книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория
.pdf220 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ [ГЛ. IV
Получим
П — 1 71— 1 71— 1 П — 1 П — 1
2 S;+fc11j1lfe = |
2 S}+k 2 |
2 |
= |
2 cpq^>p^>qi |
||
j, fc=0 |
|
j, h=0 |
P=0 |
5=0 |
|
p, 5=0 |
где |
n—l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cp<2 = |
2 |
S3+kPjpP)ti2 |
|
(.Pi 9 — |
1) ■•■i n ~~ !)• |
|
|
s=o |
|
|
|
|
|
Отсюда видно, что матрица ||сРЧ|р7ч=о эрмитова: |
||||||
cqp |
= |
cVg (р , g |
= |
0, 1, . . |
п — |
1), |
а ее элементы — линейные формы от переменных s0, slt ...
. . ., s2n-2- При этом нам известно, что в случае |
п о л о |
|||||
ж и т е л ь н о й |
о п р е д е л е н н о с т и |
формы |
||||
H n-i(y, |
У) |
|
|
|
|
|
С р д |
— с р - 1г q - i |
(р , q = |
1 , 2 , |
п |
1). |
(19.21) |
Зафиксируем в |
форме |
Нп |
(у, у) коэффициенты sx, |
|||
s3, . . ., |
sZn- з, а коэффициентами |
s0, s2, |
. . ., s2n-2 распо |
|||
рядимся так, чтобы форма Нп-х (у, у) стала положитель но определенной. Именно, выберем сперва и зафиксируем
(D0 = ) So |
0- Поскольку |
|
|
Dx |
*0^2 -- Sl> |
то Dx )> 0 |
при достаточно |
большом (положительном) |
s2. Зафиксируем такое s2, а полонштельное s4 выберем
настолько большим, |
чтобы |
|
|
s o |
si |
*2 |
siDi + . . . ) > 0 |
si |
S2 |
S3 |
|
sa |
S3 |
*4 |
|
и т. д. В результате при некоторых достаточно больших s0) s2, . . ., s2n-2 получим
> 0 , > 0, . . ., О,
причем из рассуждения ясно, что такие наборы s0, s2, . . .
. . ., s2n—2 можно составлять бесконечным множеством спо
§ 19] |
ВЗАИМНЫЕ |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
221 |
собов, п р и |
к о т о р ых |
и з м е н я ю т с я |
з н а ч е |
н и я с р а з у в с е х |
п е р е м е н н ы х sQ, s2, . . . |
||
..., $2п-2- Но для всех таких наборов, как мы знаем, справед ливы соотношения (19.21), в которых обе части (при фик сированных р и q) суть линейные функции от s0, s2, . . .
..., s2n- г- Стало быть, эти соотношения выполняются тожде ственно относительно sQ, s2, . . ., s2n-2, т. е. для любых ганкелевых форм Нп-Х(у, у).
Теорема 19.1 доказана.
Примеры и упражнения
1. (Ф. И. Лаидер). Доказать, что преобразование (19.4) можно переписать в эквивалентной «символической» форме
Ер = (а + to )* -* -* (d + Ьа)Р (р = 0, 1, ..., п - 1),
где в правой части после раскрытия скобок следует сделать замену
coJ= |
— |
^ |
(/' = о, 1, .... п — 1). |
|
°п-1 |
|
|
У к а з а н и е . |
Положить |
т|3- = C „-i0)7 (/ = 0, 1, ..., re — 1) |
|
в (Ф.— Ф.) и вычислить |
последовательные производные по е в точ |
||
ке 8 = 0. |
|
|
|
2.Вывести формулы (19.7) из результата упражнения 1.
3.По аналогии с упражнением 1 установить для преобразова ния (19.6) эквивалентную «символическую» форму
Ч, - |
( J ,; ~ ‘ 1)|/ 1 ё - ч - и и - V |
(/ = 0, 1,.... re — 1),
где Д = ab — аб, а после раскрытия скобок в правой части делается постановка
|
ФР = т | — |
(р = 0, 1, ..., ге — 1). |
|
|
||
|
|
°п-х |
|
|
|
|
|
4. Из результата упражнения 3 |
вывести формулы |
(19.10). |
|||
|
б. Вывести формулы |
(19.13) непосредственно из (19.10). |
сде |
|||
|
У к а з а н и е . |
Заменив в (19.10) всюду р на ге — 1 — р, |
||||
лать в правой части замену индекса суммирования р на р' = / |
— р |
|||||
и |
учесть соотношения (19.8). |
|
|
|
||
|
6. Вывести формулы (19.12) и (19.13), не используя вообпхе яв |
|||||
ных выражений (19.7) и (19.10) для коэффициентов a PJ- и |
соответ |
|||||
ственно. |
Использовать соответственно тождества (Ф ,—Ф.) |
|||||
|
У к а з а н и е . |
|||||
и |
(Ф ,— Ф. bis), считая в |
них |е |= |
1, й = $. |
|
|
|
222 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
7. |
(Э. Фшиер [44]).|Доказать, что переменные т)0, Hi, |
цп_х в |
преобразовании (Ф. — Ф.) вещественны тогда и только тогда, когда
переменные |0, |
..., £п_х удовлетворяют условию |
||||||
|
|
|
р --- |
(,р (Р == б, |
1, ..., 71 |
1). |
|
У к а з а н и е . |
Воспользоваться формулами (19.12) и (19.13). |
||||||
8. Как легко усмотреть непосредственно из тождества (Ф .—Ф.), |
|||||||
формулы (19.4) выглядят так: |
|
|
|||||
при |
п = 2 |
|
|
£ о = |
ат)о +_bTli> |
|
|
|
|
|
|
|
|||
при |
71= 3 |
|
|
£г = |
“'По + |
&ТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
%0= “Х + а6ть + ЬХ . |
|
||||
|
|
= |
2аат|0 + |
(аЪ + |
аЪ) т)х + |
266tj2, |
|
|
|
5a = |
“X |
+ “Иг + |
&Х- |
|
|
Сопоставить эти равенства с явными формулами (19.7) для коэф фициентов aPj преобразования (19.4).
9. Аналогично упражнению 8 из тождества (Ф. — Ф. bis) на
ходим, что формулы (19.6) запишутся в виде (А = ab — ab):
при 7 i= 2
Т)о = 4 - Ф о - И У .
= 4 - ( - “5о+ “^):
при 71 = 3 |
|
|
Н0 = ^ Г ( Ы о |
- ЬЬ\х + ЪЪ), |
|
’ll — дГ (— 2Ьа£о + |
[6а -)- ba ] £i — 2b a £2), |
|
Пг = -^ - ( |
аЧ,о |
— аа^х + о ^ 2). |
Сопоставить эти равенства с явными формулами (19.10) для коэф фициентов Рур преобразования (19.6), а также с подстрочным при мечанием на стр. 210.
10. Проверить вещественность матрицы |sjk ||у^=0 и эрмито-
вость матрицы |cpq ll^7g=o' определяемых формулами (19.18) и
(19.20) соответственно, исходя непосредственно из этих формул (ср. с упражнением 11).
11. В начале п. 19.4) было показано, что после преобразования
(19.4) |
форма (19.14) переходит в эрмитову форму |
(19.16): ?ук = sy |
||
(;', А = |
0, 1, ..., 71— |
1). Показать, |
не используя |
(19.18), что эти |
Коэффициенты вещественны: |
sy/c (/, к = 0, ... |
,га — 1). |
||
У к а з а н и е . |
Воспользоваться соотношениями (19.12). |
|||
ДОПОЛНЕНИЯ
I. Теоремы Борхардта — Якоби
и Герглотца — М. Крейна о корнях вещественных
иэрмитово-симметричных многочленов
1.Укажем здесь одну из сфер непосредственного при менения изложенных в §§ 12 и 16 результатов относитель
но сигнатур ганкелевых и теплицевых форм. Речь идет о проблеме расположения корней в е щ е с т в е н н о г о многочлена
Рп W ~ а<Ап а т Р -1 ~Ь ■ ■ ■ + ап -1^ Ч~ ап |
(Д.1.1) |
(ah = ah\ к = 0, 1, . . п) |
|
либо э р м и т о в о - с и м м е т р и ч е с к о г о |
много |
члена |
|
Q n (я.) = ъ 0х п + ъ |
+ . . _ . + &„_!*. + ь п |
|
{К = 5n_ft; к = 0, 1,. . п) (Д.1.2) |
относительно вещественной оси и единичной окружности соответственно.
Напомним, что корни многочлена Рп (к) (см. (Д.1.1)) всегда расположены симметрично относительно вегцествен-
ной оси, причем невещественные комплексно-сопряжен ные пары (если они имеются) состоят из корней одина ковой кратности. Совершенно аналогичная картина имеет место для корней многочлена Qn (к) (см. (Д.1.2)), но с за меной вещественной оси единичной окружностью, т. е.
вместо вещественных корней следует говорить о корнях, равных по модулю единице, а вместо комплексно-сопря женных пар — о парах вида ((3, р*), зеркальных (сим метричных) относительно единичной окружности:
224 |
ДОПОЛНЕНИЯ |
Оба эти утверждения, хорошо известные из алгебры мно гочленов, легко проверяются и непосредственно (см. ниже упражнения 1, 2).
2.Рассмотрим вещественный многочлен Рп(А,) (Д.1.1)
ипусть а1} а2, . . ., ап — все его корни (здесь каждый ко рень повторен столько раз, какова его кратность). Соста
вим ньютоновы суммы *)
sk — |
• •• + °п |
(к = 0, 1, 2, |
. . .) (Д.1.3) |
и используем их в качестве |
коэффициентов |
ганкелевой |
|
квадратичной формы |
П—1 |
|
|
|
|
|
|
|
Нп^{х,х) = |
2 Ъ+кЫк |
(Д-1-4) |
|
з, к=о |
|
|
(напомним, что в силу свойств корней многочлена Рп (X) все суммы shвещественны).
Т е о р е м а Д.1.1 ( Б о р х а р д т а — Я к о б и ) . Ес ли л — число положительных квадратов, a v — число от рицательных квадратов формы Нп-1 (х, х) (см. (Д.1.4)), то многочлен Рп (X) имеет v различных пар комплексно сопряженных корней и а = л — v различных веществен ных корней.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Форма Нп-г (х, х) |
легко мо |
|||
жет быть представлена в виде суммы квадратов: |
|
|
|||
п—1 |
|
п—1 |
(а1+* "Ь a2+k "Ь • • ■+ °?nk) |
|
|
Hn-l{x,x)= 2 |
S}+d>dk = |
2 |
= |
||
1, k =0 |
n-1 |
3, k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ |
2 (al?jal^/f + a2?ja2?)i + • • ■+ |
|
f), |
||
t . e. |
3, k= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
# „ -i ( x , X ) = 2 ( l o + |
|
+ ••- + |
(Д-1-5) |
||
k= l |
|
|
|
|
|
*) Символ 0° здесь считается равным 1. В теории симметричес ких функций (см., например, [10], § 125) показывается, что сум мы (Д.1.3) по известным формулам Ньютона выражаются через основные симметрические функции от ai, аг, ..., ссп, а те в свою очередь — через коэффициенты многочлена Рп (X) (см, ниже уп ражнение 4).
I, ТЕОРЕМЫ БОРХАРДТА — ЯКОБИ И ГЕРГЛОТЦА— М. КРЕЙНА |
225 |
Представление (Д.1.5) нельзя еще назвать канониче |
|
ским (см. п. 5.2), так как среди корней ctl5 а2, . . ., |
ап |
могут быть кратные, т. е. соответствующие им линейные формы зависимы (они просто одинаковы и в представле нии (Д.1.5) их квадраты повторяются столько раз, какова кратность соответствующего корня).
Если среди корней ах, |
а2, . . ., ап есть р р а з л и ч |
н ы х вещественных и q |
р а з л и ч н ы х пар комплек |
сно-сопряженных, то после приведения подобных членов в правой части представления (Д.1.5) окажется сумма квадратов р 2q линейных форм, которые (в поле ком плексных чисел) л и н е й н о н е з а в и с и м ы ; мат рица их коэффициентов (см. п. 5.1), составленная теперь
из |
целых |
неотрицательных степеней р а з л и ч н ы х |
||
р + |
2# корней многочлена |
Рп (А,), имеет ранг, в точности |
||
равный р = |
р -f- 2 <7, |
ибо |
отличен от нуля соответствую |
|
щий определитель |
Вандермонда. |
|||
|
Однако и таким образом преобразованное представ |
|||
ление (Д.1.5), если q =j= 0, |
не является еще каноническим, |
|||
так как вещественная квадратичная форма Я„_г (х, х) представлена здесь в виде суммы квадратов р веществен ных и 2q невещественных линейных форм. Каждому из
этих 2q квадратов |
невещественных |
форм вида |
|
||||
|
|
\М{х) + |
i N(x)}\ |
|
|
||
где' М (х) |
и N (х) |
— вещественные |
линейные |
формы |
|||
от переменных £0> |
•••. 1п-и отвечает |
в той же сумме |
|||||
квадрат |
|
[М (х) - |
iN (я)]2. |
|
|
||
|
|
|
|
||||
Объединив |
соответствующие |
слагаемые, |
получим |
|
|||
[М {х) + i N (z)]2 + |
[М (х) — i N |
(х)]2 = |
|
[N (г)]2. |
|||
|
|
|
= |
2 [М (я)]2 - 2 |
|||
Проделав это со всеми невещественными квадратами, «перестроим» представление (Д.1.5) так, что теперь в нем будет р + q положительных и q отрицательных квадра тов. Легко понять, что все входящие в эти квадраты ли нейные формы независимы, так как мы получили их из р -f- 2q независимых форм простым преобразованием; заменили q пар независимых форм вида
{М (х) i N {х), М (х) — i N (z)}
Vs 8 И. С. Иохвидов
226 ДОПОЛНЕНИЯ
их полусуммами М (х) и разделенными на 2i полуразно-
стями N (х). |
|
|
|
Итак, если о = л — v — сигнатура формы # „_ ! (х, х), |
|||
то л = р + q, |
a v = q, откуда |
|
|
р = л — v = a, |
q = |
v. |
|
Теорема доказана. |
является |
|
|
3. Аналогом теоремы Д.1.1 |
|
||
Т е о р е м а |
Д.1.2 (Г е р г л о т ц а — М. Крей на ) . |
||
■Пусть Зц е2, . |
. ., ер — все различные |
лежащие на еди |
|
ничной окружности корни эрмитово-симметрического
многочлена Qn(Я) |
(см. (Д.1.2)), кратности которых равны |
||||||||
Pi» |
Р21 |
•• ■, рр |
соответственно. |
Пусть, |
далее, (рь рх}, |
||||
{Р2, |
р2}, ••*t {P?t |
Рч} — все |
различные |
пары зеркально |
|||||
расположенных (Р* = l/p h, |
k |
= 1, |
2, . . ., |
q) |
относитель |
||||
но |
окружности |
|Я |= 1 |
корней |
того |
же |
многочлена |
|||
Qn (Я) с соответствующими |
кратностями |
alt о2, . . . |
|||||||
.. ., Од. Черезsh(k = |
0, 1 , 2 , . . . ) обозначим, как и втеореме |
||||||||
Д.1.1, |
ньютоновы |
суммы |
корней |
(каждый |
повторен со |
||||
своей кратностью). |
|
|
|
|
|
|
|||
Если эрмитова теплицева форма |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
Д -i {х, х) = |
2 |
|
|
(Д. 1.6) |
||
|
|
|
|
|
|
J, н=0 |
|
|
|
имеет я положительных и v отрицательных квадратов, то многочлен Qn (Я) имеет л — v ( = р) различных корней еА, равных по модулю 1, и v (= q) различных пар корней
(Phi Pfi}t зеркальных относительно окружности |Я |= 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего заметим, что ньютоновы суммы sh теперь имеют вид
р9
h = |
2 P i4 + |
2 |
б*(Р* + Pvk) |
(* = |
о, 1, 2, ...) . |
(Д ■1.7) |
|
|
( 1 = 1 |
V = 1 |
|
|
|
|
|
А поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
= |
ev- , Pvk |
= |
Pv* |
(р = |
1, 2, . . . , |
р) v = 1, 2, |
. . . , q), |
I. ТЕ О РЕ М Ы Б О Р Х А Р Д Т А - Я К О Б И И ГЕ Р Г Л О Т Ц А - М. К Р Е Й Н А 227
ТО
s-h = Sh (к = 0, 1, 2, . . .),
так что форма (Д.1.6) в действительности эрмитова. Согласно формуле (Д.1.7)
si-k = 2 Ри-ен- |
+ 2 |
[Pv к+ р / к] = |
И-=1 |
v = l |
|
ра
|
|
|
— 2 ррер-бр "Ь 2 |
[PvPv + |
PmPv7']. |
||
|
|
|
( i = l |
V=1 |
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n - l |
P |
|
|
|
Tn-i(x, x) = |
2 sHcSjSk — 2 Pt1ISo + Ele'H- + |
••• + |
£n-ie£ 112 + |
||||
|
|
|
(c=o |
P=i |
|
|
|
+ |
2 |
6v (lo + |
llP v+ . . • + |
Sn-lP" *) (lo + flPv |
+ |
In-lPv" *)+ |
|
|
v = l |
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
Gy (So + |
llPv + ••• + |
Sn-lpv” *) ( I o+ Si Pv + ■■• + In-lPv *)• |
|||
|
v = l |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь p -f- 2q независимых линейных форм
X v (x ) |
= |
|0 + |
|a«* + |
•••+ |
Sn- 1 |
(P = |
1, 2, ; |
. p), |
|
Vv (x) |
= |
lo |
+ |
SiPv + |
••• + |
l ^ f C 1 |
• |
.............. |
|
Zv (*) |
= |
lo |
+ |
Sxp: + |
. . . + |
Sn iP*11"1 |
|
|
" qh |
Мы видим, |
что |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
Tп-1 (х, х) = 2 Рч|*ц (х) |2 + |
|
|
* |
!• |
|||||
|
|
|
| Х = Х |
|
|
|
|
fieri: |
|
|
|
|
|
<1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 0v[Y4(x)Zw(x) + Zv(x)Yv(x)] = |
|
■ ; |
|||
'V=1
v q а
*= 2 |
РП X» {х) I2 + 2 2av i £/v (*) Г - |
2 2av | (*)'|*, |
H-=l |
v = l |
v=X |
8*
228 Д О П О Л Н Е Н И Я
где
Uv (х) = -|-[У„(а:) -f Zv(x)],
Fv(a:) = -|-[УДа:) — Zv{x)] ^
Таким образом, форма Tn.1 (x, x) представлена в виде суммы р + <7 положительных и q отрицательных (незави симых!) квадратов, откуда и следуют все утверждения тео ремы
4. В качестве исторической справки укажем, что тео рема Д.1.1 была первоначально установлена Борхардтом (41| в иной (более узкой) формулировке: число различных пар комплексно-сопряженных корней вещественного мно гочлена (Д.1.1) равно числу
V { i , D l t D2, . . D „_,)
знакоперемен в ряду последовательных главных миноров
формы (Д.1.4). При этом предполагалось, |
что |
все |
||
|
0 |
(k = 1, 2.......... п - 1) |
|
|
(ср. теорему 8.1). |
|
вместе с при |
||
В полной формулировке теорема Д.1.1 |
||||
веденным |
выше доказательством была |
установлена |
||
Якоби и |
опубликована |
уже после его смерти |
Борхард |
|
том [42]. |
|
|
|
|
Не совсем тривиальна и история теоремы Д.1.2. Уста новленная сперва (более сложным методом) Герглотцом [47], она спустя несколько лет была независимо доказа на М. Г. Крейном [32 , причем элементарным методом, вполне аналогичным методу Якоби и приведенным нами в тексте.
Заметим, что мы ограничились в настоящем Дополне нии I лишь самыми первыми теоремами о применении гаикелевых и теплицевых форм в теории отделения кор ней алгебраических уравнений. Эти применепия весьма многообразны и им в первой трети нашего века была пос вящена обширная литература.
Обстоятельный ее обзор можно найти, вероятно, только (по крайней мере, на русском языке) в давно уже ставшей библиографической редкостью брошюре М. Крейна и М. Неймарка [7].
I. ТЕОРЕМ Ы Б О Р Х А Р Д Т А - |
Я К О Б И И Г Е Р ГЛ О Т Ц А - Ы. К Р Е Й Н А 229 |
||
Примеры и упражнения |
|||
1 . |
К о р н и в е щ е с т в е н н о г о м н о г о ч л е н а |
||
р » М = |
* ( Л П + |
+ |
. . . + ап^гХ + “ n (a /t = ац\ к — 0 , 1 , . . . , п) |
р а с п о л о ж е н ы с и м м е т р и ч н о о т н о с и т е л ь н о в е щ е с т в е н н о й в м е с т е с к о р н е м X = р ч и с л о й т а к ж е я в л я е т с я к о р н е м
о с и , т а к к а к м н о г о ч л е н а
рп а).- |
____ |
|
Рп (И-) = Рп (р) = 0. |
К р а т н о с т и н е в е щ е с т в е н н ы х к о р н е й р и р. с о в п а д а ю т , и б о п р и д е л е
н и и |
Рп (X) н а |
в е щ е с т в е н н ы й |
м н о г о ч л е н |
|
|
|
(X - |
р ) (X - р ) = X2 — 2 ( R e р ) X + |
I р I3 |
||
п о л у ч а е м с н о в а в е щ е с т в е н н ы й м н о г о ч л е н . |
|
|
|||
|
Д о к а з а т ь а н а л о г и ч н ы е у т в е р ж д е н и я о т н о с и т е л ь н о к о р н е й э р м и |
||||
т о в о - с и м м е т р и ч е с к о г о м н о г о ч л е н а |
|
|
|
||
|
Qn (Ь) = bdXn - f - Ьг Х п 1 |
- f - . . . |
- f - bn_jX |
- ( - bn |
|
|
|
(bk = bn_k. к = |
0 , 1 , |
. . . , n) |
|
с з а м е н о й п а р _ ( р , p ) , с и м м е т р и ч н ы х о т н о с и т е л ь н о п а р а м и ( р , 1 / р ) , з е р к а л ь н ы м и ( с и м м е т р и ч н ы м и ) н и ч н о й о к р у ж н о с т и .
в е щ е с т в е н н о й о с и , о т н о с и т е л ь н о е д и
У к а з а н и е . |
В о с п о л ь з о в |
а т ь с я |
т о |
ж д е с т в о м |
* ) |
Qn (X) = = |
= XnQn(i/X)'n т е м , ч т о |
( п р и Ъ0ф 0 ) |
X = |
0 н е |
я в л я е т с я |
к о р н е м Qn{X). |
|
2 . П р о в е р и т ь , ч т о к а ж д у ю и з д в у х т е о р е м , с о с т а в л я ю щ и х с о д е р ж а н и е у п р а ж н е н и я 1 , м о ж н о п о л у ч и т ь и з д р у г о й с п о м о щ ь ю д р о б н о - л и н е й н о г о п р е о б р а з о в а н и я ( с р . п . 1 9 . 2 )
|
|
|
„ |
b + Ъг |
(ab — |
ab ф 0 ) , |
|
|
|
|
б 1= |
-----------= — |
|||
|
|
|
|
а + ае |
|
|
|
п е р е в о д я щ е г о е д и н и ч н у ю о к р у ж н о с т ь | е | = |
1 в в е щ е с т в е н н у ю п р я |
||||||
м у ю б = |
б , |
и о б р а т н о г о п р е о б р а з о в а н и я |
|
||||
|
|
|
|
а б |
— Ь |
|
|
|
|
|
|
Ъ— а б |
|
|
|
|
У к а з а н и е . П р и в ы п о л н е н и и с о о т в е т с т в у ю щ е й п о д с т а н о в к и |
||||||
в |
м н о г о ч л е н |
Qn (X) р а с с м о т р е т ь о т д е л ь н о |
с л у ч а и ч е т н о й (п — 2т) |
||||
и |
н е ч е т н о й |
(п = 2т — |
1 ) с т е п е н и |
м н о г о ч л е н а |
Qn (X). |
||
|
3 . Р а с с м о т р и м в е щ е с т в е н н ы й м н о г о ч л е н |
||||||
Р3 (X) = Х 3 — U 2 + П + 1.
*) Символ R (X) означает замену всех к о э ф ф и ц и е н т о в многочлена R (X) на комплексно-сопряженные.