книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

230

ДОПОЛНЕНИЯ

+ а2 +

а 3 = 4,

о^аз + а 3а 3 + а 3а 4 = 7

ata2a3 — — 1.

Поэтому

ньютоновы суммы

этих корней таковы:

s0 = 3 ,

^ = 4, s2 = а? + а2 + а з =

= («1 +

а2 + а3)2 — 2 (ахоа + ага3 +

а3а1) = 1 6 — 14=2 .

Так как

Dg— sQ— 3, D,

S0 S1

3 4 = -1 0 ,

S1 S2

4 2

«!,

аа, а 3,

а 4.

Их

ньютоновы

суммы:

so =

4, Si =

5f,

s2 =

а2 + *1 + а* +

я2 = .

= К

+ а2+

а3+ э4)* -

2 (ахаа +

+

а2а 3 +

а2а4 +

а3а4) =

33 \

лг

33

17

4 ) =

— 2 5 +

2

2

Поэтому

4

—5i =

(£> _,= 1),'

Оо =

4, D,

16 — 25 =

— 9,

—5t

-17/2

5/

4

Dз ■=

4

—5i

=

~

(81 - 1 - 2 5 +

34 |*) =

0

-1 7 /2

5/

4

I. Теорем ы б о р х а р д т а - й кобй и гё р г л о т ц а - м. к р е й н а

231

Минор D z (а стало быть, и сумму $3) можно не вычислять,

так

з

как по

правилу (16.6) сигнатура формы 2 sp- q^p% Равна

з

Р, 9 = 0

< 5 = 2

siSn А - А ) =

v=*0

вычислить и сумму ss.

формулами Ньютона, упоминавши­

Воспользуемся для этого

мися уже в подстрочном примечании на стр. 224 (их вывод см.,

например, [10], § 125).

стенени п записать в виде

Если произвольный многочлен / (к)

/ (\) = к” - М "-1 +

М "-3 -

... + ( - 1)п /„,

% — /iSft-i + ftfk- г — —

+

(—

1)л к/is = 0 (/с =

1, 2, . . . ,

п — 1)

И

sn+ls

/isn+k-i "Ь^2 sn+k-t

•••

"Ь (

fnsk ~

®

(к = 0,

1, 2, ...).

В

частности, при п =

4

из

этих

формул

получаем

si — /и

S2 = /\ -

2/2,

s3 = f\ — 3/ х/ 4 + 3/а,

S4 = f{ -

4/J/, +

4/j/g

+ 2/1 -

4/4

Г. ТЕОРЕМЫ БОРХАРДТА -

ЯКОБИ И ГЕРГЛОТЦЛ -

М.

КРЕЙНА

233

имеют один и тот же ранг

р и одну и ту же сигнатуру о,

т. е.

р =

= р +

2д — числу (всех) различных корней мпогочлена

Рп (X), а

а — р — числу его

различных

вещественных

теорией.

У к а з а н и е .

При любом т =

п, и. -(-

1, ...

можно повторить

все рассуждения

из

доказательства теоремы Д . 1.1.

8. Сформулировать и доказать аналог результата из упражне­

ния 7

для форм (Д.1.6) (с заменой в них п па т — п, п + 1,

...).

9.

Индексом

Коши

/£ R

(X)

вещественной

рациональной

функции

ЛW

апХп -f- ахХ

1 +

. . . + an_i^ +

я

ъах + ъгх

------Tfc

V -L b

+ . . . + b ^X + ьт

на интервале (а, (3)

называется разность между числом разрывов

R (к) с переходом от — оо к + м

и числом ее разрывов с переходом

от + оо к — оо при изменении аргумента X от а до р (а <( X <С Р).

Доказать, что для рациональной функции

Л(Я-) =

?n(V

где Рп (X)

— вещественный многочлен (Д. 1.1),

а

(X) — его

про­

изводная,

R

(X) — о,

где а — сигнатура

формы (Д.1.4).

У к а з а н и е .

Использовать теорему

Д.1.1.

З а м е ч а н и е .

Результат, сформулированный в упражнени

9, есть частный случай более общей теоремы:

Пусть

R (z) — рациональная функция

и

т

+

. . . +

S_ 2Z +

z- l

SO

Si

••■ (m ^ 0)

R (z) = 5_m_ 1Z

+ ~Y~ +

"JF +

1. Пусть задан фиксированный

набор

^ 0> s l> ®2» ■ • •i ®m

(®)

Tm(z)= S

Akz*

(z =

e«)

К=—m

порядка не выше т линейный

функционал ©:

VI

Ъ{Тт} =

2

A*ckt

где

k = — т

с-к = с,,

(А = 1, 2, . .

т).

В частности, когда

Тт {eil}

— вещественный триго­

нометрический многочлен, т. е. А~ь — A h

(к — 0, 1, . . .

. . ., т), значение © {?\п} функционала

6

на этом много­

члене есть вещественное число.

В наших дальнейших рассмотрениях будут фигу­

рировать функционалы

©

и S,

порожденные наборами

it. Фу н к ц и о н Ал ь! s н ®

235

Нп- х{ х, х )= 2

(Д .11.1)

J, К = 0

71

** =

2

Pvtf

(й = 0 , 1 , . . . ,

2га- 2 ) ,

(Д.И.2)

v=l

где

P v > 0 ,

(v =

1, 2,...,

/г),

— ОО <

<Уг <

”0-2 <

•• ■< Ап <

4

00•

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Из

представления (Д.П.2) вытекает, что

71—1

П—1

П

Я«-1 (*,*) =

2

sj+, ^ , =

2

2

P*<H+%£k =

з,

k=o

j, k=o v=i

= 2 P v ( 2 i ^ ) 2> o

v=i

4-=0

'

для

всех

x =

{|0, h,

. . .,

In-i}

=#= 0,

ибо одновременные

равенства

n—1

2

^

= 0

(v = 1 , 2 , . . . , b )

k=o

*)

Впрочем,

сравнительно недавно вышел ее перевод на англий­

ский язык [11].

считаем 0° =

1.

**)

Здесь снова

9*

II. ФУНКЦИОНАЛЫ @ И S

237

© {G (X )}=

2

sH v^p|v + 2

«и* V I * >

о

Н-, v= 0

|A, v=0

(напомним, что G (X) =(= 0, так что хотя бы одна из систем

чисел {g0, £i,

gn-i}

или {т|0, Hi

Нтг-т>

ненуле-

вая) *).

к — 2, то,

согласпо

Если мы теперь допустим, что р

Предложение 1°

доказано.

Рассмотрим теперь произвольный многочлен G {X) сте­

пени 2п — 2. Пусть Qn (X) — вещественный квазиорто-

гональный многочлен степени гг, а

< й2 с

... < йп —

все его корни. Представим G (Я.)

в виде

G (X)

= Qn{X) q {X) +

г (X),

(Д.Н.4)

где q (X) — многочлен степени ^

гг — 2, а остаток г (X,) —

многочлен степени ^

гг — 4.

Полагая

X — й\,,

получаем

г

( f lv) = G

(<**) (V =

1, 2,

. . . , гг).

( Д . Н . 5 )

предложения 3°.

(Д .П .6) очевидна, так как (см. (Д.П.5))

**) Впрочем, формула

многочлен г (Я.) степени ^

п — 1 совпадает с многочленом, стоящим

в правой части (Д .Н .6),

в п различных точках di, йа, .... йп.