книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

Для

доказательства

рассмотрим

«квазимногочлен»

71

Тп(z)

=

2

«fc2*-

к——п

который

по

умножении

на z"

превращается,

очевидно,

в обычный многочлен

G (z)

= znTn (z) =

= а-п - f

a_n+1z + . . . +

an_1z2n- 1 +

anz2n,

(Д.П .11)

по

условию

эрмитово-симметричный

(ci-k =

ak) к = 0,

случае некоторые из них могут равняться нулю:

таких кор­

ней будет точно г( >

0), если ап =

ап_х = . . .=

ап_г+1 = 0,

ап-г =5^ 0.

Таким образом,

к

у

1

/

\

G (z) = Czr П

(z -

П (z — zv) ( z -----=—), (Д.Н.12)

где

ц =

1,

2,. .

fe;

0 < |zv

|< 1 ,

1 ^ 1 = 1 ;

v = 1, 2,...,

I (r -f-

к -}-

21

2n), C =

const,

к

I

G(z) = C'zr+I П (z - у П (z

zv) (-1- -

zv),

V = 1

'

'

l

где C' = (— 1)lC П

• Отсюда

fi. Фу й к ц и о й а й ы e if g

ш

причем s = г -f-

l — n. Так как здесь последний множи-

i

тель (П ) на окружности г — eil (0 ^ t ^

2я)

неотрица-

'v a l'

то неотри­

телен и этим же свойством обладает Тп (eil),

цательна и функция

к

f(t) = C'eM П ( в « - у ,

(ДЛ1.13)

y=i

откуда следует,

что кратность каждого из

корней £ чет-

г*

(eil - 8ilf m+1 = (2i)2m+1ei(2m+1)

.

к

к/2

П ( ^ - У = П ^ ' - Р 2-

(Д.НД4)

р=1

1А=1

Но

тогда _из

(Д.Н.11),

(Д.Н.12) и

(Д.Н.14)

следует:

о<

г . («") =

| <«*')|=

|e («"j |=

к/2

|С| пП 1 ^ ' — ^ Г П - “г ’ **•

Р-Х

v-1

II. Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы S И 0

243

так что

п

<£{тп} = 2 с ^ й , ,

р,а=о

откуда и следует утверждение 3°.

Т е о р е м а Д.П.2. Для

того чтобы эрмитова теп­

лицева форма

п—1

Тп_г{х,х)=

2 ср-ЛЛс

(Д.Н.17)

точно,

чтобы

ее

коэффициенты

ср (=

с_р)

допускали

представление

П

СР = 2

г v6v

( р

= 0, ±

1 , . . . ,

±

( п

-

1)),

(Д -II. 18)

v=X

в котором

|rv I >

0,

|ev I

= 1

(V =

1,

2,...,

п)

и все ev

различны.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Д о с т а т о ч н о с т ь ус­

ловия видна из того, что форма (Д.П.17)

с

коэффициен­

тами (Д.Н.18)

может быть переписана в виде

П — 1

П

71

П — 1

Tn~i(x,x) =

2 (2

2 г*

2

“ ,

p , q =0 'v = l

*

v = i

p = 0

из

которого

следует,

что

Тп-Х(х,

х) Д> 0

при

х —

=

{Ео, h,-

■•, Sn-i}

0>

поскольку

все

гч>

0, а

все

ev

различны (v

=

1, 2,

..., п)

(ср.

с доказательством дос­

таточности

в теореме

Д.П.1).

У

положительно

опреде­

Н е о б х о д и м о с т ь .

ленной

формы

(Д.П.17)

определитель

Dn-i =

=

del I cp_g I р7а=о Ф 0

(следствие

1

теоремы

5.2).

Выберем

произвольное

£, =

сп

на

окружности

(см.

244

ДОПОЛНЕНИЯ

замечание 1 к

теореме

13.1)

с о

С-1

■ • • с-п+1 1

С1 с о

с - п + а

с -п+1

Сп-1 С П - 2

•

• •

с о

я-1

1

С71-1

•

• •

c i

С 0

2 cp- 9u<? = °

(? = 0 ,1

(Д.И.19)

р=0

допускает ненулевое решение {и0,

..., ип-х, ип}. Заме­

нив в этой системе р на п — р, a q на п — q, убедимся, что

П

2 Cp_qHn_q = 0

(<? = 0, 1, . . . , ll).

Р = 0

ип

7 1 -1

|е| = 1

Uo

1(1

(в частности, uo =j=0, ип фО). Итак,

за счет умножения

всех uq (q — 0,

1,

..., п) на некоторый множитель можно

добиться,

чтобы

е = 1 .

Будем считать, что это сделано,

т. е.

^ n —q

Mq

(jq

= 0 , 1 ,

. . . , 7l).

Рассмотрим эрмитово-симметрический многочлен

u n (z)

= U0 +

ИХ2 -1-

...

+ unzn

(ио = й п ф 0).

Умножив

его на z~q и применив при z =

eil функционал

6 (см. (Д.П.15)), получим в силу (Д.П.19)

Щип {еи)е~&} =

= C—qllq

Ci—q ll i

-|- • ••“[- Cn —qHn = 0

(q =

0, 1, . . . , 11).

(Д.П.20)

II. ФУНКЦИОНАЛЫ © И д

245

Покажем,

что все корни многочлена

Un (z) различны

и по модулю

равны 1.

Пусть eUi, eil»,

ег‘т — все раз­

личные корни

нечетной

кратности многочлена Un (z),

лежащие на

окружности

|z| = 1 . Определим многочлен

G (z) степени т формулой

= е

nim

г

,+ !+"‘

m

(z — e{,i). .. (z — е1'"1) при лг > 1,

2

е 2

I== 1

при

т — 0.

Если у многочлена

Un (z) имеются корни, не лежащие

ми относительно нее парами

{|Зг, 1/|3,} (I = 1,

..., s), так

что общее их количество с

учетом кратности

— четное.

ключить,

что четным является и число

п — т = 2к.

Теперь Un (z) можно представить в виде

Un(z) = CG (z) K { z) k [

(Д .11.21)

где К (z)

— многочлен степени к *), а С = const. Но тогда

квазимногочлеи

t f ( z ) = - ^ - f f ( 4 - ) t f » ( z )

(Д.11.22)

H{Z) =

\C\*G{z) g ( - ^ ) k {z) k { ± ) ,

т.

е.

Н (eil) =

\C\2G(eil)

) К (еи) Т Щ .

*) З д е с ь

К (2) =

(2 -

а / ‘ . . .

(2

- а г ) ^ ( г

. . . (2 -

p s) Vs,

г д е

| а 3- | =

1 ( / =

1 , 2 , . . . , г ) ,

0 <

| Р г | <

1 ( 1 = 1 ^ 2 , . . . , s ),

p i

+ р .2 + . . .

+ p r +

V i +

V 2 ■+• . . .

+

v s =

А \ Н о

т о г д а zkK

( I / 2) =

=

Ci (2 - а х ) л . . . (2 -

а Т)*г (2 -

l / P i ) 4* . . . ( г -

г д е C i =

248

ДОПОЛНЕНИЯ

где rv

0, |ev| = 1 и все ev (v = 1,

2, ..., р) различны

(см. [1], статья I, гл. 1, теорема 12).

здесь соответствую­

Как видим, в отличие от (Д.П.8),

тересное преобразование, имеющее ряд

приложений в

проблеме моментов *).

Для упрощения символики будем рассматривать теп-

лидеву

форму порядка п -+- 1, а именно,

вещественную

в адратичную форму

П

(с-р = ср; Р = о,1 , . . . ,

2

сР-?£р£?

п). (Д.И.26)

*к = 4 г

2

(* = 0 ,1 .........п). (Д.11.27)

1

т=

0

ме (Д.П.26), относит

тригонометрическому многочлену

П

Tn(z ) =

2

V

P

(* = «*')

р=—n

порядка не выше п число

п

в {Г п (2 )}=

2

V

p-

Р=5—П

Поэтому формулы (Д. 11.27)

можно

переписать в виде

S(c = ® { ^ r ( z + ^ - ) fcJ

{z =

eu,

k = 0, i, ... ,n),

(Д.Н.28)