Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

8.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 272 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

10	ОЁЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ Й ФОРМ	[ГЛ. I
есть,	по определению, минор, дополнительный к минору

II12 ... I,

А\,

Вчастности, дополнительными к минорам первого порядка

atj = А ( £.) являются определители

/1 2.. .г —1		1 + 1 . . . л \ _ _			(i, 7 — 1 , 2 , . . . , п),
\1 2 . . . / - 1		f +	l . . . n ) ==a'ii		(i, 7 — 1 , 2 , . . . , п),
\1 2 . . . / - 1		f +	l . . . n ) ==a'ii
а числа Ац = (—		l)i+J' ац представляют собой алгебраи
ческие дополнения элементов ац матрицы А соответст
венно (i, ]	= 1,2,	...,	п).
1.2.	Несколько отклоняясь от более распространенной
терминологии, мы, следуя [5], назовем взаимной						по от
ношению к матрице А матрицу
составленную из миноров порядка п — 1 матрицы А . Уста
новим правило вычисления миноров					в з а и м н о й	мат
рицы.
Т е о р е м а 1.1. Для любого натурального р (1
	tl 12 .. .lr		= \|A f - 1 A	h	k ,...k n_p
* U			= \|A f - 1 A	h	h ... ln_p	( 1- 1)
* U
При этом в случае р = п формулу (1.1) следует понимать
как
	\| ^ \| = л (! г \| ^ I " ' 1-					(1-2)
а при р =	1 и \А\|=		0 считать	\A \|p_1 = 1.		можно
Д о к а з а т е л ь с т в о . Не уменьшая общности,						можно
ограничиться рассмотрением миноров вида
	/1 2 . . . р\
	Ж \ 1	2	. . . р )

так как общий случай легко получается из этого соот ветствующей перестановкой строк и столбцов. Теперь

§ 1] ВЗАИМНАЯ МАТРИЦА И ЕЕ МИНОРЫ И

формула (1.1) примет вид

2 •••Р	/р+1...п\
А С 2 . . . р ,	= \|А \|V^A \ р + 1 . . . п ) '	(1.3)

Чтобы ее установить, умножим в определителе

а п а п . . . а 1р

строку с номером i на (— 1)* (г = 1, 2, ..., р), а столбец с номером / на (— 1)J (/ = 1, 2, ..., р). Легко понять, что от такого преобразования величина определителя не из менится, а сам он приобретет вид

A n	A n .	. ^1-n
		1V
A n	A n .	2V.
d e b \|( — l ) l+J a n \|\|FiJ = i =		2V.
d e b \|( — l ) l+J a n \|\|FiJ = i =
A Pi	A p i ■	pp

Нам удобнее представить этот минор в виде определителя порядка п (в случае р = п последний шаг, разумеется, не нужен):

А и . . .	A ip	A l, P+1	■ •
A a	A%p	A	•■ A 2n
		2, p+l

А	G	2	A „ , . .			p p a p , p+i	~	p n
А		2	p i			p p a p , p+i	~	p n
			0	. .	0	l	. . .	0
			0	. .	0	0	. .	1

Обе части этого равенства умножим на определитель

al l	. . .	al p	al, p+l	. . .	al n
al l			al, p+l
a21	• ■■	a2p	fl2, p+l	■■•	ain
V	. . .	aPP	®P, P+l	■■■	apn
“ p+l, 1	•••	ap+i, p	“ p+l, P+l	■■■	ap+1, n

• • • anp

“ « , p+ l

“ « «

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ

[ГЛ. I

причем в правой части умножение определителей будем производить по способу «строка на строку». Тогда, учи тывая известные свойства алгебраических дополнений А ц, получим

1 2 . . .

А\

~5;0аГ	II
	!
И	\|

0	0	. . .	0
0	0	. . .	0

0	0		И 1	0	. . .	0
а1, р+1	а2, р+1	' •'	ар, р+1	ар+1, р+1	•••	V р+1
ai?i	а2п	. . .	арп	°р+1, п	•••	апп

Заметим сразу, что при р — п получится просто

	II	2	... п\		(1.5)
	*(,	2	... „)\|Ц = МГ-		(1.5)
Если	матрица А неособенная			( \|^4 \|=^= 0), то	из (1.4)
(соответственно (1.5))			немедленно	следует (1.3)	(соответ
ственно	(1.2)). В случае же \А \=			0 тождество (1.3) (соот

ветственно (1.2)) получается стандартным предельным переходом. Именно, рассматривается матрица А Е= А + + еЕ, где Е — единичная матрица порядка п. Опреде литель |ИЕ|есть многочлен от е. Поэтому в сколь угодно малой окрестности нуля найдутся значения е, при кото рых |ИЕ|Ф 0. Записав справедливое при таких е для A t (точнее говоря, для миноров ее взаимной матрицы ИЕ) тождество вида (1.3) (соответственно (1.2)), перейдем в нем к пределу при е ->-0 по значениям е, для которых \АЕ\Ф Ф 0. При этом миноры матрицПЕи J[e перейдут в соответ

ствующие миноры матриц И и И,			и мы получим тождество
(1.3) (соответственно (1.2)).
Примеры и упражнения
1. Пусть	3	0	— 11
I	3	0	— 11
	2	7	— 2

—3 4 о||

§ 2] ТОЖДЕСТВО СИЛЬВЕСТРА ДЛЯ ОКАЙМЛЕННЫХ МИНОРОВ 13

Не

составляя

Я,

вычислим

Сз>

Здесь

р = 2,

|А |=

Я |

3-8 + ( -

1)*29 =

|А 1Р- 1= — 5,

(!)~

По формуле

(1.1)

з )

И \P~lA Q

= ( -

5) (~

3) = 15.

(1.6)

2. Для матрицы

примера

вычислим

Я |. По

формуле

( 1. 2)

I Я |= |Я |’1-1 = ( - 5 ^ = 2 5 .

Заметим, что сама матрица Я имеет в данном случае вид

— 6

Я =

— 3

— 4

Возвращаясь к примеру 1, проверим результат (1.6):

з)=—

— 6

— 72 + 87 =

15.

3. Если матрица А — «нижняя

треугольная»:

flu

. .

А =

fl21

Я22

. .

anl

апЗ

апп

т. е. <Zjj =

при / >

то

взаимная

матрица

угольная»:

ац

ai2 .

• • а1п

a22 ■

■ Ни

т. е. aij —

0 при i >

' ^7Ш

обратное по отношению к

сформу

4. Верно ли утверждение,

лированному в упражнении 3?

§ 2. Тождество Сильвестра для окаймленных миноров

2.1.

Рассмотрим

матрицы

А =

|аг;-||ц 3-=1 (п ;> 2)

минор

л(12

(к

.р о

)

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ

[ГЛ. I

и будем его окаймлять, добавляя какую-нибудь одну стро ку и один какой-нибудь столбец из оставшихся п — р строк и п — р столбцов, т. е. строя миноры

/1 2 ... Р г

-Ч 2 ... Р s

Из этих миноров составим матрицу

в= № „ |r, s=p+l

порядка п — р и поставим себе целью вычислить ее опре делитель

	В ( Р + 1	п\
	В ( Р + 1
	\р + 1
Т е о р е м а	2.1 ( С и л ь в е с т р а ) .		Имеет место
тождество
'Р + 1	••• " ) = м \|	2	РУ П-р-1
В ,Р + 1"	••• " ) = м \|	[ д ; 2	р ;	(S)
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Поскольку	при р =	п —1
формула (S) тривиальна, будем считать			1 sgC р <; п — 1.
Рассмотрим взаимную к А матрицу А и некоторые				из ее
миноров, а именно

_ j ( P + 1 • • •			r ~ i Г + 1		п\
crs —	\р +	1 . . .	5 — 1	s + 1	. . . п )
					(г, s =	р +	1 , . . п).	(2.1)
Согласно теореме 1.1 (формула					(1.1))	имеем
с„ = \ а г ”		а (J I		р
					( r , s = p +		l l ...,n).	(2.2)
Составим		теперь матрицу			С =	\|\|с„ \|\|£ s=p+1 порядка
п — р и вычислим,			исходя из (2.2),			ее определитель \|С\|:
	\|С \| , М \|<»-м х-			й я ( £ ;И		•••		(2.3)

Определитель (2.3) можно вычислить и по-другому) воспользовавшись тем, что по определению (2.1) чисел

§ 2] ТОЖДЕСТВО СИЛЬВЕСТРА ДЛЯ ОКАЙМЛЕННЫХ МИНОРОВ 15

crs матрица С является взаимной для матрицы |ars||£ s=p+i Учитывая это, имеем на основании (1.2)

Вычислив теперь стоящий в квадратных скобках минор

снова по формуле (1.1), получим

(2.4)

Остается сравнить выражения (2.3) и (2.4) для |С|, и в случае \А \=j= 0 после сокращения получим тождество Сильвестра (S). Если же \А \= 0, то доказательство завер шается с помощью того же приема, который был исполь зован выше в аналогичном случае при установлении тео ремы 1.1.

2.2. Тождеством Сильвестра нам придется пользовать ся часто, причем главным образом в двух частных случаях, которые рассмотрим детальнее.

Пусть р = п — 2. Тогда формула (S) сводится к тож деству

или, более подробно:

1	. . .	л — 2
1	. . .	л — 2
1 . . .		л — 2	л	,)• (2.5)
1 . . .	п — 2		л	,)• (2.5)

I •

Г)

- - -* ** • JЬ-4 W-i W X»

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ

[ГЛ. I

Структуру входящих в тождество (2.5) миноров легко се бе представить, рассмотрев схему*)

П -1 П

Из формулы (2.5) несложной перестановкой строк и столбцов получается другой вариант, очень удобный в ряде вычислений

Соответствующая схема здесь выглядит так

1 2 п -1 «

а ( 2	3 •••	n - 1N)
\2	3 ...	п — 1/

Примеры и упражнения

1. Пусть

3	— 2	1	0
4	— 1	2	3
0	3	1	5
7	— 4	2	6

*) По поводу применяемой в этой и следующей схемах снмво лики см. ниже подстрочное примечание к формуле (3.3).

5 2]	ТОЖДЕСТВО СЙЛЬВЁСТРА ДЛЯ ОКАЙМЛЁННЫХ МЙНОЁОВ										1?
По	правилу		(2.5)
	3 _2		3	- 2	1	3	- 2			0
M l	3 _2		= 4 — 1 2			4 - 1 3
M l	4 - 1		0	3 1		7	— 4			6
			0	3 1		7	— 4			6
		3	— 2	0	3	— 2	1
		4	— 1 3		4	— 1	2			— 30,
		0	3	5	7	— 4	2
т. е. 5 \А \|=			— 30, I А \|=			— 6.
	По правилу (2.6)
	— 1	2	3	— 2	1	— 1 2				3
M l	— 1	2	— 4	— 1 2			3	1	5
M l	3	1	— 4	— 1 2			3	1	5
	3	1	0	3	1	— 4		2	6
			0	3	1	— 4		2	6
				— 2	1	0	4	— 1		2
				- 1	2	3	0		3	1 ( - 1) (— 42) — =	42,
				3	1	5	7	— 4		2

т. в. |А |= — 6.

2.Пусть

				3		1 — i		2 +	5t
			А =	1 +	г		3	1 — i .
По	правилу		(2.6)	2 — 5£		1 + i		3
По	правилу		(2.6)
		3	1 — i	3	1 — £
3\|Л\| =			i 3	1 + £		3
		1 +	i 3	1 + £		3
		1 — i 2 -\|- 5i 11 + £					3	= ( 9 - \| l - i \| * ) * -
			3 1 — £ j 2 — 5i 1 + i					= ( 9 - \| l - i \| * ) * -
			3 1 — £ j 2 — 5i 1 + i
	— ! (1 — £)a — 3 (2 +			5i) \|a =		7“ — 11 — 2i — 1 — 6 — 15i \|a =
				=	49 — I — 6 — 17i I2= 49 — 325 = — 276,
t . e.	\|A j =		— 92.		(S)	следующим образом:
	3.	Обобщить тождество			(S)	следующим образом:
В	/ ii	к ■.			■Р h		12	lg	1 2 . . . P\ <7-1
В					■Р ki		ka . . . к		12 ... p )
Ui * 2 . .					■Р ki		ka . . . к		12 ... p )
где				h <	h < . . . <			iq	(2.7)
				h <	h < . . . <			iq
			P <	ki	ka <			<	n-
				ki	ka <		. . . <C kq

18		О Щ А Я	ТЁОРЙЯ	МАТРИЦ И		ФОРМ		[ГЛ. 1
	У к а з а н и е .		Применить	тождество		(S)	к	определителю
		а ( 1 2 - ' - р		h	V\
			\i 2 . . . p ki		fea . . . кJ	'
	4. (Кронеке\|) [51]). Пусть (в обозначениях п. 1.1)							для матрицы
А	минор	А ^	0, а	все	окаймленные		миноры brs — О
(г,	s = р +	1, ..., п).	Тогда ранг матрицы А равен р.
	У к а з а н и е . Для доказательства равенства нулю всех ми

норов порядка т^> р использовать тождество Сильвестра (S) (или

(2.7)) применительно к	матрице
ап	.	•а1р	ат -	•aixm
V	•	■арр	“pin •	' аР*т
4 1	•	•4 р	0 •	. 0
4 1	•	•4 р
		• v	0 .	. 0
		• v

h < '2 < . . . <

*1 < *2 < . . <

§3. Вычисление некоторых определителей

3.1.В этом параграфе речь пойдет о вычислении неко торых определителей специального вида. Такие опреде лители будут неоднократно встречаться в главах II и III.

Пусть	А = \|агу-1\|Г,?=х —	матрица	порядка		п, а
р и г — натуральные числа, причем р +			г	п. Рассмот
рим два набора индексов:
	(1< ) .	ip+r
	(1< ) .	«	п ) .
	А /2	ip+r
Выберем	из множества р +	г индексов	{ il7	i2,	..., ip+r}

некоторый набор

{pi! Р21 •••> Рр }>

состоящий из р индексов, занумерованных здесь в произ вольном порядке, и аналогичным образом — набор

К , v 2,

v p},


6 3]	ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ						19
состоящий из р индексов, из					множества { / i		, jp+r) •
Пусть <хг <[ а2 <			.. .< a r		---CPr — дополнения
к	наборам	{(xlt р,2,		рр} и {vj, v 2,		.. . , v p} в множест
вах {i1( i2,		...,	ip+r}	и { /x, / 2,	jp+7}	соответственно, a

— минор порядка г матрицы А (см. п.						1.1).
Далее через		А ^ обозначим матрицу, получающуюся
из матрицы А	заменой ее				элементов а^,,		ЯцрЧр
числами	£2,	...,	£р соответственно, и рассмотрим
у матриц А	и	А ®	соответствующие			миноры	поряд
ка р + г:
Afir) =		И	12		р+г
Afir) =		А	/а	••• /р+г/
		^/1	/а	••• /р+г/			(3.1)
							(3.1)
		\J1		/2	•• ■ /р + г )

Ле м м а 3.1. Если г — ранг матрицы

А= I Я,-;|| i,j=i*

а(Тр. и ач — количества инверсий в наборах

(P-lJ Ш’ •••>	Нф’ ®1» ^2>	®г}
{Vi, v 2, ...,	<vp, Рх, ps, ...,	pr}

соответственно, то определитель			(£) (см. (3.1))		вы
числяется по правилу *)
М ? (С) = ( -	l)V -v АТД (Ь. -		% MvJ.		(3.2)
		со=1
Д о к а з а т е л ь с т в о		особенно	прозрачно	в част
ном случае, когда	= ги,	v u = /ш(© = 1, 2,		...,	р),

*) Минор M f (см. (3.1)) в условиях леммы 3,1 равен нулю, так как его порядок р + г >• г, а г — ранг матрицы А,

<<< < Предыдущая 12 / 272 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ