книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 191

Учитывая равенство (18.30) и указанные свойства эле­ ментов матриц М~ХК и R — S, получаем (применяя снова правила умножения блочных матриц)

М^Тп\ = ЛГ1 •— (Д - S) + ЛГ1 ■— К =

0

0 в

0

Сравнивая этот результат с (18.29), приходим к равенству

(rJfc-T1 = в,

т. е. к формуле (18.28). Теорема доказана.

18.7. Аналогия между теоремами 18.2 и 18.4 прости­ рается и дальше. А именно, мы можем последнюю теорему использовать (подобно тому, как в п. 18.4 использовали теорему 18.2) для обращения произвольной неособенной

где с-п-г — некоторое фиксированное комплексное число,

потому обращается в нуль только при одном значении р.

Для всех прочих значений р матрица Тя удовлетворяет всем условиям теоремы 18.4, так как она сама обратима,

а роль матрицы Г®!” из теоремы 18.4 здесь играет также неособенная матрица Тп. Следовательно, матрицу Тп можно теперь обратить с помощью формулы (18.28).

18.8.Сопоставление теорем 18.1 п 18.3 показывает, что

вкаждой из них для неособенной теплицевой матрицы

шения приходилось налагать некоторое дополнительное условие (т0 =/= 0 в теореме 18.1, хп =j= 0 в теореме 18.2 — ср. упражнения 3 — 6, 11 в конце параграфа).

Возникает естественный вопрос, нельзя ли для всякой

ответ на этот вопрос означал бы, что и сама матрица Тп,

мой 18.1), убеждаемся, что системы (18.31) имеют в данном случае вид

т. е. хд = хг х3 = 0, ,г2 = 1, z0 = г2 = z3 = 0, zx = 1.

§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕШШЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 193

Если использовать теперь найденные решения в каче­ стве коэффициентов, то те же системы уравнений (18.31)

неизвестных ср, виде

т. е. таким путем определились н е в с е элементы мат­ рицы Т3, а именно: с_3 и с3 остались произвольными. Этим, в частности, продемонстрирована существенность нару­ шенного здесь условия х0 =j= 0 теоремы 18.1.

Читателю предлагается проверить, что и при любом другом выборе р a v ( 0 ^ [ i < v ^ 3 ) мы обнаружим по­ добное же явление: матрица Т3 в (18.32) не восстанавли­ вается из соответствующей системы (18.31) *).

18.9. В теореме 18.1 по первому и последнему столб­

Для существования теплицевой матрицы Тп = |cp_g ||£,q=o

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

________________ х0 = у0 (18.34)

*) Недавно А. Л. Сахновичу [37а] удалось построить метод обращения теплпцевых матриц по решениям систем уравнений типа

'(18.31), но с несколько иными правыми частями. При этом на реше­ ния уже не нужно налагать никаких дополнительных условий. Лю­ бопытно, что в данном случае имел место обратный ход идей по срав­ нению с упомянутым в начале предисловия к этой книге: свой ре­ зультат для матриц А. Л. Сахнович получил по аналогии с соответ­ ствующими результатами Л. А. Сахновича [37б, 37в] для интеграль­ ных уравнений.

7 И. С. Иохвидсщ

Тп является неособенной и однозначно восстанавливается по формуле (18.3).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость условия (18.34) установлена в теореме 18.1. Покажем, что матрица Р неособенная. С этой целью разобьем ее на четыре квадрат­ ных блока:

§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 195

Отсюда видно, что Р — неособенная тогда и только тогда, когда неособенна XY — UV. А неособенность последней была установлена в теореме 18.2 (см. формулу (18.11)).

ментам последнего столбца). Следовательно, ранг матрицы Q максимален ( = 2п -f- 1).

Присоединив к матрице Q столбец правых частей систе­ мы (18.35), полупим расширенную матрицу Q. Опре­ делитель этой матрицы Q вычислим, разложив его по эле­ ментам последнего столбца, состоящего из нулей и двух

7*

На основании (18.34) имеем det Q = 0, т. е. ранг матрицы

Q — тот же, что и у Q, и по теореме Кронекера — Капелли система (18.35) однозначно разрешима. Остальные ут­

можно ставить, отправляясь не от теоремы 18.1, а от ее аналога — теоремы 18.3. Теперь речь пойдет о восстанов­

и чтобы матрица

§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 197

была неособенной. При выполнении этих условий матрица Тп обратима и однозначно восстанавливается по формуле

(18.18).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Н е о б х о д и м о с т ь ус­ ловия (18.37) следует из теоремы 18.3, в силу которой мат­ рица Тп — неособенная, а потому системы (18.36) одно­ значно разрешимы, и остается вычислить zn и хп-х по правилу Крамера.

Покажем необходимость условия det N =f=0. По тео­ реме 18.3 (формула (18.18))

T ? = -± -{B C -D F ),

хп

где

Так как BD = DB, то, применяя еще одно правило вы­ числения определителей блочных матриц ([4], стр. 59), имеем

(В F\

det ( D А = det (ВС — DF).