Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

8.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2722 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

210

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ

[ГЛ. IV

В случае,

если А = ab — ab =f= 0,

аналогичным обра

зом можно вычислить коэффициенты

(обратного)

пре

образования (19.6).

3°. Имеют место (в обозначениях (19.8)) формулы

п—1—р

аЪ \*

|л=о

‘ ab I

(7) р =

0 ,1 ,. . . , та — 1).

(19.10)

Для доказательства

внесем

(Ф .— Ф. bis)

выражения

(19.6):

71— 1

П — 1

А”-1 2

( 2

Р^р) ^ = 2

Ф -

(aft -

Ь)? £р.

3=0 'р=о

р=о

Сравнение коэффициентов при £р дает

71—1

Pip19'7 =

-^ т г Ф — a'&)n_1' p (aft — Ъ)р

( р

0, 1, . .

п -

1),

(19.11)

откуда без труда получается (19.10) *).

Из формулы (19.7) легко усматривается полезное для

дальнейших вычислений свойство коэффициентов

aPj и

Pjp преобразований (19.4) и (19.6) соответственно.

4°. При р,

у =

1, . . .,

п — 1

an-i-p, j

арН

(19.12)

Рдп-1-р =

Pip-

(19-13)

Ц-

Для доказательства соотношения

(19.12)

достаточно

формуле (19.7) всюду вместо р подставить п — i — р,

а затем произвести замену индекса суммирования:

р7 =

п — 1 — j

— р. Несколько сложнее выводится (19.13)

из (19.10) (см. упражнение 5 в конце параграфа), но

его

можно сразу

получить из

(19.12), если вспомнить,

что

*) Достаточно сравнить формулы (19.9) и (19.11), чтобы заме тить, что для перехода от первой ко второй (а значит, и от (19.7) к (19.10)) следует ввести в левой части множитель А71-1и всюду заме

нить буквы: е на •&, а на (3, / на р, р на /, а на Ъ, а на (— а), Ь на (— Ь) и Ъ на а.

§ 19]	ВЗАИМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	211
матрицы	1\|а^\|р7з=о и \|Pip \|\|i,"p=o — взаимно	обратные

(ибо таковы преобразования (19.4) и (19.6)). Это простое упражнение также предоставляется питателю. Наконец, обе формулы (19.12) и (19.13)'можно полупить, вообще не прибегая к явным выражениям (19.7) и (19.10) для коэф фициентов apj и Рур — см. упражнение 6 в конце пара графа.

19.4.Выясним теперь, как преобразуется произволь

ная теплицева	форма	П—1
		П—1
	Тп-1 (*,£)■=	2	ср - Л р ig,	(19.14)
где	Р. 9 = 0
где	= Ср (р = 0,	1,	. . ., п — 1),	(19.15)
с-р	= Ср (р = 0,	1,	. . ., п — 1),	(19.15)

в результате замены переменных (19.4). Для этой цели внесем выражения (19.4) в (19.14):

			п—1	п—1	п—1		п—1
Т п - 1	(Ж, х) =		2 ср ~ч 2		a v ir b 2	“ eM t =	2	si fc'Hi'Hfc,
			Р , 9 = 0	j —0	fc— 0		J, к = 0	(19.16)
где								(19.16)
где		п—1
		п—1
	~	2	Cp-q^pj^qk		{ilk ~ 0, 1, . . . , 71			1).
		Р, 5 = 0
Отсюда сразу			видно,	нто матрица. \|Sjk \|^"k=0				эрмитова.
В самом деле, упитывая (19.15),						имеем
	П—1			П—1
Sjk ~	2	Cp-q^pj^qk ~		2	cq-Paqk^Pj = skj
р, 5=о				g.'p=o		(j,k =	0, l , . . . , n — 1).
						(j,k =	0, l , . . . , n — 1).
Докажем теперь,				пто	эта матрица		г а н к е л е в а .

Для этой цели вынислим в явном виде коэффициенты Sjk,

воспользовавшись	формулами (19.7). Имеем
	п—1
SjK= ап~ ^ а п-^Ък	2 cp^b~(v~q)F~q х
	Р. 9 = 0

х Т е „ сг ( * г Т м ’ (|-)'.

212	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ			[ГЛ. IV
	п—1—к
В последней из	сумм (	2	) проделаем замену индекса
суммирования:	'	\>=0	'	воспользуемся
	\ = п — 1 — /г — v' и
формулой	Ct		sjS—t
		--
	8

(справедливой в силу (19.8) при любых целых s и t). Тог да, возвратясь к прежнему обозначению индекса суммиро вания (и учитывая все время (19.8)), получим

П—1

Sjk = an^ b jdn-^-kbk	2 cp- (lb^p- q)bp- q х
n—1—J	Р. 5=0
n—1—J		— l — к	,	— q—v	f „ h \ n - l - k - v
X 2 c t x - iC p ( 4 )			i - 1	— q—v	I do '
X 2 c t x - iC p ( 4 )		2 C -i-k C p			U6
p .= 0	' a b ‘	V = 0			\

= а ^ Н Й ) р М Г 1 2 3 2 С ^ х - ^ - к ^ Г ' х

\|A=0 v=M=n0	V°b /
n —X

i - l - q - v

J>, <2=0

(/,ft = 0 , l , . . . , n — 1). n—1

Сгруппируем теперь в последней из сумм ( 2 ) члены,

в которых разность				'р. 5=0'
в которых разность
	Р — q ( =		о)
сохраняет одно и то же значение.				Получим
% = « * « > ( 4 - ) ( т )		Д	S		х
	х	" з	( 3	с Г с г - « - ) < : . ( 4 - ) "
		0=—(n—1) 'р—Q=0			/ \ /
				О, Л = 0 , 1 , . . . , и— 1).
Для	вычисления	стоящей в		круглых	скобках
суммы (	2 ) воспользуемся		известной формулой

Р—5=9

§ 19]

ВЗАИМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

213

комбинаторики (см., например, [3], стр. 56):

С°ГСТ + С1СГ1

С Cl = С з - (19.17)

Если снова учесть (19.8) и то, что р, q = 0, 1, . . ., п — 1, то из (19.17) следует:

			^	__ £ a + (n -l)-(p .+ v )
			р—q=a
(;,	к =	0,	1, . . .,	га — 1; р. = 0,	1, . . ., га	— 1 — /;
v =	0,	1,	. . . , га	— 1 — к\ о = 0 ,	+ 1 ,	+ (га — 1)).

Таким образом,

(7,fc = 0 , 1,...,га — 1).

Группируя теперь справа члены с одинаковой суммой ин дексов р и v (р. + v = г) и снова применяя формулу

(19.17), получаем

2 ( п - 1 )—(}+к)

^a+pl-l)-

X	s	сь2(«-iHi+ft) W+fc	' ( 5 f <19)8>
	г=0

т. е. коэффициенты s/ft преобразованной формы (1946) Зависит только от суммы / + к индексов / и /с,

214	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ	[ГЛ. IV
В	частности, поскольку матрица \|sjh\|\|£ ^=0 эрмитова,

отсюда следует, что все коэффициенты sjhвещественны (ср.

п. 9.1) *).

Таким образом, доказано предложение

5°. Всякая эрмитова теплицева форма (19.14) преобра зованием (19.4) переводится в эрмитову ганкелеву форму.

19.5. Зададимся теперь произвольной ганкелевой формой

	71— 1
Нп-х (у, у) =	2	sj+kx\jr\k	(19.19)
	3, fc=0
с вещественными коэффициентами
Sj+h. = sj+h (/, k =	0,	1, . . .,	п — 1)

и применим к ней преобразование (19.6), порожденное

тождеством (Ф .— Ф. bis), где А =					аЪ — аЬ ф 0. Получим
		П — 1	П — 1	П — 1		71— 1
Н п-х {У>У) —		2 s3+fc 2		Рз'р^р 2	Pkala =	2	cP9Spfij7
где		k=o	p=a	5=0		p, 5=0
где	n—l
	n—l
£p5 =	2 ^j'+JtPj'pPfc?			(P> 9 = 0, i , . . . , n			1).
i, )t=o
Отсюда сразу видно, что				матрица \ c p q \ p t q = 0			эрмитова.
В самом деле,
п —1
С5Р = 2 s3+ffPjaP)rp =
з, )Г=0
	тг— 1
=	2	S+iPpFj5 = 5 Р5			(р, 9 =	0,1,. .., п — 1).
з\К=0
Покажем	теперь,		что	эта матрица		т е п л и ц е в а .

Воспользуемся сперва предложением 4°, а именно — фор

мулой	(19.13)	Имеем
	П — 1
СР5	~ 2	53+кРз’рР<С. 71-1-5	(р* ч = .0\| 1 ) . . . 1 и	1 ) .
	3, /f=0

*) См, также упражнение 11 в конце параграфе,

tyn-1+p-q.

« —1—Р

^Л

Р=о

§ 19]

ВЗАИМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

215

Внесем сюда найденные в 3° (см. (19.10)) значения вели чин (и соответственно Ра-, n=-i-g) и преобразуем полу ченное выражение теми же методами, что и при доказа тельстве предложения 5° (в частности, дважды исполь зуем формулу (19.17)). Получим

fc)Z>fc<7 ( _

д2(п -1)

pi - l - (p - q )

~д2(п —1)

п—1

b f-1 -Q

i, к—о	'
			ab
лн-1 / аЪ\lAV гг-1 1аЬУ —
L-n-1-pbp I—=-		2л bq^n-l-a \ г" —
	аЪ	v=0	аЪ
		v=0

X “Т	з	c s ^ d			i p '		”1	пк рЗ-р-рк-ч	_
								Ьр Isn—l—q —
Н=0	v=o			' а°	1	i, к = о		'
tfi-l-(p -q )				jjn -l+ p -< j		X
		д2(тг		X)
п—г—р q				. и		2,1—2
X 2	2	t	/	f		!	( 2	c ^ c K _ , ) s, U 3r), =
Р =0 v= 0				' ab ‘		г—о 'Я-А’= г
g n -l- (p -g )			^ п -1 +p-q

	д 2	( п - 1 )		X
2(п—1)	/ a	( n—1—(p-q)
о	/ a	у	2	у г *
2 *г [— ъ)			2	L ^ L Сп^
г= 0	•Ь J		А"“\|	' U4-v=o
г= 0			о= 0

С Л ( аЬ _\°с г - '	_
С«) I аъ ) С п	-

jn - l - ( p - q ) byi-1+р-<

Д21П-1)

2(n—1)

SSr ( —^Чг)

—6

г= 0

n - l - ( P - q )

с °п -

о=о

р Т -

Л аЬ \ а

i-(p-q)°tt-i+(p-<2) \ ab )

(.Р> Я = 0> 1.

п — 1),

(19.20)

216 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ [ГЛ. IV

т. е. коэффициенты cvq зависят только от разности р — q индексов р я д .

Таким образом, доказано предложение

6°. Всякая эрмитова ганкелева форма (19.19) преоб разованием (19.6) переводится в эрмитову теплицеву форму.

19.6. Резюмируя предложения 5° и 6°, сформулируем содержащийся в них основной результат данного пара графа:

Те о р е м а 19.1. Пусть а и Ъ— комплексные числа и

А= аВ — аВ =f=0. Тогда линейное преобразование (19.4) Фишера—Фробениуса, порожденное тождеством (Ф .—Ф.),

является неособенным. Это преобразование и обрат ное к нему преобразование (19.6) (порожденное тождеством (ф .— ф. bis) устанавливают взаимно однозначное соот ветствие между всеми эрмитовыми теплицевыми формами порядка п и всеми эрмитовыми ганкелевыми формами того же порядка п.

Результат такого типа был впервые установлен Э. Фи


шером	[43]	(при а = 1/2,		Ь= — i/2) для н е о т р и ц а
т е л ь н ы х		теплицевых		форм	с п е ц и а л ь н о г о
в и д а .	произвольных		а и Ь Г.		Фробениус	[45] распро
Для
странил	этот	результат	(точнее,		результат,	сформулиро

ванный выше в предложении 5°) па любые н е о т р и ц а т е л ь н ы е теплицевы формы. В полном объеме тео рема 19.1 была установлена в [29] двумя способами (оба они отличны от приведенного выше прямого вычисления). Один из них, ввиду его методического интереса, мы при ведем в п. 19.7. При этом нам придется опираться на две классические теоремы из степенной и тригонометрической проблемы моментов. Полноты ради доказательства этих теорем приведены ниже в Дополнении II (см. теоремы

Д. II. 1 и Д. II. 2). Там же читатель найдет еще некоторые полезные преобразования вещественных квадратичных теплицевых форм в суммы ганкелевых форм (см. теорему Д-И-З)-

19.7. Для случая	п о л о ж и т е л ь н о о п р е д е
л е н н ы х ф о р м	предложения 5° и 6° могут быть по

лучены значительно быстрее применением известных ре зультатов из теории моментов (степенных и тригонометри ческих) .

§ 19]

ВЗАИМНЫЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

217

Итак,

пусть

задана

п о л о ж и т е л ь н о

о п р е

д е л е н н а я

теплицева

форма

П—1

п-1 (^i X) — 2

•

Р, <1=0

Произведем над ее независимыми переменными £0,

. . .

. .

Ф.)

преобразование (19.4),

порожденное тождеством

(Ф .—

(см. п. 19.2).

По

теореме

Д .П .2 коэффици

енты

ср

положительно определенной

формы

(х, х)

допускают

следующее представление:

Ср = 2 гк 4 , гк > О, I в* I = 1

(к =

1, 2 , . . . , п]

р =

0, + 1 , . . ., + (п — !))•

Внося эти выражения в Тп^

(х, х) и упитывая (Ф .— Ф.),

получаем

п—1

П—1

2 cp. qiP q =

гкгГЧРI, =

2 ^

EpeS 2

р, <J=0

Р, <7=0 К=1

/С=1

Р=0

5=0

П—1

rJf

(а +

а б ^ -Р (b +

Вгн)Р (а +

aIk)n- 1-« X

к = 1

р, 5=0

п—1

х (5 +

bsk)qРрТ]? =

2 SP5rlp:n?i

где для всех р,

q =

0, 1,

. . .,

п — 1

Р, 5=0

S PQ =

г к ^ к 1 (а +

а&к)1п~2~(р+9) ( b +

b e k ) P + q ,

к=1

т. е. каждый коэффициент sPQ = sp+g зависит только от суммы р -f- q индексов р и q и, как легко проверить, есть вещественное число. Последнее, впрочем, можно устано вить очень просто, не используя положительной опреде ленности формы Тп-! (х , х) и вообще не прибегая ни к каким формулам для коэффициентов ср (см. упражнение 11 в конце параграфа) *).

*) Из замечания к теореме Д.П .2 следует, что все проведенное рассуждение применимо и к н е о т р и ц а т е л ь н ы м (вырож денным) формам Tn_i (х , х).

218 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ [ГЛ. IV

Обратно, пусть

я —1

Я„ _ 1 (у, у) — 2 si+kWk,	Sk = Sft {к = 0,1,.. ., 2га — 2)
3, К'=0
— п о л о ж и т е л ь н о	о п р е д е л е н н а я	эрми

това ганкелева форма. Применим к ней преобразование

(19.6),	порожденное тождеством							(Ф .— Ф. bis),			где Д =
= ab — аЪ =j= 0. По теореме Д.П.1									положительная опре
деленность формы # „_ !						(у, у) эквивалентна тому, что ее
коэффициенты			допускают				представление *)
			р»>		^	= ъ*
V = 1					(v =	1 , 2 , . . . ,		и;	к = 0,1,. . ., 2п — 2).

Внося эти выражения в форму # „ - ! (у, у)										и учитывая
(Ф .—Ф. bis),			имеем
п —1			п —1 п					п	П -1	п —1
2		=	2	2	p-^rSjiiic =			2	Pv 2 ^	2	w&S =
к = 0			J, 7t=0 v = l					v = i	7=0	Ji=0
			n	Tl—1
	=	T ifc ir 2		Pv	2	( Ь - а ^ Г ' - Ч ^ - Ь У Ъ X
		A	V=^l		p = 0
		n —l						- 5)9Fo=		n —i	cp9gpi„
		x2(b - e#v)"-l-a								2
		5=0							P, 5=0
где для		всех	p,	q = 0,1,			. . .,	n — 1
cP5 =		- *A = 5 ^		Vs= 1	P*^		- b)n_1+P"9 И . -
Отсюда видно, что cgp =							cPQи cpg (== cp- g) зависят толь
ко от	разности р — q индексов р и q.										дать н о-
Установленные выше результаты позволяют
в о е	д о к а з а т е л ь с т в о							т е о р е м ы		19.1.
*)	Здесь всюду,			по определению,				0° = 1. Заметим,			что в [29]

по недосмотру от формы Пп_х (у, у) требовалась лишь неотрицатель ность (ср. ниже замечание к теореме Д.П.1).

§ 19]

ВЗАИМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

219

В самом деле, коэффициенты sjk л ю б о й формы, полученной линейным преобразованием из теплицевой формы Тп- Х(х , х), суть линейные функции (формы) от коэффициентов ср исходной формы. В частности, для слу чая линейного преобразования (19.4) эти линейные формы выписаны явно выше (см. формулу (19.16) и следую щие за нею). Зафиксируем теперь у формы Тп-г (х, х) все коэффициенты ср с р =j= 0, а коэффициент с0 вы берем столь большим положительным, чтобы все последо вательные главные миноры

					С0	й_, . • С- П + 1
D q — с 0,	С0 С-1		, . . . ,	D n - i .—	С1	с о • ■ С-п + 2
D q — с 0,	D i —	с о	, . . . ,	D n - i .—
	С1	с о
					СП - 1	с п - 2 • • С0

формы Тп_х (х, х) стали положительными. Это осуще ствимо, поскольку D 0, . • ., D n-± суть многочлены от со со старшими коэффициентами, равными единице. Но тогда форма Тп^г {х, х) в силу теоремы 8.1 и следствия 2 из

теоремы	5.2 станет п о л о ж и т е л ь н о о п р е д е
л е н н о й	и, как было показано выше, преобразование
(19.4) переведет ее в ганкелеву форму с вещественными

коэффициентами. Это означает, что вещественные числа Sjk (коэффициенты полученной ганкелевой формы) зави

сят только от суммы /	-)- к индексов	j и к,	т. е.
7+1, = * м +1 (/» к =	0,1, . . ., п —	1; / +	к < 2п — 2).

Но последние соотношения, как равенства между линей ными функциями от со (все прочие коэффициенты ср фик

сированы), справедливые при всех достаточно	больших
с0, очевидно, сохраняются тождественно при	любых с0,

т. е. для любых форм Тп_х (х, х). Этим доказано первое утверждение теоремы 19.1.

Применил! теперь обратное по отношению к (19.4) преобразование (19.6) к произвольной ганкелевой форме

Я п-1 { у , У) - 2 *7+кЛ

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2722 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ