книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

so

обйЕай ТЕОРИЯ МАТРИЦ и ФОРМ

1ГЛ. I

Из (4.1), между прочим, видно, что

X1Xi....Xn = \А\.

(4.3)

цей

А =

||a£j'llu=i

(см.

(4.2)).

Любой

другой

базис

{^i> #2>

>£п} пространства Еп, как известно

([4], стр. 73),

связан с базисом {ех, е2, ..., е „}

некоторым линейным пре­

образованием

е* = 2

( * = 1 , 2 , . . . ,

п)

(4.4)

i=l

с неособенной

матрицей

Т =

|#ьг|

(1Л =/= 0)-

В ба­

зисе

{gx, g2, ..., gn} оператору А

будет отвечать уже но­

вая

матрица

В =

|b^||">3-=i,

определяемая (ср.

(4.2))

соотношениями

П

M i = S

higi

(* =

1 , 2 , . . . ,

п).

(4.5)

Аен= 2

— 2

2

bag] =

2 ( 2

) Si

i=l

г—1

;=1

j=l ' i=l

'

(k = 1, 2,. .., n).

Между тем из (4.2) и(4.4) имеем

n

n

n

пгг

-^-ек =

2

akjei ~ 2 2

tjigi — 2 ( 2

akjt"ji \Si-

j=l

i=1

i=l

i=l ' i=1

'

Сравнение двух полученных разложений векторов Аек

по базису {gj,

g2, ..., gn) показывает, что

матрицы А, Т и

В связаны соотношениями

АТ = ТВ

или В =

Т -1 А Т ,

(4.6)

откуда следует совпадение характеристических многоч­

ленов

\Т~1 (А — ХЕ)

Т |=

|Т~ХАТ -

ХЕ |=

\А -

ХЕ|=

(4.7)

= |В -

ХЕ |

матриц Л и 13

(и подавно их спектров).

отправляясь от

4.3.

Если в пространстве Еп ввести,

некоторого базиса {ех, е2, ..., еп}, скалярное произведение

(я,

У) = (Si«i +

12е2 +

••■+ ^ п »

ЛЛ + Т|2е2 + •••+

+

Tlne n)

=

+

■••+

i n i п»

(4-8)

{eh ej) = Ьц (г, / = 1,2, ..., /г),

(4.9)

где 8tj

— символ Кронекера. Такой базис называют ор-

тонормированным.

Теперь всякая эрмитова

матрица

А

=

5=1 ,

ар — йц

(£, / = 1,2,

...,

п)

будет

в этом

базисе (т. е. по

формулам

(4.2)) зада-»

ватд в Еп эрмирюв оператор А,

Последнее

означает, ПО

32

ОБЩАЯ

ТЕОРИЯ МАТРИЦ И

ФОРМ

ГЛ. I

определению, что для всех х,

у ЕЕ Еп

{Ах, у) =

(х, Ау).

(4.10)

Скалярное произведение (4.8) обладает очевидными

свойствами:

(я, х) > 0 (х Ф в),

(х± + х2, у) = (ац, У) + (^2, у),

{ах, у)

=

а {х, ij),

{у, х)

= {х, ij)

для

всех векторов

х,

х1г х2, у из Еп и всех комплексных

вытекают следующие предложения.

1°.

Все собственные значения Я эрмитовой матрицы А

вещественны.

для отвечающего по формулам (4.2) мат­

В самом деле,

рице А и базису

{е2, е2, ..., еп}

(см. (4.9)) эрмитова опера­

тора А из равенства Ах = Хх(хфв)

следует, что (Ах, х) =

= Я (х,

х).

Но

число (Ах,

х)

= (х, Ах) = (Ах, х)

вещественно,

а

(ж, х) ^>0, так что и Я вещественно.

2°.

Собственные векторы х,

у эрмитова оператора А,

(Д, Д> •••!

fn}i составленный из собственных векторов опе­

ратора А,

причем

Afi = hfi (i = 1,2, ..., га).

34

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ

ГГЛ. I

Выбрав

теперь

в Еп~г нормированный

собственный

вектор / 2 оператора

А, отвечающий собственному числу

роением

искомой ортонормированной системы собствен­

ных векторов }г, /2, ...,/„ (Aft =

Яг/ г), образующих в силу

их линейной независимости ([8], п. 78, теорема 1) базис

пространства Еп.

Примеры и упражнения

1.

Пусть

задана матрица

А — |ац |’> -=1.

Рассмотрим соп­

ряженную

матрицу

4* =

ii4n;(j=1,

где

а у = dji (i,

j —

1, 2,

п).

Тогда если,

Х2,...,

—

спектр

матрицы

А

(с

учетом кратности собственных

чисел),

то

Xlt Х2,. .

Хп —

спектр А *.

Символически:

Еп задают так

называемые сопряженные линейные операторы А

и А * соответственно,

для которых

(Ах,

у) =

(х, А*у) при всех х, у Ez Еп.

(4.12)

рице А ( = /1*)

есть не что иное,

как

самосопряженный

оператор:

А =

А*.

первое утверждение

упражнения

2:

если А и

А *

3.

Обратить

—

сопряженные

операторы

(в смысле определения

(4.12)),

то в любом ортонормироваином базисе им отвечают

сопряженные

матрицы: А и А* соответственно.

А*) на­

4. Если А А *

=

А* А, то линейный оператор А (как и

§ 51

ЭРМИТОВЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

37

Ь

,

О

А

^2 '

Л =

kп

О

квадратов 2

I % |2» а тем самым матрицу А к диагональ-

k=i

ному виду

flai

о

аа

сохраняет ранг г формы А, т. е.

А (х, ж), то в сумме (5.2)

1°. Если

г — ранг формы

при условии

линейной независимости форм r]fe = Ln (х)

(к = 1 ,2 , ...,

п) всегда имеется точно г отличных от нуля

38

ОБЩАЯ

ТЕОРИЯ

МАТРИЦ И

ФОРМ

[ГЛ. X

независимых квадратов среда коэффициентов ah (к =

1,2, ...

...,

п) всегда имеется одно

и то же количество л (л

0)

положительных и одно

и то же количество v (v

0)

от­

рицательных чисел.

При этом я + v =

г,

где г — ранг

формы А (х,

х).

Предположим, учитывая

Д о к а з а т е л ь с т в о .

предложение 1°, что двумя неособенными преобразовани­

ями вида (5.3) форма

П

А (х, х) =

2

aii?ili

i, }=1

ранга г приведена один раз к виду

А(х, х) =

а2|р2|2+

... + ар|рр|2 —

— “ p+ihp+il2 -

— « г Ы 2,

(5.8)

а другой раз — к виду

А (х, х)

=

М

У 2 +

Р 2 |£2 |2 +

-

+

Р д |£9 |2 -

- P g +il£g+1l2 - • • • - PrlSrl2,

(5.9)

где ak ^>0,

О 0 (к = 1,

2, ..., г),

а линейные формы

(ср. (5.6)) т|;- =

Lj

(х)

(/

=

1,2,

...,

п) (соответственно фор­

мы

= Lj {х) (j =

1, 2, ...,

п)) линейно независимы. В си­

лу этой линейной независимости переменные %,

т]2, ...

..., т)п определяются единственным образом, как линейные

формы от переменных £lt £2,

...,

и обратно.

Докажем теперь, что р = q. Предположив противное,

например, что

р <;

q,

рассмотрим вытекающее из (5.8)

и (5.9) равенство

alhl|2 +

•••

+

aplTlp|2

+ Р <2+1 l£g+1 |2 +

Р г |£г |2=

=

P l I C

l l 2

+

• • • +

Р g |?>g |2 +

a

p + l l 11 p + l| 2

+ • ■ • +

a r l Tlr

(5.10)

как тождество

относительно

переменных

С2,

...,

£п

(считая, что рц

г|2,

...,

г\п выражены линейно через эти

переменные).

Рассмотрим систему линейных однородных (относитель­

но

Ci, £2, •••, In) уравнений

T]i

= 0 ,

Т]2 = 0 ,

...,

Т)р = 0 ;

Cg+i

= 0 ,

..,

£п -0 .(5 .1 1 )