книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория
.pdf180 |
|
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
|
1ГЛ. IV |
||||||
|
|
|
|
|
71 —1 |
|
|
П—1 |
|
|
|
|
|
-| |
:Г0 //-k 2 |
Cj-s^s |
*0 %п-к 2 |
^j-sl/s-n — |
|||
|
n—1 |
|
|
|
S=1 |
|
|
|
S=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
2 |
O'—1-s |
. fc- 1 |
Cj-n (%п—к |
^0 £пУ-к) “Ь |
|
||||
|
s=0 |
|
|
|
|
|
n—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
О (11- к |
Я'о У |
“ Ь |
*0 У~к 2 |
0 - s^s |
|
||||
|
|
|
71—1 |
|
|
|
s= l |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Л'оЗ'и-k 2 |
O-sJ/s-n = |
0 -1, fc-1 |
"I- %0 У—к 2 |
O-s-O |
|||||
|
|
|
s=0 |
|
|
|
|
|
s= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
.r0 J'n-li 2 |
Cj—SJ/s-71 7 |
|
откуда в силу (18.1) и (18.2) |
|
|
|
s=0 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
tjk |
= |
O |
- i . f t |
- i |
к =O ', 1 , |
2. .,. , |
re |
— 1 ) . |
||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
п р о и з в о л ь |
||||
18.4. |
Переходя к задаче обращения |
|||||||||
н о й теплидевой матрицы |
Тп, заметим, что если |
a priori |
||||||||
известна ее |
обратимость (|Тп |Ф 0), |
то системы уравне |
||||||||
ний (18.1) и (18.2) заведомо однозначно разрешимы, и |
||||||||||
единственное ограничение, |
налагаемое теоремой 18.1 для |
|||||||||
построения по их решениям обратной матрицы Т^1, сводится к условию х0 =?= 0 или, что то же самое (см. (18.6)),
0.
Однако теорема 18.2 дает возможность обойти последнее
ограничение, т. е. строить матрицу |
Тй1 даже и в том слу |
||
чае, когда |r n_! |= |
0. |
|
|
С этой целью рассмотрим матрицу |
|
|
|
со |
с-1 |
с-п |
5 |
С1 |
со |
С-71+1 |
с-п |
с« |
СП-1 |
С0 |
с-1 |
СП+1 |
|
со |
|
где сп+1 — некоторое фиксированное число, а £ — ком плексный параметр.
5 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 181
1°. Если матрица Т„ обратима, то обратима и мат рица Тп+1 (Q для всех значений 'Q, за исключением-, быть может, одного.
Фактически это предложение уже было установлено в главе III при доказательстве теоремы 13.1. В самом деле, если увеличить на единицу порядки всех рассматриваемых там матриц и определителей, то в исправленных таким образом обозначениях (13.4) уравнение |Тп+1 (£) 1 = О перепишется при |Тп_х |=f= 0 (ср. (13.5)) в виде
|
|
|
в ( с „ +1)Ь(£) - |
I Тп\* = О, |
|
|
||||
где а (£) и Ъ{Q — линейные функции с коэффициентом |
||||||||||
при £, |
равным |Тп \(ф 0) у каждой. Отсюда следует, что |
|||||||||
уравнение |
|Тп+1 (£) |
|= 0 имеет |
не |
более |
одного корня |
|||||
£ — до |
|
|
|= |
0, то функции а (£) и b (£) сводятся |
||||||
вели же |Тп_! |
||||||||||
к отличным от нуля постоянным а (0) |
и Ь(0), а уравнение |
|||||||||
1 Тп+1 (0 1 |
= |
0 принимает вид (ср. |
(13.6)) |
|
|
|||||
|
|
|
Ь(0) сп+1 + а (0) £ -j- С —■ 0, |
|
|
|||||
где С — некоторая постоянная, т. е. на этот раз (посколь |
||||||||||
ку а (0) Ф 0) |
оно имеет в точности один корень. |
быть мо |
||||||||
Таким образом, |
для всех 0 за исключением, |
|||||||||
жет, одного, матрица Тп+1 (0 |
обратима и зщовлетворяет |
|||||||||
всем условиям теоремы 18.2 |
(поскольку |Тп |Ф 0). Но |
|||||||||
тогда матрица Тп может быть обращена по правилу, уста |
||||||||||
новленному в этой теореме. |
|
|
|
|
|
|||||
18.5. |
С помощью теоремы 18.1 можно указать и другой |
|||||||||
прием для обращения тешшцевых матриц. |
|
|
||||||||
Т е о р е м а 18.3 |
( Г о х б е р г а |
и К р у п н и к а ) . |
||||||||
Если |
тпеплицева |
матрица |
Тп — |ср_q ||£, q=0 |
такова, |
||||||
что каждая из систем |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
П |
|
|
|
{р = |
0, 1, . . |
га), |
(18.16) |
|
|
|
2 |
Cp-q%q — 6Р0 |
|||||||
|
|
л |
|
|
(р = |
0, 1,- . .,га) |
(18.17) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
4=0
182 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ СГЛ. 1Y
разрешима и выполняется условие хп Ф 0, то матрица Тп обратима и обратная к ней строится по формуле *)
|
Х0Хп |
х Охп-1 |
• • • |
хо |
|
|
|
|
|
||
Тп = Хп |
Х1Хп х 1хп- 1 |
• • • |
х 1х 0 |
+ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
хп |
*п*п-1 |
• • • |
ХпХ< |
|
|
|
|
|||
zo 0 |
|
|
0 |
хп |
xn -l |
|
|
|
|
||
+ |
|
|
|
О 0 |
хп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
О |
|
|
О а; |
|
|
хо 0 |
|
|
0 |
zn |
zn -i |
• ■ |
|
|
|
|
|
|
|
О |
0 |
zn |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
О О О |
|
|
О z71 |
>. |
(18.18) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
О |
О |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
При |
п = 0 |
теорема |
триви |
|||||||
альна, поэтому |
пусть |
|
п > |
1. Обратимость |
матрицы |
||||||
Тп снова докажем от |
противного. |
Пусть |
строки |
Г д = |
|||||||
= (сд,Сд-г, |
..., Сд-п) (q |
= |
0, |
1, |
..., |
п) матрицы |
линейно |
||||
зависимы и m — н а и м е н ь ш и й |
из номеров, для кото |
||||||||||
рых строка |
Гт |
является |
линейной комбинацией |
строк |
|||||||
Гт+ы Гт+2, |
. . ., |
Г„. Из существования |
решений |
систем |
|||||||
(18.16) и (18.17) следует, что ни одна из первых двух строк Г„ и 1\ не является линейной комбинацией остальных строк. Стало быть, т?г !> 2. Для этого m по условию
|
П |
|
I'm = |
2 арГр |
|
|
р=т+1 |
|
ИЛИ |
|
|
п |
|
|
Cm-q = 2 |
(? = |
1> •■•>^). (18.19) |
P=m +i |
|
|
*) Таким образом, в отличие от теоремы 18.1, здесь речь идет о восстановлении матрицы Т~г не по первому и п о с л е д н е м у ,
а по первому и в т о р о м у ее столбцам (ср. подстрочное примеча ние на стр. 172).
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 183
Выпишем теперь равенства системы (18.16), отвечаю щие значениям индекса р — т, т + 1, . . п — 1 (при которых, следовательно, 6Р0 = 0), умножив каждое из них на ар+1:
П
Ор+1 |
2 Cp-gXq = |
0 |
(Р = |
т, т + 1, .. . , п — 1). |
|
9 = 0 |
|
|
|
Сложив все эти равенства, получим |
||||
п— 1 |
п |
п |
п— 1 |
|
0 = 2 а р+1 2 Cp-Q^Q “ 2 ( 2 ® p + l c p - q j x q = |
||||
р=т |
5 = 0 |
i? = 0 'р=тп |
' |
|
|
|
|
п—1 |
|
- 3 ( 2 |
- |
— |
2 |
”Ь 3-п 2 ®рСр—n—1. |
9 = 0 'p = m + i |
|
9 = 0 |
р=1гЦ-1 |
|
Поясним, что в самом последнем из тождественных пре образований использованы (при q = 0, 1, . . ., п — 1) соотношения (18.19) (при q = п ими^пользоваться здесь нельзя было из-за сдвига индекса на единицу, и потому соответствующее слагаемое выписано отдельно). Заметим теперь, что в силу соотношения (см. (18.16))
П
2 |
= Sm-i, о = 0 |
9 = 0 |
|
(напомним, что т )> 2) полученное выше равенство пере писывается в виде
Cm—n—1 %п—Г |
^ Q'pCp-n—1 ” 0, |
|
р=т-)-1 |
и поскольку хп Ф 0, окончательно получаем
п
Cm^n-l= 2 |
• |
(18.20) |
р=т+1
Из равенств (18.19) и (18.20) находим П—1
O m - q - l — 2 ®P+1CP-<Z |
( } — 0 , 1 , . . 71) , |
р=тп
181 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
|
т. |
е. |
?l—1 |
|
|
|
|
|
|
Гт-1 = |
ар+11 р , |
|
р=т
что противоречит допущению относительно (минималь ности) числа т. Стало быть, матрица Т п обратима.
Для вывода формулы (18.18) воспользуемся теоремой 18.1, применив ее к возмущению
|
|
|
Т п (е) = Т п — еЕ |
|
|
||
матрицы |
Т п , где е — вещественный параметр. Элементы |
||||||
теплицевой |
матрицы |
Т п (е) |
обозначим |
ср (е) (р = О, |
|||
+ |
1, . . ., |
+ |
/г). Выберем б )> |
О так, чтобы |
при 0 < |
е <; |
|
< |
б выполнялись условия |
|
|
|
|||
| |
Т п (в) [ |
- |
det т п (е) Ф |
0, |
|Т п ^ (е) |= |
clet Т п . г |
(е) = |
-det|!cp.? ( e ) K =0^ 0 . (18.21)
Такой выбор возможен, так как у многочленов |
|Т п (е) |
| |
|||||||
и |Т п - Х (е) |
| имеется |
лишь |
конечное |
число |
корней |
||||
(ср. п. 1.2). |
Условия |
(18.21) |
гарантируют при любом |
е |
|||||
(О < е < |
б) |
разрешимость систем |
|
|
|
|
|
||
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(®) З-q(®) ~ |
(р = |
0, |
1, . . м ?l), |
|
|
||
4=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
c<i~p(®) г(®) ~ ^ро |
(р = |
о, |
1 , . |
. к) |
|
|
||
сг=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и выполнение условия |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
*0 («о = Уо(6) ( = |
|
Ф 0. |
|
(18.22) |
|||
т. е. применимость теоремы 18.1. (Обращаем внимание на то, что вторая из выписанных линейных систем отличает ся от своего «образца» (18.2) только обратным порядком следования входящих в нее уравнений.)
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 185
Согласно теореме 18.2 (см. ее доказательство) элементы
b j k (е) |
матрицы |
|
|
|
(0 < |
е < |
б) |
определяются равенствами |
|
|
|
|
m in (j, к) |
|
|
bik(е) = |
2 (*У-* (в) Ув-к (е) — !/-«+.,-s -i (е) aw *+ i (е)) |
||
|
(/, |
к = |
0, 1, . . ., п), |
в которых принято
*п+1 (е) = у-п- 1 (е) = 0.
Однако здесь нам удобнее переписать эти равенства в не сколько иной форме:
bjk(в) =
|
m in (А-, j ) |
|
m in (к, i) |
|
= х ■(в) |
2 |
x i - r {&) Уг-к {&) |
2 |
У)-п-г (е) £n-fc+r (e)J |
(Л * = 0 , 1 ( 1 8 . 2 3 )
где в случае А = j = 0 вторая из стоящих в квадратных скобках сумм считается равпой нулю. В частности, из (18.23) вытекает, что
*oi (е) = ?/-i (е) |
(18.24) |
и
*7-1 = Н (в) J/-i (в) + z;-i (в) ?/о (е) — ?/>_„_! (е) ®п (в)]
(7 = 1 ,2 ........ |
л). (18.25) |
Внеся (18.24) в (18.25), сделаем замену индексов, и, учи тывая (18.22), получим
*п+1-7, 1 (е) =
1
=[ar-n+i-j (е) *01 (В) + .Tn_j (е) х0(е) — хп(в) г/_3 (е)]
(/' = 1, 2, . . ., л).
186 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
Следовательно,
У-i (в) =
=[Жп+1-i (е) ь01 (Б) + (е) х0 (е) — ж0 (е) Ьп+1-з. ^е)]
|
|
|
(/ = 1 ,2 , . .. , я). |
|
(18.26) |
Поясним, |
что уменьшив (в случае надобности) |
6 |
Q> 0), |
||
можно считать хп (&) =f= 0 (0 < |
е <; 6), так как |
хп (0) = |
|||
= |
хп =f= 0 |
по условию теоремы, |
а функции Xj (е), |
у_j (е) |
|
(/' |
= 0, 1, |
. . п) в окрестности нуля зависят от е непре |
|||
рывно. Из (18.22) |
ясно, что и функции bjh (е) непрерывны |
|||||
в окрестности точки е = |
0, a bjh (0) ( = |
bjh) суть элемен |
||||
ты матрицы Тй1 (/, к = |
0, 1, ..., п). |
|
остаются |
|||
Заметим, что в силу |
(18.22) |
формулы (18.26) |
||||
справедливыми и |
при |
/ |
= 0, |
если |
только |
положить |
£>n+i,i (е) ( = жп+1 |
(е)) == |
0, |
что |
мы и |
сделаем. |
Восполь |
зуемся формулами (18.22), внеся даваемое ими выраже
ние для у_j (/ |
= 0, |
1, . . ., п) |
в (18.23): |
|
min (fc, 3) |
|
|
|
|
bjk = Ха ф | |
2 |
xi'r ( е ) ~^п ( i y |
l^ n + i+ r -(iбc) |
Ь01 ( е ) + |
min (Jc, Ц |
|
+ Zn+r-jt (е) х„ (е) — х0 |
(г) Ъп+1+т-к, i (б)] — |
|
|
|
|
|
|
— 2 |
(б) - ^ у - [®х+у-г (е) Ьо1 (б) + Xj-r (Б) я0 (е) — |
|||
|
|
|
— ха(е) й,-_г+1 , 1 (б)]} |
(/, fc = 0, 1,..., л), |
|
|
|
|
|
О |
|
где, |
напомним, |
всюду считается 2 |
= 0- Это соглашение |
||
нам |
удобно |
|
Г = 1 |
дальнейшем вообще |
|
расширить, полагая |
в |
||||
Р |
|
|
|
|
|
2 = |
0 при |
а |
р. Преобразуя |
полученное выражение |
|
а |
|
|
|
|
1 |
с учетом принятого соглашения, находим |
|||||
Цк(Б) = |
[xj (е) хп_* (е) + |
|
|
||
min (it, 7) |
|
min (к, j) |
|
||
+ |
2 Хп-к+г ( б ) frj-r+1, 1 ( e ) — 2 |
|
®У -г (б) b n w -fc + i1, ( в ) - | - |
||
г = 1 |
г=0 |
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 187
|
|
min (ft, з) |
|
|
|
+ |
гсо (в) |
2 |
Xj-r (&) ^71+1+r-ft (б) ^01 (е) — |
||
|
|
г = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
min (ft, з) |
|
|
|
яо (в) |
2 |
Zn-k+r (Б) Zi+3-r (б) Ь01 (е)1 = |
|
|
|
|
|
г=1 |
|
*п(е) ■|х,- (в) х„.к(е) + |
|
|
|
||
min (ft, j')—i |
|
|
|
|
|
“1 |
2 [*En—k+r+l (б) Ь;-г,1 (б) |
£j-r (б) Ьп-к+г+1 ,1 (&)] — |
|||
г=0
^3-min (ft, j) (б) bn+min(ft, j)-fc+i, l (б) +
1
+x0 (в) a'l_mln №. 3) (e) ^ii+min (ft, fl-fc+i (&) boi (8)}
|
|
|
|
|
|
(/, ft = 0, |
1, . . .,n). |
|
Заметим теперь, что при / |
> |
ft два последних слагаемых |
||||||
в фигурных скобках исчезают (ибо, |
в силу соглашений, |
|||||||
^п+1,1 (е) = |
0 и хп+1 (е) = 0), а при / |
<[ к эти же слагаемые |
||||||
дают в сумме |
|
|
|
|
|
|
||
|
£n+i-ft+i (е) й01 (е) |
х0 (е) i n+J-_A+ljl(e). |
|
|||||
Учитывая |
же, что |
|
|
|
|
|
|
|
min (к, /) — !== |
min (/, к — 1) |
при к s^I /, |
||||||
min (/, А: — 1) — 1 при к О /, |
||||||||
|
|
|||||||
мы можем |
окончательно |
переписать |
выражение для |
|||||
bjh (б) в виде |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
min (з, ft—1 ) |
|
|
|||
b;k (е) = |
Ц (Б)Zn-ft (Б) + |
|
2 |
[®n-fc+m (е) bj-r,1 (б) — |
||||
®э-г (®) ^n-ft+r+i,i (б)]| |
|
(/, ft = |
0, |
1 , . . . , п ) . |
(18.27) |
|||
Как уже отмечалось, xj (0) = xj (/ = 0, 1, ..., п). Заметим теперь, что благодаря специфическому виду правых частей уравнений системы (18.17) ее решение {z0, . . ., zn} совпадает со вторым столбцом(т. е. столбцом
188 |
|
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
МАТРИЦ |
ГГЛ. IV |
|||
номером |
к = 1) |
матрицы II bJh К*«о |
|
|
|||
со |
•• |
c-j+i |
0 |
|
с-« |
|
|
С1 •• c-m |
1 c-i |
• ' * * -П т -1 |
|
|
|||
с« |
•• |
С-}+П+1 |
0 с— |
1 ... |
с, |
= Ъц =■ Ьп (0) |
|
|
|
|
!7n I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/ г= о, 1 , . . п). |
||
|
|
|
|
|
|
||
Полагая в (18.27) е = 0, получим (считая zn+1 = bn+1 = |
0) |
||||||
|
1 |
|
ш;п(У, /i-l) |
|
|
|
|
b# = |
XjXn-k ~t" |
|
(^u-Jr+r+iZj-r |
^j-rZji-A'+r+i) |
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/, |
/с = 0, 1, . . |
»). |
Но эти равенства эквивалентны формуле (18.18). |
|
||||||
Теорема |
доказана. |
как теорема |
18.1 позволила сде |
||||
18.6. |
|
Подобно тому, |
|||||
лать заключение (см. п. 18.3), что в условиях этой теоремы обратима не только матрица Тп, но и усеченная матрица Тп-Х, теорема 18.3 позволяет сделать аналогичный вывод относительно теплицевой матрицы (порядка п)
|
С-п+2 |
грО , 71 |
с-п + з |
*7 1 -1
’•П-1 с1
получающейся из Тп отбрасывапием первой строки (т. е. строки с номером 0) и последнего столбца (с номером п). В самом деле, разрешимость систем уравнений (18.16) и (18.17) вместе с условием хп Ф 0, очевидно, эквивалентна соотношениям
det Тп 0 и det Тп~у Ф 0.
По аналогии с теоремой 18.2 и здесь можно высказать
более полное утверждение относительно матрицы (Гп-")-1: Т е о р е м а 18.4 (Г о х б е р г а и К р у п н и к а ) .
Если существуют решения {xQ, ау, . . ., хп} и (z0, zlt . . ., zn} систем (18.16) и (18.17) соответственно и выполнено
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ II ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ |
1S9 |
|||||||||||
условие |
хп |
0, |
то теплицева |
матрица |
Т?^ |
обратима |
||||||
и обратная к ней матрица строится по формуле |
|
|||||||||||
|
|
го |
0 |
. . . 0 |
Xп Жп-1 . . . Х1 |
|
|
|||||
/'TiO, тх\ X |
|
1 |
2i |
х |
. . . |
о |
0 |
Xп |
•. . -Т2 |
|
|
|
— |
~0 |
|
|
|||||||||
И n -l; |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
Хп |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
тП |
|
|
|
|
|
. |
zn-\ |
г?1-2 |
■•■ 2о |
■* |
|
|
||||
|
|
|
|
•т о |
0 |
|
0 |
Zп |
zn-\ •* • Z1 |
|
|
|
|
|
|
— |
X,J. |
*0 |
' •• 0 |
0 |
"и |
* *■ 22 |
. (18.2S) |
||
|
|
|
|
жп-1 |
хп-2 ■■■ •г’о |
0 |
0 |
. . . 2п |
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Образуем |
квадратную |
не |
|||||||||
особенную |
матрицу порядка п + |
1: |
|
|
|
|
||||||
*0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
||
•Г1 |
|||
|
|
||
|
• . |
||
|
о |
о |
|
Хп |
0 |
0 |
|
|
|
||
0
. . . 0
1
. . . 0
(det М = хп =f=0).
Легко видеть, что в силу равенств (18.16)
1 |
с0 с - 1 ■■■ с-п+ 1 |
0 |
|
ТпМ = |
/710,11 |
|
71-1 |
0 |
|
Следовательно, по правилам обращения блочных «квазитреугольных» матриц (см. [41, стр. 59)
1 |
* * . . . |
* |
0 |
|
(18.29) |
М^Т~1 |
1 грО , П \ - 1 |
О