРМИТОВЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ |
41 |
Сравнение этого выражения с первоначальным видом формы
П
А (х, х) = 2 арУз i, 3=1
показывает, что
г г
яр — |
2 |
= |
2 |
с\как^кз |
(h 7 = |
I» 2 , . . и), |
(5.13) |
|
k = l |
Jc=l |
|
|
|
|
|
где |
С' = |
JCifcf Ц ,’г, |
' n — матрица, |
транспонированная |
|||
по отношению к |
С. |
Но соотношение (5.13) равносильно |
|||||
равенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ “1 |
0\ |
г», |
(5.14) |
|
|
А -С М |
“а ' . |
||||
|
|
|
|
V 0 |
«г/ |
|
|
где |
с = |
I cw IЛЙД |
г . |
|
|
|
|
Допустив теперь, что ранг матрицы С (а стало быть, |
|||||||
и Ct |
и С) |
меньше |
г, |
мы получили бы из (5.14) (см. [4], |
|||
стр. 22), что и ранг матрицы А меньше г, а это противоре чит условию.
Совершенно аналогичное рассуждение показывает, что справедливо и такое полезное предложение:
71
4°. Если форма А (х, х) = 2 |
ярУз порядка п и ранга |
i, 3=1 |
|
г представлена в виде суммы квадратов |
|
П |
|
А ( х , х ) = 2 <М£*(*)!* |
К ^ О ) , |
к=1 |
|
то в этой сумме не менее чем г слагаемых отличны от тож дественного нуля.
Заметим, что здесь на линейные формы
Л к = L k {х) = Сцх^х + Сft2^2 + ■■■+ Cftnln
не наложено никаких ограничений (в частности, не пред полагается, что они линейно независимы), а утверждение
42 |
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ |
[ГЛ. I |
снова прямо следует из равенства
I
'СИ О
<Х2
\ с ,
. 0
:1, 8 С— Ik*С,
5.4.Эрмитова форма А (х , х) называется неотрица
тельной, если А (х,х) > 0 |
для всех х = {^ , |
£2, |
£п}> |
|||
и положительно |
определенной, |
если |
А (х, х) |
)> 0 |
для |
|
всех x=h $ (т. |
е. \1г\+ |
|Ы + |
•••+ |
|£п| > 0 ). |
|
|
Мы ограничимся здесь лишь самыми необходимыми для дальнейшего сведениями о формах этих двух классов, из которых второй класс, очевидно, содержится в первом (более подробно см., например, [4]).
Т е о р е м а 5.2. Эрмитова форма А (х, х) неотрица тельна тогда и только тогда, когда все ее собственные значения неотрицательны, и положительно определена тогда и только тогда, когда все они положительны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если все собственные зна чения Х2, ..., Хп формы А (х, х) неотрицательны, то из представления (5.7) следует, что и форма А (х, х) неотри цательна. Более того, если все Хк^>0 (к = 1 ,2 , ..., п), то из того же представления видно, что А (х, х) )> 0 при х Ф 0, ибо при этом условии невозможно одновременное
обращение в |
нуль всех (линейно |
независимых!) форм |
|||
Tli, т)2. •••> Tin |
(см. (5.3)). |
|
отрицательно, |
||
Обратно, если хотя бы одно из чисел |
|||||
скажем Хп << 0, то, |
выбрав в (5.3) |
переменные |
|17 |2, ••• |
||
..., 1п так,чтобыrii = |
т)2= ... = T]n-i |
= 0, а т)„= |
1 (послед |
||
нее возможно в силу линейной независимости этих форм),
ползшим из (5.7), |
что при указанных |
|2, ..., |
|
А (х, х) — Хп 0, |
|
т. е. форма А (х, |
х) не является неотрицательной. . |
|
Наконец, если А (х, х) — положительно определенная |
||
форма, то, как только что выяснено, Xk |
0 (к = 1, 2, ... |
|
...,п). Если бы при этом хотя бы одно собственное значение
равнялось нулю, скажем |
Хп = 0, то, |
выбрав снова |
|
|2, ..., 1п так, что % = г\2 = |
... = т)п—1 = |
0, а ц.„ = 1, полу |
|
чили бы равенство А (х, х) |
= |
0 при x=j=Q, что невозможно. |
|
Теорема 5.2 доказана. |
|
|
|
§ 5] |
ЭРМИТОВЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ |
43 |
С л е д с т в и е 1. Неотрицательная форма А (х, х) является положительно определенной тогда и только тог да, когда она невырозкдена.
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из теоремы 5.2 и соотношения (см. (4.3))
IА | = |
\i- |
С л е д с т в и е 2. В любом представлении (5.2) неотри цательной формы А (х, х) в виде суммы независимых квадра тов не содержится отрицательных квадратов. Наличие в таком каноническом представлении точно п положитель ных квадратов (п — порядок формы) необходимо и доста точно для положительной определенности формы.
Утверждение это получается, если сопоставить пред ставление (5.2), теорему 5.2 и закон инерции.
5.5.В заключение настоящего параграфа рассмотрим
случай, |
когда |
А = |
||агД|*3-=1 |
— в е щ е с т в е н н а я |
||
симметрическая |
матрица: ац = |
ai}- (i, / |
= 1, 2, ..., |
п). |
||
|
|
|
|
|
П |
|
В этом |
случае вместо |
эрмитовой |
формы |
2 аиШз естест- |
||
венно рассматривать |
|
|
i, 3=1 |
|
||
квадратичную форму*) |
|
|||||
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
А (х, х) = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
i, 3=1 |
|
|
|
где £г (i |
= 1,2, |
..., п) |
— вещественные переменные. |
При |
||
этом, как легко видеть, сохраняют силу все установлен ные в настоящем параграфе предложения с той разницей, что в геометрической интерпретации следует теперь рас сматривать вещественное евклидово пространство Еп, в
котором скалярное произведение (4.8) векторов х = |
+ |
|||||
+ ЪзР2 + |
•••+ |
и У = %ei + |
ЛгЧ + -•-+ flrAi |
опре |
||
деляется формулой |
|
|
|
|
|
|
|
(я> у) = |
li^i + |
+ |
••■ |
+ 2* |
|
*) Иногда под квадратичной |
формой |
понимают выражение |
||||
п |
|
|
|
|
|
|
2 |
не требуя при этом вещественности коэффициентов a,j и |
|||||
г, з = 1 |
|
всегда^ предполагаем эти условия |
выпол |
|||
переменных gj. Мы же |
||||||
ненными.
44 |
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ |
МАТРИЦ И |
ФОРМ |
1ГЛ. I |
|||
а представление (5.2) записывается в виде |
|
||||||
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
А (х, х) = 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
к=1 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
Л ft |
— L h |
{х) = |
Cftl|x + |
Cft2^2 + |
•••+ с Ь.тЛп |
|
|
|
|
(к = |
1, |
2, |
п) |
|
|
— вещественные |
линейные |
формы. |
|
хотя |
|||
Заметим, что и в дальнейшем (см. ниже §§ 6 —8), |
|||||||
речь будет идти об эрмитовых формах, все результаты ос таются, как легко видеть, справедливыми и для вещест венных квадратичных форм, о чем мы специально напоми нать уже не будем.
Примеры и упражнения
1.Найти ранг г и сигнатуру а эрмитовой формы
А <*,*)= 3 |Е, |2 + h b + |
+ 2iU 3 - 2iUs- |
|
Здесь |
|
|
|
|
3 |
1 |
2£ |
<< 1 со |
А - |
1 |
0 |
0 |
, г = 2, \ А -% Е \ = 1 |
|
— 2i |
0 |
0 |
— 2£ |
|
|
|
|
= — 2i (2iA) — A (X2 — ЗА - |
1 2i
— А 0
0- А
1)= — A3 + ЗА,2 + 5A.
|
j |
(3 + |
__ |
|
j[ |
_ |
Собственные значения: Ax = ~ 2 |
V 29) > 0 ,A2= |
-^(З — 1^29)<0, |
||||
Аз = 0. |
Таким образом (см. |
предложение |
2°), |
я = 1, |
v = 1, |
|
так что сигнатура а — 0. |
|
|
|
(вещественную) квад |
||
2. |
Рассмотрим так называемую ганкелеву |
|||||
ратичную форму (таким формам посвящен ниже § 12) |
|
|||||
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
э, к=о |
|
|
|
(5.15) |
|
|
|
|
|
|
||
порядка |
п с матрицей |
|
|
|
|
|
|
|
«0 |
5х |
• |
Sn _ l |
|
|
/ / n_ i = ||Sj.+fc| ^ = 0 = |
Si |
52 |
. |
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ n -l sn |
* • ' |
S2n-2 |
§ 6] |
УСЕЧЕННЫЕ ФОРМЫ |
45 |
|||
Если, в частности, |
числа so, sl5..., s2n_2 образуют арифметическую |
||||
прогрессию: |
|
S2= а + |
|
|
|
s0 = a, sj = а |
d, |
2d, ..., s2n_2 = |
о -|- (2ге — 2) d, |
||
то ранг г формы (5.15) |
при d = |
0, |
очевидно, равен 1, если а ф О |
||
(а какова при этом сигнатура?), и 0, |
если а = 0 . |
При d ф 0 положе |
|||
ние иное. Доказать, что в этом случае при любом а (и при любом
п 2) |
у формы |
(5.15) |
ранг г — |
2, |
а сигнатура о = 0, |
т. е. л = |
|
3. |
Является ли каноническим представление эрмитовой формы |
||||||
А (г, х) порядка |
п = 3 |
в виде суммы квадратов: |
|
||||
|
А (х, * ) = |
|e1 + |
b l * - | 2 E i - 5 , | a + |
|2E. + |s |a? |
|||
Каковы ранг и сигнатура этой формы? |
Нет, г = |
2, а = 0. |
|||||
|
|
|
|
|
Ответ. |
||
4. |
При каких значениях вещественного параметра а квадратич |
||||||
ная форма |
|
|
|
|
|
|
|
|
А (х, х) = (в* + 1) Е® + 2 (а - 1) h b |
|
|||||
неотрицательна? |
Каковы ранг и сигнатура формы А (х, х) |
при этих |
|||||
а и при всех прочих значениях параметра а? |
|
|
|||||
|
Ответ. а = 1, г = |
а = |
1; при а ф I: г — 2, а = 0. |
||||
§6. Усеченные формы
6.1.Наряду с заданной эрмитовой формой
71
А (х, х) = 2
i, 3=1
порядка п с дискриминантом jА |нам часто придется рас сматривать так называемые усеченные формы
к
Afc (т, х) = 2
г, 3=1
порядка /с (/с = 1 , 2, ..., ?г—1) (порожденные данной фор мой) с дискриминантами
Ah = det||a0-||i)i==1 (к = 1, 2, ..., п — 1).
Естественно положить Ап (х, х) = А (х, х), Дп е= |4|. Кроме того, удобно будет считать
До = 1.
46 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ 1ГЛ. I
Числа Д0, Д1( Д2, ..., Д„ называются последовательными
главными минорами формы |
А (х, х). |
|
|
|
||||||||
Особенно большую роль в дальнейшем будет играть |
||||||||||||
сравнение двух «соседних» усеченных форм |
А ;!+1 (х, х) |
|||||||||||
и A h (х, х) (к = 1, 2, |
п — 1). |
|
т о ж д е с т в о ) . |
|||||||||
Л е м м а |
|
6.1 |
|
( о с н о в н о е |
||||||||
Форма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
к -\-1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Ак+1 (х, х) = 2 ad & |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
г, j= 1 |
|
|
|
|
||
порядка k -f- |
1 |
связана с усеченной формой |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
АК(х, х) = |
2 |
aohb |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i, 3=1 |
|
|
|
|
||
порядка к (к = |
1, |
2, |
..., п — 1) тождеством |
|
||||||||
■4-+1(*> я) = Ак(х, |
х) + |
|
|
|
|
|
|
|||||
+ |
a i, k+l£l + |
■•• + |
а к, k+l£k + |
( у |
ак+1, к+1 + |
1 J £к+1 |
||||||
®1, k + l£ i + |
• • • + ®к, к+i£ k + |
^ у ®k+l, к+1 — 1 j |
£k+l J •( 6 .1 ) |
|||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
сводится |
к |
непосредствен |
|||||||||
ному вычислению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
®1, fc+lll + |
■■■+ |
®k, k+l£k + |
1 |
а А-+1, к+1 + 1 |
I к+1 |
|||||||
у |
||||||||||||
Jl_ |
®i, k+i£i + |
•••+ |
®k, fc+iik + |
^ у |
а к+1, k+l — |
1 J Sk+i |
||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a k+i, k+l + 1 j £k+l] X |
|||||
2 |
®1, fc+i£i |
+ |
•••4" а н, fc+i£k 4" |
^ у |
||||||||
X |
®k+i> i l l |
+ ••■+ ®k+i, klk + |y ®k+i, k+l + |
Ik+l j— |
|||||||||
г |
a i, /■•+i£ l |
-!-••• + |
®k, fc+i£k + |
^ y |
®k+i, k+l — |
1 j Sk+lj X |
||||||
X £®k+i, i l l |
+ |
•••+ |
ak+l, klk |
+ |
^ у |
®k+i| k+l — 1 j Ik+l j — |
||||||
|
к |
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
||
— 2 a i, k+ liilk +X + 2 ®k+l, i^ k + lll + ®k+1, k+l I £k+l P-
i= l |
i= l |
5 б] |
УСЕЧЕННЫЕ ФОРМЫ |
47 |
||
Прибавив к этой сумме форму |
|
|
||
|
|
к |
|
|
А к (®i %) = |
2 |
|
|
|
получим |
|
г, 3=1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
^к+1 (■*"> %)' |
|
|
г, 3=1 |
|
|
|
|
С л е д с т в и е . |
Если ранги |
форм |
A ,i+1 (х, х) и |
|
А к (х, х) равны rh+1 |
и rh соответственно, |
то *) |
||
О ^ rft+l — rh ^ |
2. |
( 6 . 2) |
||
В самом деле, из сравнения матриц A h+1n A h рассмат риваемых форм ясно, что rh+1 > rk, а из тождества (6.1) и предложений 1° и 4° из § 5 следует, что
rh+1 — rft< 2 .
6.2. В отличие от совершенно элементарной алгебраи ческой леммы 6.1, следующая лемма носит аналитический характер и опирается на факты из анализа.
Л е м м а 6.2 **). |
Если |
при непрерывном изменении |
|
коэффициентов ***) |
формы |
к |
|
|
|
|
|
А {х, х) = |
2 |
aiM h |
|
|
|
i, 3=1 |
|
ранг ее г остается неизменным, |
то не изменяется и ее |
||
сигнатура о. |
|
|
|
*) Указанное следствие представляет собой весьма частный слу чай общего предложения: при окаймлении любой (даже прямоуголь ной) матрицы строкой и столбцом ранг новой матрицы либо равен рангу исходной, либо превосходит его не более чем на две единицы.
А оно в свою очередь следует из очевидного факта: при добавлении к любой матрице одной произвольной строки (или столбца) ранг мат рицы может повыситься не более чем на единицу.
**) |
Заимствована из [4], стр. 280. Однако приведенное в [4] ее |
|||
обоснование представляется нам недостаточно убедительным. |
||||
***) |
Точный I |
смысл |
этого |
условия таков: коэффициенты ац |
( = aji) |
(£, ] = 1, |
2, ..., |
п) суть |
непрерывные функции веществен |
ного параметра г, пробегающего некоторый отрезок [«о, Т]. Из дока зательства леммы читатель увидит, как можно обобщить это условие, а с ним и лемму 6.2.
48 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ СГЛ. t
Д о к а з а т е л ь с т в о . Ранг г формы А (х, х) равен количеству отличных от нуля ее собственных значений с учетом их кратностей (§ 5, предложение 2°). Пусть при не которых фиксированных значениях коэффициентов фор мы среди ее собственных значений л положительны, v
отрицательны (г = |
л -j- v, а = л — v), а |
остальные |
d ( = n —г ) равны |
нулю. Так как собственные |
значения |
формы непрерывно зависят от ее коэффициентов (и. 4.1), то при достаточно малых изменениях последних отличные от нуля собственные значения сохранят свои знаки, а ни одно из равных нулю собственных значений не станет от личным от нуля, ибо это сопровождалось бы увеличением ранга формы, что противоречит условию леммы.
Таким образом, в малой окрестности любого набора ко эффициентов сигнатура формы остается неизменной. От
сюда (с |
помощью |
леммы Гейне — Бореля) следует, что |
|||||
она вообще не изменяется при любом непрерывном изме |
|||||||
нении коэффициентов, упомянутом в условии леммы. |
|
||||||
6.3. |
Возвращаясь к |
усеченным формам, |
мы можем |
||||
теперь, используя леммы 6.1 и 6.2, уточнить характер из |
|||||||
менения сигнатуры при переходе |
от формы |
|
(х, х) |
||||
к усеченной форме A h (х, х) |
и обратно. |
|
|
|
|||
Ответ на этот вопрос дается следующими тремя теоре |
|||||||
мами. |
|
6.1. Если |
в соотношении |
(6.2) |
справа |
||
Т е о р е м а |
|||||||
имеет место знак равенства, т. е. |
rk+1 = rh -f- 2, то сиг |
||||||
натуры ak+1u ah форм A fe+1 {х, х) |
и A k (х, х) |
совпадают'. |
|||||
ah+l = |
°V |
|
Предположим, |
что |
в |
пра |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||||
вой части основного тождества (6.1) форма А к (х, |
х) |
пред |
|||||
ставлена в виде |
суммы rk независимых квадратов |
(§ 5, |
|||||
предложение 1°). Тогда (6.1) перейдет в представление формы А к+1 (х, х) в виде суммы rh + 2 квадратов. А так как по условию rk -j- 2 = гй+1, то, согласно предложению 3° из § 4, эти квадраты линейно независимы. Обращаясь снова к тождеству (6.1), видим, что форма A ft+1 (х,х) при обрела по сравнению с А к (х, х) один положительный и один отрицательный квадрат, откуда, согласно закону инерции, и следует равенство ak+1 — ah.
Т е о р е м а |
6. |
2. Если равны ранги форм А к+1 (х, х) |
|
и A k |
(х, х), т. |
е. |
rh+1 = r h, то равны и их сигнатуры'. |
ah+1 |
= |
|
|
I 6] |
УСЕЧЕННЫЕ! ФОРМЫ |
49 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Представим форму A к+1 (х, х) |
|
в виде суммы |
гк |
|
|
(6.3) |
|
А +1 (ж, х )= |
2 Щ\Ц (х) |г |
|
|
i=i |
|
rk независимых квадратов (§ 5, предложение 1°), а затем
положим в этом равенстве £fe+1 = 0. |
Тогда слева форма |
А к+1 (х, х) перейдет (см., например, |
(6.1)) в A h (х, х), а |
справа в (6.3) ни один из квадратов не аннулируется, в противном случае форма А к (х, х) ранга гк была бы пред ставлена в виде суммы меньшего, чем гк, числа квадратов, что невозможно (§ 5, предложение 4°).
Итак, мы получили представление А к (х, х) в виде сум мы гк независимых (§ 5, предложение 3°) квадратов с теми же коэффициентами а; (/ = 1 , 2 , . . . , гк), что и в (6.3). Отсюда следует равенство а /1+1 = о к.
В теоремах 6.1 и 6.2 рассмотрены два «крайних» слу
чая в неравенствах (6.2). |
Оставшийся |
«промежуточный» |
||
случай, когда rft+1 |
= |
гк + |
1, исчерпывает |
|
Т е о р е м а 6. |
3. |
Если ранг гк+1 |
формы А к+1 (х , х) |
|
превышает ранг гк усеченной формы А к (х, х) на одну еди
ницу, т. е. |
rft+1 = гк + 1, то для соответствующих сиг |
||
натур о к+1 |
и о к имеем |0 ь+1 |
— сть| = 1,т. е. либоок+1 = |
|
= 0& 1, |
Либо 0 fe+i = 0 к — 1. |
снова к |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Обратимся |
||
основному |
тождеству (6.1). |
Отбросив в правой его части |
|
последнее |
(неположительное) слагаемое, |
рассмотрим |
|
форму
Вт (х, х) = Ак (х, х) +
+ 4 ®i, fc+ili+ •••+ ая-,mifc + |
^ ал-+1, ji-+i + l j £fi+l |
|
от к 1 переменных |
|2, •••, lk> |
ift+i- Напомним, что |
форма А к {х, х) зависит только от первых к из этих пере менных, и потому фигурирующие в ее каноническом пред ставлении (см. § 5, предложение 1°)
гн
Ак(х, х) = 2 ai\Li(x)\*
3=1