книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

Итак, пусть известна (г, к, ^-характеристика теплицевой матрицы

с_г ■ • •ст • • •°-п+1

Г г -1

Са

•С„

теристики (см. п. 14.1) в наборе последовательных главных миноров

Заметим теперь, что после перестановки столбцов матри­ цы Тп-г в обратном порядке, т. е. при преобразовании

17.3. Для решения обратной задали, т. е. вычислени характеристик теплицевых матриц, получающихся из ганкелевой матрицы Нп„х с заданной (г, /^-харак­ теристикой преобразованиями вида (17.7), нам при­ дется привлечь дополнительные средства. В самом деле, уже простейшие примеры показывают, что (г, /^-харак­ теристика ганкелевой матрицы Я п_х сама по себе, вообще говоря, не определяет (г1, к1, /^-характеристики (соответ­ ственно (?'м, /с1-1, /^-характеристики) преобразованной, т. е.

теплицевой матрицы Th_x = Hn-xJn (соответственно

T Z - i = J n H n - г ) -

П р и м е р .

Таким образом, ганкелевы матрицы Нг и Й2 (обе порядка п = 3 и ранга р = 2) с о д и н а к о в ы м и (г, к)- х а- р а к т е р и с т и к а м и (2, 0) переходят в теплицевы

матрицы Т\жТ\ с различными характеристиками (0, 0, 2) и (1, 0, 1) соответственно.

рактеристиками ганкелевых и теплицевых матриц, опре-

деленными в главах II и III соответственно. В самом деле, (г, к, /^характеристика теплицевой матрицы Тп_х вскры­ вает «динамику поведения» ее элементов при продвижении в двух направлениях: вдоль главной диагонали (состав­ ляющая г) и вдоль побочной диагонали (составляющие /с и /). В то же время обе составляющие (г, /^-характери­ стики гаикелевой матрицы Нп-г рассказывают о «динамике поведения» ее элементов при движении лишь в одном нап­ равлении: вдоль главной диагонали.

Указанный недостаток нетрудно устранить. Наряду (и по аналогии) с компонентой г'*) в (г, /^-характеристике ганкелевой матрицы Нп_г введем еще одну неотрицатель­ ную целочисленную константу rlt определяемую следую­ щим образом. Рассмотрим у ганкелевой матрицы

уже знакомые нам (ср. такое же рассмотрение для теплицевых матриц в п. 15.2, а также (17.10)) последователь­ ные миноры порядка р:

{р = 1 ,2 ,... ,п),

расположенные вдоль побочной диагонали, начиная с верх­ него правого угла матрицы. Константу гх теперь естествен­ но (ср. (10.2)) определить соотношениями

* ) Н а п о м н и м , ч т о н а р о л ь к о н с т а н т ы г в п е р в ы е о б р а т и л в н и м а ­

н и е е щ е Ф р о б е п и у с [ 4 4 ] ( с р . п о д с т р о ч н о е п р и м е ч а н и е н а с т р . 7 9 ) .

6*

Совершенно аналогично можно рассмотреть у ганкелевой матрицы Нп-х (введенные в и. 15.2 для теплицевых матриц) последовательные миноры, «берущие начало» в левом нижнем углу матрицы:

которые в данном случае, в силу симметрии ганкелевых матриц относительно главной диагонали, совпадают с со­ ответствующими

Fp-X= Ер_х (р = 0, 1, 2, . . ., п).

Но после перестановки строк матрицы Нп-х в обратном порядке, т. е. при переходе к теплицевой матрице

* ) И з э т о й ф о р м у л ы в ы т е к а е т , в ч а с т н о с т и , ч т о г п (и б о I 1 ^

^ 0 ) . В п р о ч е м ( е с л и у ч е с т ь , ч т о /ч = г 1) , э т о т ф а к т у ж е б ы л о т м е ч е н в ы ш е в с л е д с т в и и и з п р е д л о ж е н и й 1° и 2 ° ( н а п о м н и м л и ш ь , ч т о в д а н ­

н о м с л у ч а е о б о з н а ч е н и я г и г 1 п о м е н я л и с ь р о л я м и ) .

В самом деле, предложения 1° и 2° позволяют для теплицевой матрицы 7’п_1 вместо обычной (г, к, £)-характери- стики рассматривать две другие ее характеристики, а именно — определяемые этими предложениями пары чисел (г1, к1) и (rw, к соответственно. Отправляясь от любой из этих двух пар, можно развить теорию продолжения мат­ риц Тп-г (и их «угловых блоков») «влево вниз» либо «впра­ во вверх» и теорию ранга (р) (например, правило построе­ ния отличного от нуля минора порядка р — ср. лемму 11.1) подобно тому, как это было сделано в §§ 9—11 для ганкелевых матриц.

В свою очередь, для заданной ганкелевой матрицы Нп-г, вместо ее (г, ^-характеристики, можно рассматри­ вать любую из троек

определенных в предложении 3°, и на базе каждой из них строить теорию по образцу §§ 13—15. При этом, разу­ меется, снова придется рассматривать продолжения мат­ риц Нп^г (и их угловых блоков), но теперь уже не «вправо вниз», а «влево вниз» и «вправо вверх» соответственно.

Напомним еще раз, что составляющие характеристик (17.21) связаны соотношениями (17.20), т. е. фактически характеристики (17.21) отличаются друг от друга только взаимной перестановкой второй и третьей составляющих (см. замечание к предложению 3°).

Для достижения полной симметрии в результатах оста­ ется заметить, что пока мы использовали при введении характеристик только по три из четырех углов каждой из ганкелевых и теплицевых матриц. Восполняя этот пробел, рассмотрим для ганкелевой матрицы

ственно. Составляющие перечисленных характеристик свя­ заны соотношениями

из упражнения 2 к § 15 с (г, к, ^-характеристикой (1, 1, 3). Переста­ новка столбцов в обратном порядке дает ганкелеву матрицу

Нетрудно убедиться, что отличен от нуля ее последовательный глав­