книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

В заключение этого пункта отметим, что запрет, нала­ гаемый леммой 16.1, для ганкелевых матриц не имеет мес­ та. В самом деле, уже простейшие примеры

показывают, что для ганкелевых матриц число р может быть как четным, так и нечетным.

Заметим также, что запрет, налагаемый леммой 16.1,

Тп-.х (х, х) имеют одинаковые сигнатуры, причем форма Тп-х (я, х) имеет точно на к положительных йнак отри­ цательных квадратов больше, нежели форма Тг^1 (х, х).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если ранг формы Тп-Х(х, х) равен р и г = р (к — 0), то утверждение леммы очевидно (см. предложение 1° из § 6). Если же г < р (к 0), то по теореме 15.6 при переходе с помощью продолжений от матрицы Тт-х к Тп-г ранг возрастает лишь на последних к шагах продолжения — по две единицы на каждом шаге. Остается применить лемму-6.1. г .

16.4. Из лемм 16.1 и 16.2 без труда получается прос­ тое сигнатурное правило для эрмитовых теплидевых форм:

Т е о р е м а 16.1 ( о с н о в н а я т е о р е м а о с и г н а т у р е ) . Сигнатура а формы (16.1) вычисляется по набору последовательных главных миноров

Тогда по лемме 16.1 р = 2q — 1 (р)> 0), а форма Th+P(x, х)

совершенно идентично доказательству леммы 12.1 в его простейшей части I, если учесть, что использованные там соотношения (12.5) и (12.6) совпадают с (16.4).

2°. Пусть в (г, к)-характеристике матрицы Тп-г фор­ мы (16.1) r < p ( 7 c > 0 ) . Припишем нулевым определителям набора (DT =f= 0), Dr — Dr+1 = . . . = Dp-X= 0 знаки no следующему правилу.

sign D,._i+v = (— 1) v (v-D/a sign Dr-x

ных квадратов формы превышают соответствующие ко­ личества для формы ТТ-х (х, х) на величины

95 {DT~xi Dr, . . ., Dp-2, Вр-х)

W(Dr-x, Dr, . . ., Dp-2, Bp-x)

соответственно.

И здесь доказательство в силу формулы (15.9) ничем не отличается от рассуждений в простейшем случае I а) дока­ зательства леммы 12.2 (сопоставление различных обозначе­ ний, фигурирующих в нашем предложении 2° и упомяну­ том доказательстве леммы 12.2 предоставляем читателю в виде упражнения).

Теперь, суммируя предложения 1° и 2°, получаем ана­ лог правила, установленного теоремой 12.1:

Т е о р е м а 16.2. Пусть ранг эрмитовой теплицевой формы Тп-х (х, х) равен р = г + 2к, где (г, к) есть харак­ теристика матрицы Тп-х■ Рассмотрим набор

(1 = ) D-x, Do, Dx, •••, Dp-2, Dp-x,

в котором при к = 0 (г = р) положено D*p-x = Dp-X, а в

противном случае D*p-X= Вр-Х (— М1р) (см. предложение 2°). Нулевым определителям Dj-x{ 0 < 7 р — 1), если таковые имеются, припишем знаки по правилам (16.7) и (16.8). Тогда количества i t u v положительных и отрица­ тельных квадратов формы Тп_х (х, х) соответственно

Если эрмитова теплицева форма

п—1

2 °v-chvc,4

Р,<1=о

ранга р имеет х положительных квадратов, то для того чтобы ко­ нечный набор

Со, Си . . Сл—Х

ее коэффициентов допускал продолжение до бесконечной последовательности {ср}р _0 класса необходимо и достаточно, чтобы ми­ нор 2>р_1 ф 0. Если это условие выполнено, то при р < п упомяну­

тое продолжение определяется единственным образом, а при р = п существует бесконечное множество таких продолжений [19] (ср. упражнение 10 к § 12).

др.), а также детальное исследование проблемы продолжений, лишь затронутой в упражнении 8, см. в [19, 21, 24, 30, 31, 36]. Аналогич­

ные сведения о последовательностях класса (см* упражнение

10 к § 12), правда, в значительно меньшем объеме, содержатся в [14, 35, 29]. По поводу континуальных аналогов этих задач см. [33, 37, 1 3 -1 5 , 39].

Г Л А В А IV

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТЕПЛИЦЕВЫ Х И ГАНКЕЛЕВЫ Х МАТРИЦ И ФОРМ

§ 17. Взаимные преобразования теплицевых

иганкелевых матриц. Пересчет характеристик

17.1.На всем протяжении гл. III мы прослеживали аналогию между свойствами теплицевых и ганкелевых мат­

риц, а также аналогию в поведении соответствующих форм, не забывая, правда, подчеркивать и проявлявшие­ ся иногда существенные различия. Упомянутая аналогия становится естественной (по крайней мере в том, что ка­ сается матриц), если заметить, что всякая тешгацева матрица

простой перестановкой столбцов (строк) может быть прев­ ращена в ганкелеву и обратно.

В самом деле, достаточно, например, в матрице Тп_г переставить столбцы в обратном порядке, т. е. последний столбец на место первого, предпоследний на место второ­ го и т. д., и мы получим ганкелеву матрицу

§17] ПЕРЕСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК 159

которые связаны друг с другом обычным транспониро­ ванием:

Преобразования (17.2) и (17.3) можно записать с по­ мощью умножения заданных матриц на фиксированную матрицу Jn порядка п:

В самом деле, непосредственно проверяются соотношения

Этими формулами удобно пользоваться еще и потому, что матрица Уп обладает замечательными свойствами: она эр­ митова (вещественна и симметрична) и унитарна одно­ временно:

/ ; = / ; = 7П, / - 1 = / ; ( = / „ ) ,

а потому инволютивна:

возникает естественный вопрос: как эти преобразования отражаются на характеристиках соответствующих мат­ риц? Точнее говоря: можно ли по заданной (г, к, Z)-xapaKTe- ристике теплицевой матрицы вычислить (г1, к1)-

и (гм, /с^-характеристики ганкелевьтх матриц Нп-х и Нп-х и обратно? Положительный ответ на первый из этих вопросов получается с помощью результатов п. 15.2.