книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАЫКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 171

найти все четыре характеристики, о которых идет речь в теореме

17.1.

5. Найти все четыре характеристики (см. теорему 17.2) теплицевой матрицы

шение систем линейных уравнений) не вызывает сомне­ ний. К сожалению, несмотря на обширную литературу, посвященную этому вопросу *), проблема во многих ее аспектах требует дальнейшего углубленного исследования.

*) Объем настоящей монографии не позволяет отразить резуль­ таты, относящиеся к численным методам обращения теплицевых и более общих (так называемых блочно-теплицевих) матриц. Эти ре­ зультаты носят по большей части прикладной характер (построение алгоритмов для обращения матриц на ЭВМ) и в большинстве случаев связаны с теорией фильтрации и экстраполяции скалярных и вектор­ ных стационарных случайных процессов, корреляционные матрицы которых как раз и являются тешшцевыми (в векторном случае — блочно-теплицевыми). Для ориентировки читателя укажем здесь на работы Н. Левинсона [53], П. Виттла [55, 56]. Дж. Дурбина [42а], В. Тренча [54], С. Зохара [57], Л. М. Кутикова [34а] и совсем недав­ но появившуюся статью X . Акаике [39а]. Заметим, что во всех этих

нее здесь, следуя упомянутым авторам, работать с матри­ цами порядка п -Г 1). Затем используем эти результаты для решения с помощью методов § 17 задачи обраще­ ния г а н к е л е в ы х матриц Нп.

18.2.Центральной в излагаемой ниже теории является

работах на обращаемые теплнцевы матрицы налагаются жесткие ограничения типа положительной определенности или несколько более слабого требования строгой несингулярности, т. е. отличия от нуля всех последовательных главных миноров, а для блочно-тепли-

§ J8] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 173

Д о к а з а т е л ь с т в о . При п = 0 утверждения теоремы тривиальны (заметим лишь, что в формуле (18.3) вычитаемое в фигурных скобках в этом случае отсут­ ствует). Итак, пусть п^> 0. Неособенность (обратимость) матрицы Тп докажем от противного.

зависимы. Поскольку система (18.1) разрешима, а в пер­ вом из ее уравнений (при р = 0) правая часть равна еди­ нице, первая строка Г0 матрицы Тп не может состоять только из нулей: Г 0 Ф 0. Отсюда и из линейной зависи­ мости строк вытекает, что хотя бы одна из остальных строк Г1( Г2, . . ., Г„ выражается линейно через п р е д ы- д у щ и е. Обозначим через m ( > 1) н а и б о л ь ш и й из номеров, для которых

менты соответственно первого п последнего столбцов обратной мат­ рицы Г”1. Стало быть, в теореме 18.1 релыщето восста новлепил всей

матрицы Г" 1 по этим двум ее столбцам. Тот факт, что матрица Г"1

определяется этими ее столбцами, по-видимому, впервые был уста­ новлен (трансцендентными методами) Г. Бэкстером п И. Хиршманом

[40], которые получили п явную формулу (отличную от (18.3)) для восстановления матрицы Г"1 по этим столбцам. Одпако в их работе

цул [38], результаты которого легли в основу соответствующего раз­ дела книги И. Ц. Гохбсрга и И. А. Фельдмана [5а] (гл. III, § 6). В приводимой в тексте редакции теорема 18.1 и ее доказательство заимствованы ив [17]. '

и возвратясь затем к прежним их обозначениям, получим

Р=1

Всилу разрешимости системы уравнений (18.1) для вся­

тп

I\ n + l — 2 ® Р -1 Г р ,

Р= 1

аэто противоречит выбору числа т.

Итак, т = п и, следовательно, последняя строка Гп матрицы Тп линейно выражается через предыдущие. Но это в свою очередь противоречит разрешимости системы уравнений (18.2), в которой все правые части, кроме по­ следней, равны нулю, а последняя равна единице.

Таким образом, мы доказали, что матрица Тп обра­ тима. Отсюда вытекает, что решения {ж0, xv . . ., £п} и

— Xn-k-i — *01ХпУ-к-1-

Выпишем этот результат вместе с аналогичным ему, по­ лучающимся из (18.12) при к = п — 1, отдельно:

Убедимся теперь, что первый и последний столбцы матрицы Т n_iZ> = 1 ё,к|[£~;iLo совпадают с соответствую­ щими столбцами единичной матрицы Е = |8jk ||£"к=0.

В самом деле, учитывая (18.13), (18.1), (18.2) и (18.6),