книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

20

ОБЩАЯ

ТЕОРИЯ

МАТРИЦ

И ФОРМ

[ГЛ. I

т. е. *)

•

\ip

...

а,ll'P+r

aw>

• av P

...

а, ,•

г2)р+г

М ? (?)

-

ai 1

■

?р

ipip+r

(3.3)

% h

1р'2

°1р+гН aip+ria

.

й;

J

АГ

‘р+Г-'р

Многочлен М*р (?)

= М*р (?ц ?2, •••> ?р)

от переменных

?и ?2i

?р обращается в нуль при замене любой из этих

переменных, например ? д,

тем

элементом o-iq]q матрицы

Итак, многочлен

(?) делится без остатка на произ­

ведение

(? 1 a idi) (?2

а 1г]г) • • ■(? Р

a ip ip )'

§ 3]

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

21

такое

С л е д с т в и е .

Величина определителя

м Р (£) не

изменится, если любые элементы матрицы А,

за исключе­

нием а ^ (со = 1, 2,

..., р) и элементов, вошедших в состав

А г

II

. . .

аг-к+1,п

V п—к+1

* * * апп

А

М г)(£) =

Cl

1

.

. . ъс,/с . . .

апп

т. е. когда

р а = п — к -|- ш,

v M= п 4- 1 — &> (со = 1,2, ..., к

сы ах< а 2 <

... < с с г м е н ь ш е

всех '|Хь>(со = 1,

2, . . . , /с),

индексы же

Pi <

Р2 <•••<; Рг

м е н ь ш е

в с е х

(со= 1, ..., к),

а

наборы

<

... < р

h и

v 1>

. . . > v k

м о н о т о н н ы .

Поэтому в наборе индексов

P'11 1*21

•••ip'fej OCli ®2i

•••! <*Г

число инверсий равно

CTjj. =

г +

г +

г

=

Лег,

■

' ----------

ч,---------- '

а в наборе

к раз

•••) ^ hi Pi)

Рг) ••■)

Рг

число инверсий равно

<з„ = {к — 1 + г) +

к(к — 1)

+ (к - 2 + г) + .. . + (1 + г) + г = кг +

2

А Г

М г,(0

=

. ••Cfc

•

•

• апп

к

(3.4)

=

( ~

l ) k(fe- 1)/2 А тП (£» ~

n-co+l).

0 = 1

В

частности,

при

ап_д+ш,п_ш+1 == а ( со = 1,

2,

...,

к)

и

Ci =

Ег = •••

=

£п = £

(именно так

будет

в

гл.

II)

имеем

m V (£) =

( -

\)m ~m Ar(£ -

af.

(3.5)

24

ОЁЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ

tP.il. 1

А

*

*

...

*

Г

*

*

...

*

* . . . *

*

* ...

*

*

. . . * k-i

* ... *

k-1

и, повторяя тот же прием еще (к — 1) раз,

убеждаемся в

справедливости предложения 1°.

З а м е ч а н и е . Попутно мы получаем новое незави­

ЛГ<,Г)

-

1

к

Г

ап

а1к

в1.Т

. . . а1п

i

а11

а1к

а/,х

. . . а1п

А

г. (3.6)

*«.1

а°,к

аст, Т

* •■

п

к

*П1

апк

ап, X

* ’ *

апп

(где а — п — /с + 1,

%= п —I + 1)

и соответствующего

минора М $ (У

матрицы И®.

Здесь (см. лемму 3.1)

р = к + I > 0, к > О, I > О,

Pi = п

к -}- 1,

= ^

^ “1~ 3, ■

И1ь =

§ 3]

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

25

Pft+l

—

р k+2

P/i+Z

■Vi

=

4,

V 2 =

2,

..., v

ft

=

к,

v ft+1 — п —

^

v Л+2 — п

—

I

+

2 ,

V h+l

—

П,

так что

Ph+1 <С pft+2 <

•••<

Pft+z <

011 <

0.2 <

аг <1

<

Pi < Рг < ••• <

Pft,

V i

< v , <

. . . <

v

ft <

Pa

<

p 2 < . . .

<

p r

< V

ft+1 <

Поэтому

< v

fe+2 <

... < v

ftfi.

(J\x =

к

( l

- j - r ) ,

CTv

—

и формула (3.2) дает (cp. [25])

м<г)(д =мй(£,г1) =

ап . . .

а1к

•• а1п

ап . . .

а1к

. . .

ai,r

•.

Т),

...................

А

& . . .

«С, ft

°а,т

*' * аа, п

н

5ft

ап,

т

апп

ft

a „ -k+Bi e)

z

(3.7)

= (- 1f l+rm,)Ar П (g„ -

П ha,- a*. пг+ш)

(где a = n — к + 1, x =

n — l +

1).

В частности, при ап_й+ш,ш=

а,

=

£( со =

1, 2,

,.,/с);

Cai,n-z+a, =

Ъ, г)м =

т] (ш = 1, 2,

.., I) (этот случай

встре­

тится в гл. III)

M ?z (£, Р) -

( -

1)Шг(Ш) Ат(| -

a f

(q -

Ъ)1.

(3.8)

26

ОБЩАЯ

ТЕОРИЯ

МАТРИЦ

И ФОРМ

[ГЛ. I

кроме того, положить ц =

£, то получим

Mi% (£, 1) =

m V (l) = ( -

1)» A r\ l - а Г

(3.9)

Примеры и упражнения

1. Пусть

3

0

4

- 5

2

1

— 1

3

2

— 2

5

7

0

— 4

2

5

— 2

9

2

2

— 3

1

8

— 2

13

— 3

4

— 2

— 4 1

2

— 1 - 1 2

2

5

- 3

9

0

12

- 1 5

6

3

5

7

— 4

14

9

2

— 7

Здесь п =

7, г =

2 (все строки являются линейными комбинациями

первых двух независимых строк). Возьмем

(г =

2)

р =

2, = 2,

h = 4, £3 =

6, £4 =

7;

/i = 1, 72 =

3, / 3= 5 ,

/4 =

6, т. е. (см. (3.1))

= m V = а ( 2 4 6 Л=

3

— 2

7

0

Р

1 — 2

— 3 4

2

\1 3 5 бУ

— 3

0

— 15 6

Положим

5

- 4

9

2

pi =

i4 = 7,

pa = £1= 2,

vi =

/1 =

1,

V2= / 3 =

5,

Т, е.

ах = гг = 4, а2 = £3= 6;

Рг = /г = 3 ,

Ра = /4 = 6,

/4Г =

Аг =

Л

* “ Л = А / 4 6\

I— 2

4

= — 12,

а

В»/

\3

6 /

|

0

6

§ 3]

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

27

Теперь, о одной стороны,

3

— 2

Сз 0

2

0 Сз + з

— 4

1

— 2 - 3 4

1

-2

— 3

4

— 3

0

- -15 6 —

— 3

0

- 1 5

6

5г — 4

9 2

C l - 2

0

15 — 6

= — 2

2

5з +

з

- 4

6

=

— 3

-15

=

— 2 [— (С* + 3) (18 -

C l - 2

15

— 6

30)] =

6?! + 1 2 ) -

4 ( -

45 +

155i -

=

2 [(52 + 3) (30 -

65,) +

4 (155, -

75)] =

=

2 [— б (5з + 3) (Сх — 5) -f 60 (5, — 5)] =

— 12 (5, — 5) (5з +

3 — 10) =

= - 1 2 ( 5 , - 5 ) (5 2 -7 ).

С другой стороны, в наборах

(М-и Рз, « 1, аз]

=

{7,

2, 4,

6},

{vj,

v2, 0,,

03} =

{1, 5, 3, 6}

количества

инверсий равны:

= 3,

crv =

1.

Таким образом

(см.

формулу (3.2)),

( -

l)°li+°''

А г (5,

-

а71) (52 -

а15) =

=

( - I)4

( -

12)

(5, -

5)

(52 -

7) =

-

12 (5, -

5) (52 -

7)

— 1

0

4

т

2

1

3

— 2

5

7

112

— 4

2

— 2

9

2

2

Т]3

1

— 2

13

— 3

4

— 2

- 4

2

— 1

— 12

2

5

&

— 4

14

9

2

— 7

Ответ.

Д =

24 (|, — 5) (т), +

5) rja (т]3 + 3).

У к а з а н и е . Рассмотреть минор AfjjT] =

/1

2 3 4 5 7

М^\ — А

3 4 5 6 7

l l

матрицы А примера 1 и воспользоваться формулой (3.7).

3.

Найти, не производя вычислений, корни многочлена третьей

степени

3

0

4

—

5

2

1

2

— 2

5

7

0

— 4

8

— 2

13

—

3

4

— 2

Рs W = 1

2 — 1 — 12 2

X

9

0

12

— 15

X

— 8

7

4

14

X

11

— 3

Ответ. Я,, =

5,

Я3=

6, Х3 = 9.

28

о вй и я ТЕОРИЯ

МАТРИЦ

И ФОРМ

[гл.

i

У к а з а н и е . Снова,

отправляясь от матрицы А примера

1,

использовать формулу (3.4) и предложение 1°.

4.

Вычислить (не раскрывая) определитель

1

£

- 1

\

0

— £

1

£

— 1

l

- 1

— £

1

i

— 1

— 1

— £

1

£

— 2

— 1

— i

1

Ответ.

Д = |\ — £|4.

У к а з а н и е . Подобрав соответствующую матрицу А , ис­

пользовать лемму 3.1

в форме (3.9) и предложение 2°.

5.

Обобщить

предложения 1° и 2°, заметив,

что в их условия

числами,

строго п о

о д н у (да еще вполне определенную) сторону

от

диагонали

на

схеме

(3.4) и диагоналей

. . .,

и

тц,

.., тц

на схеме

(3.7),

несущественно.

§ 4. Матрицы и линейные операторы. Спектр

4.1.

Напомним,

что

собственными значениями

ил

кратности)

Х2, ...,

Хп характеристического многочлена

ап — X

Й12

■ ат

1

ьГ

ап

022 — X .

■ а2п

II

ап1

ап2

■ ап п ~ Х

= (— ^)п +

(а1г + а22 + •. •+

апп) (— ^)n_1 + •.. + |А |(4.1)

непрерывными функциями элементов матрицы.

Корни же в с я ­

к о г о многочлена

Рп (X) = сцЛ71+ аД п-1 +

... -|- ап_1 X +

ап

(«о =f= 0) непрерывно

зависят от его коэффициентов. Точный смысл

последнего

утверждения таков: если при фиксированных значениях

do, cti, ...,

а п различные корни Xi, Х2, ..., Хг многочлена Рп (X)

име-

§ 4J

МАДРИДЫ Й ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. СПЕКТР

29

пространстве Еп линейный оператор А ,

определив его на

элементах базиса (а тем самым и во всем

пространстве Еп)

формулами *)

Aej = aJtet + aj2e2 + ■•• + a}rien (/ =

1,2,

/г). (4.2)

являются собственными значениями

оператора А, т. е.

для каждого X =

Xj (/ =

1,2,

п) существует такой век­

тор

Х — £iei

+ ^2б2 + •••+ Ьпе п

{=h 9)

из Еп, что Ах =

Хх.

Это утверждение получается немедленно, если заме­

тить, что равенство Ах =

Хх равносильно системе линей­

ных однородных уравнений

(ап — X)

+

а21£2 +

•••+

=

О,

®12^1 +

(®22

‘

®n2^n

OlnEl “Ь а2п ? 2 +

•••“Н fain

X)

О,

допускающей ненулевое решение х =

{£ь £2, ..., |п} в том

и только

в

том

случае,

когда X — корень уравнения

|А—ХЕ \=

0.

Вектор ж называется в этом случае собствен­

ным вектором оператора

А, отвечающим собственному

значению X.

ют кратности si, sa, ..., sr

соответственно

(si +

sa +

... + sr = n),

то для любого

б >

0 существует 6 >

0 такое, что при |5, — а £|<

< б (i = 0,

1, ..., п) в

е-окрестности каждого из чисел Х)Сбудет на­

=

Ъ.оХп

+ aiXn~1 - ) - ...+ &п_]Х -f- а п (k = 1, 2 ,..., г) — доказательст­

во

см.,

например, в [10], § 73.

*)

Ясно, что и обратно: если линейный оператор А в простран­