Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

8.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2715 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

140	ТЕПЛИЦЕВЫ	МАТРИЦЫ И ФОРМЫ	[ГЛ. III
	В случае к 0, 1 =	0 рассуждения аналогичны.
	Из теоремы 15.2 немедленно получается общий крите

рий существования особых продолжений (см. § 13) про извольной теплицевой матрицы, а именно:

Т е о р е м а 15.3. Для того чтобы теплицева матрица Тп-г ранга р допускала особые продолжения, необходимо

идостаточно выполнение условия Dp-X=/= 0.

До к а з а т е л ь с т в о . Достаточность условия бы ла установлена в теоремах 14.1 и 14.2. Необходимость же следует из теоремы 15.2, ибо при Dp-X= 0 в (г, k, I)-

характеристике матрицы Тп-Хсоставляющая г обязательно

удовлетворяет неравенству г <					р, а потому		особых про
должений у		Тп-Х нет (уже		Тп имеет		ранг	р + 1		либо
р + 2).
Отсюда в свою очередь следует аналог теоремы Кроне-
кера (см. теорему 11,6):
Т е о р е м а			15.4. Если бесконечная теплицева					мат
рица	Too =	I cp_g ]\|^ q=0 имеет			конечный		ранг	р,	то
Dp- 1	=f= 0.			вполне аналогично доказа
Д о к а з а т е л ь с т в о
тельству теоремы 11.6.				пункт		этого	параграфа мы
15.5.		Заключительный
посвятим тому случаю, когда					теплицева матрица				Та-Х
эрмитова, имея, в частности, и виду приложения к тео
рии (эрмитовых)			теплицевых форм.

В конце п. 14.2 отмечалось, что для эрмитовой тепли цевой матрицы Тп-Х(г, к, ^-характеристика всегда имеет вид (г, к, к), т. е. можно говорить об (г, /^-характеристике. Поэтому утверждение основной теоремы о ранге р для эрмитовой теплицевой матрицы Тп-Хзаписывается теперь так:

р = г + 2к.

(15.8)

Таким образом, обнаруженный в лемме 15.1 отличный от

нуля минор Мкр теперь (при к = I) можно выбрать так, чтобы он был г л а в н ы м минором, т. е. симметричным относительно главной диагонали матрицы Тп-Х (доста

точно для этого взять минор A<w) по формуле (15.2) с со = 0 и расположенным в заштрихованной зоне на схеме (15.1) симметрично относительно побочной диа

гонали). Тогда, очевидно, Д(г0) = D r-X, и нескольку (ем.

§ 15] ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ 141

замечание	4	к	теореме 13.2)
			сп-к ~ С-п+к’	сп-к = с-п+к?
минор		вычисляется		(см. (3.9)) так:
• M	V	~	M (V k = ( - 1 ) к Д -1 1 С- - с п - к Г -		(15.9)

Структура минора М)р допускает в случае эрмитовой матрицы Тп-г (к = I) новое истолкование. В самом деле, этот минор должен теперь составляться из главного ми нора Д .-!, окаймленного слева и сверху первыми к стро ками и столбцами, а справа и снизу — последними к строками и столбцами матрицы Tn-V Но поскольку мат рица Тп_1 тешшцева, минор Д -х можно выбрать и так, чтобы (см. схему (15.1)) он стоял вплотную к первым к строкам и столбцам, т. е. (в обозначениях § 1) чтобы

п	/ * +	1	* + 2 - • - к + Л
	"-1 \ /с +	1	к+ 2 . . . к+ г )

или схематически:

со • • • С->С+1 °-к			■ • ■ с-к-а СТ			■ • • й-п+1
ск- 1 • • ■ со						• • • ст
ск	. . . су	с0	• • • с-о		СШ • • • С-С+1
......................		:	т о	;	......................
ск+о ■ ■ ■ сг		с3	. . .	со	сш+о ‘ • ■ ст+г
с_т . . . .		........................			С0	‘ ‘ ‘ C-fc+l
сп- 1	• • • °-т	С- т - 1 • • . С_т_ г			ск-1 • • • С0

где а = г — 1, %= — п + к, со = — + 2к. Но это, очевидно, то же самое, дто окаймление минора, состоя щего из первых г -f- к строк и' столбцов матрицы 71„_1 последними к ее строками и столбцами. В свою очередь это эквивалентно окаймлению минора Д _ х, взятого в левом верхнем углу матрицы Тп- г, ближайшими к нему к стро ками и столбцами матрицы Тп-г, а затем — ее последними

142

ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

[гл. ni

к строками и столбцами:

с0

•

с -г + 1

c - r

• • •

c -r -J c+ i

c-n+Jt

•

c-n+l

СГ -1

•

С0

•

■

• • c-n+r

Сг

. . . .

cQ . . . .

.................................

. . .

.................................

СГ+к-1

• • •

•

• • •

c o

.................................

cn -k

•

...........................

•

cn-l

•

cn_r

...........................

•

• c o

Именно этот последний вариант истолкования минора М ^ позволяет сформулировать следующее правило (алгоритм) отыскания ранга р эрмитовой тешшцевой матрицы Тп-.г —

аналог теоремы	11.3.
Т е о р е м а	15.5. Пусть Тп^г — эрмитова тепли-

цева матрица, а число		г определяется	соотношениями
	Dr~i =£= О,	D, = 0 (s >	г).	(15-Ю)
Если г =	п (т. е. второе из соотношений (15.10)			лишено
смысла),	то и ранг матрицы Тп-г равен п: р = п.			Если же

г < п, то, окаймив минор DT-x, стоящий в левом верхнем углу матрицы Тп^г, ближайшими к нему строкой и столб цом и последними строкой и столбцом этой матрицы,

образуем минор Dr+1 порядка г + 2; затем образуем минор

В г±з порядка г + 4, окаймив DT-X двумя ближайшими к нему строками и столбцами и двумя последними строкамии столбцами матрицы Тп~г и т. д., пока это позволяют относительные размеры минора Dr-X и матрицы Tn- V

Рассмотрим	максимальный (по порядку) из миноров
A - i+2v (v =	0, 1, 2, ...), отличный от нуля (Z)r_i == Dr_i).

.§15]	ТЕОРЕМЩ.О РАНГЕ			.
Тогда
	max		v = к
	®r-l+2v:?t 0
и г +	2к = р — ранг матрицы\Тп-Х'*).
Далее, поскольку при г < р для эрмитовой матрицы
Тп-Х имеем (I —) к^> 0,		то	в теореме 15.2 всегда имеет
место	случай Ы(= кг) )>	0	и, стало	быть:

3°. Любое продолжение Тп эрмитовой теплицевой мат

рицы Тп-Хс г < р произвольной	парой	(сп, с_п) (не обяза
тельно комплексно-сопряженных)	чисел	имеет ранг рх =
' = р + 2 **).

Аналогичным образом в доказательстве основной тео ремы о ранге теперь пришлось бы рассматривать только простейший случай (k = I). Ввиду важности для прило жений использованное в этом случае рассуждение (см. доказательство теоремы 15.1), а точнее, его результат,

заслуживает того, чтобы	быть выделенным в	отдельное
' предложение:	с к а ч к а х р а н г а	э р м и
Т е о р е м а 15.6 (о	с к а ч к а х р а н г а	э р м и

т о в о й т е п л и ц е в о й м а т р и ц ы п р и п р о д о л ж е н и и ) . Если в (г, к)-характеристике эрмитовой ' теплицевой матрицы Тп_х составляющая к 0, то усе ченная матрица Тп^ х имеет ранг г, а у матриц Тп_ъ

Тп-к+х, ..., Тп_х	ранги соответственно равны г - j - 2,
г -)- 4, ..., г +	2к.

Иными словами, при переходе путем построения про должений от матрицы Тг-Х ранга г к матрице Тп^х ран га р (^> г) ранг возрастаетлишь на последних к шагах про должения, причем каждый из этих к шагов сопровождается ростом ранга на две единицы.

Читателю предлагается в качестве упражнения про верить, что теоремы 15.5 и 15.6, а также предложение 3° справедливы и для (комплексных) симметрических теплицевых матриц.

*) Как и для ганкелевых матриц ((см. подстрочное примечание

к теореме 11.3) при малых	(относительно п) величинах г ранг
р = г -}- 2к проще находить	прямым вычислением составляющей к

в (г, ^-характеристике по методу § 14.

**) Именно это	предложение (см. [19], теорема 2) являлось пер
воначально основой	всей	теории	эрмитовых теплицевых матриц
(и форм), развитой	в [19]	и [20].


144	ТЕГОГИЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ			[ГЛ. III
В заключение (также в виде упражнения) предлагается
установить по		аналогии с теоремой 11.8 справедливость
следующего предложения:			Общий вид эрмитовой тепли-
Т е о р е м а		15.7 [20].
цевой	матрицы Тп-г =		\|cp_q \|5^=0 данного	порядка
п О 3)	с заданной (г, к)-характеристикой (г ;>			0, к 0,
?2 ^ > г +	2к) определяется следующим образом:

1)при r]> 1 задается произвольная неособенная эрми това теплицева матрица Тг-г порядка г {при г = 0 этот шаг опускается);

2)в качестве Тг берется произвольное особое продол

жение	матрицы			71,._г {при			г — 0 полагаем Т0 = (0));
3)	матрицы Тг+1, Тг+2, ...,							определяются един
ственным образом				как особые продолжения матрицы ТТ\
4)	единственным образом определяется число с^и,
задающее		следующее			особое	продолжение Тп_к				{порядка
п — k +		1) матрицы Тг;
5)	этот элемент сп_к в						Тп-к заменяется произволь
ным	сп_к (^= Cn-h)			и	соответственно				с'_п+к =	Сп-к за
меняется		на сп_к; полученная						в результате матрица
обозначается Тп-к;				построение			матрицы Тп„г завершено',
6)	при к =		1
при	к >	1	остальные			элементы			cn_fc+1 (=	c_n+j_j),
cn-k+г (=		c_„+s_2),..., cn_j (=				c_„+1)		выбираются		произ
вольно.

Ясно, что аналогичная теорема может быть сформули рована и доказана и для (комплексных) с и м м е т р и ч е с к и х теплицевых матриц.

Примеры и упраження

1. Для теплицевий матрицы (см. упражнение 2 к § 14)

0	0	— 1	0	0
2	0	0	— 1	0
0	2	0	0	- 1
0	0	2	0	0
0	0	0	2	0

порядка п = 5 с (г,/с, ^-характеристикой (3,	1, 0) отличный от ну
ля минор четвертого порядка (г + к + I=	4) можно выбрать

§ 151					ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ									145
согласно лемме			15.1, например, в							виде
	2	0	0	- 1
	0	2	0		0			16	(вариант а) леммы 15.1)
	0	0	2		0			16	(вариант а) леммы 15.1)
	0	0	2		0
	0	0	0		2
или в виде
		0		1			О		О
				О — 1					О	4	(вариант б)).
				О					=	4	(вариант б)).
				О			О — 1
				О			2		О
Ранг матрицы		Т4 равен р =						г + /с +			I = 4	(проверьте, что D,
= I Г« \|=	О).											1° и 2°, имеем:
Далее,	в соответствии с предложениями											1° и 2°, имеем:
							— 1		0		0
			=	1?2 =				0	— 1		0 =	— 1 =¥= 0;
								0	0		— 1
				— 1				0	0
	£а =				О — 1				0	= 0, £4 = £ 4 = 0;
				О				О - 1
				2				О	О
				2		0		0	1
				0		2		0	О		16^=0,		Fi = Di =	0.
				0		0 . 2			О		16^=0,		Fi = Di =	0.
				0		0 . 2			О
				0		0		0	2
2. Убедиться, что					у		теплицевой				матрицы		(порядка	и = 6)
			1	1	1		Р	If	б
			1	1	1		1	Р	Т
	П =		1	1	1		1	1	Р		(«¥=1,		Р=М)
	П =		1	1	1		1	1	1		(«¥=1,		Р=М)
			1	1	1		1	1	1
			1	1	1		1	1	1
			а	1	1		1	1	1

146	ТЕЛЛИЦЕВЫ	МАТРИЦЫ И ФОРМЫ				[ГЛ. III
отличен	от нуля минор пятого		порядка
	1	1	р	Т	б
	1	1	1	Р	Т
	1	1	1	1	Р
	1	1 1	1	1	:
	а	1	1	1	1

Сопоставить этот факт с леммой 15.1, вычислив предварительно (г, к, ^-характеристику матрицы Тъ. Изучить поведение последо вательных миноров Ер-1 и Е х матрицы Тъ и объяснить его с точки

зрения предложений 1° и 2°.

3.	Вычислим ранг р симметрической теплнцевой матрицы пято-
го порядка		0	1	0	1	1
		0	1	0	1	1
		1	0	1	0	1
	т 4 =	0	1	0	1	0
		1	0	1	0	1
		1	1	0	1	0
по правилу, теоремы 15.5. Здесь				D о =	О,	D x — — 1, D 2 ~ D 3 —
— jD4 =	0. Таким образом,	г =	2,

Dr_1 = D1

0, 1 1 0 '

Окаймим этот минор ближайшими к нему (одним) столбцом и (одной) строкой, а также последними (одним) столбцом и (одной) строкой матрицы Т4. Получим

0	1
1	0
А> =
0	1
1	1

= 1(^0).

0	0
0	- О

Так как размеры матрицы не допускают дальнейшего продолжения этого алгоритма, то р = 4. Сопоставьте этот результат с последним из ответов на упражнение 4 к § 14 и формулой (15.8).

4. Найти ранг р эрмитовой теплицевой матрицы

4	4г	■0 :	2i	■- 5
— 4г	4 ,	4i	0	2i
0	— и	4	4i	0
— 2i	0	— 4i	4 .	4i
— 5	— 2г	0	— 4i	4

Ответ, р = 3.

§ 1 5 ]'						ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ										147
	б.	Для		теплицевой				матрицы			Т4 примера				1 (порядок п = 5,
(г, к, ^-характеристика (3, 1,								0),	ранг		р =		4), рассмотрим’			продол
жение					0	0	— 1			0		0		У
					0	0	— 1			0		0		У
					2	0		0	— 1			0		0
			Т5=		0	2		0		0	- 1			.0
			Т5=		0	0		2		0		0	— 1
					0	0		2		0		0	— 1
					0	0		0		2 •		0		0
					X	0		0		0		2		0
Убедиться, что при л ю б ы х								х,	у у	матрицы				Тъ ранг р >		4. При
каких		значениях		х,	у	будет		р =	5?						■>
	У х а в а н и			е. Использовать теорему 15.2.											■>
	6.	У матрицы (эрмитовой теплицевой)													'
					1		i	— i		— i		— 1		г
				— i			1		i	- 1		— i		— l
		Т5		— 1		— i			1		i	— 1		— i
		Т5			i	— 1		— i			1		i	— 1
					i	— 1		— i			1		i	— 1
				— 1			i	— 1		— i			1	i
				— i		— 1			i	— 1		— i		1
как	нетрудно		проверить,				в	(г, ^-характеристике составляющая
г =	1 и 7 ? ^ =		D 0=		1. Проследите за скачками ранга при построе
нии последовательных						продолжении					матрицы

1	г	— i
Та = — i	1	i
— 1	— £•	1

II £

1	i	— i	— i
— i	1	£	— 1
— 1	— £	1	и т. д.
— 1	— £	1	i
i	—.1	— i	1

до	полного восстановления матрицы Tj	и сопоставьте	результат
с теоремой 15,6. Чему равна составляющая к? :				к = 2.
	7. Доказать предложение (см. [19],	Ответ,
		теорема 4):
	Если у эрмитовой (или симметрической) теплицевой матрицы.
Тп_1 ранга р е (г,-/^-характеристике		составляющая	к	0 (г <[
<	р <[ п), а дефект матрицы равен d ( =	re — р), тгео после d шагов

' продолжения этой матрицы *) с помощью произвольных элементов

йп = ^-tv cn+i=		••» cn+d-i =		^-n-d+i (соответственно сп —
cn+i =	c_n_v . . ., cn+d_1 =		c_n_d+1)	получим (впервые])	неособенную
матрицу Tn_1+d.
*) Ср. С упражнением			5 ’ к §11 .и подстрочным		примечанием
к нему.	•	- -		.	!

148

ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

ЕГЛ. III

У к а з а н и е . Воспользоваться теоремой 15.2 (или ее след ствием — предложением 8°) и предложением 1° из § 14.

8. Существуют ли особые продолжения у теплицевых матриц:

Ti =	О 3 — 2£	— £		—2	4£
		Тч-	1/2		— 2
	О О			— £
		-	£/4	1/2

	— i		2 - 4 »
Г2 =	1/2 —£			2	,
	—£/4		1/2	—£
		£	2		— 4£
Г2 =	—	1/2	£		2
	-	£/4	— 1/2		£

	i		2	4£
?* =	-1 /2		£	2
	-£/4	-1 /2		£
	1	1	1	0
чОСЕ	1	1	1	1
чОСЕ	II	1	1	1
	1	1	1	1
	0	1	1	1

(ср. с упражнением 5 к § 14)?

У к а з а н и е , Воспользоваться теоремой 15.3.

9.Сформулировать и доказать обобщение теоремы 15.7 дл

произвольных теплицевых матриц.

§ 16. Эрмитовы теплицевы формы

	16.1.	Для	произвольной	эрмитовой	теплицевой
формы *)		п— 1
		п— 1
Тп-х {х, х) =		2 ср - Л р1« (С-Р = СР- Р =		0.1. •••. п — 1)		(16.1)
		Р Л = 0
с	матрицей	Гп_х = \|ср_д\| ^ =1 порядка п ( >			1) р	ран
га	р мы снова		займемся изучением сигнатуры			и по

пытаемся установить аналоги результатов Фробениуса в теории вещественных ганкелевых форм (ср. § 12). При этом обнаружатся два любопытных обстоятельства, тесно между собой связанных. Во-первых, расположение воз можных нулей в наборе последовательных главных мино ров

( 1 = ) D - 1>D 0,D 1,...,D M

(16.2)

должно теперь подчиняться некоторым «запретам», ра нее (т. е. в теории ганкелевых форм) нам не встречавшим

*) Нетрудно проследить, что все результаты § 16 остаются в силе для вещественных квадратичных теплицевых форм.

§ 16]			ЭРМИТОВЫ ТЕПЛИЦЕВЫ ФОРМЫ						149
ся. Во-вторых, именно благодаря							этим запретам теория
оказывается более стройной и простой, а окончательный
ее	итог — сигнатурное				правило — совершенно				элемен
тарным (и тем не менее до недавнего времени остававшим
ся неизвестным).
	16.2.		Следуя тому же плану, что и в § 12, начнем со
случая, когда в наборе (16.2) встречается изолированная
группа		идущих подряд нулей.					(16.2)	имеется группа
	Л е м м а		16.1. Если в наборе
(Dh-i ^		0)>	Dh = D hn = ... =				=	0, (Dh+P -ф- 0)
									(16.3)
из Р 0 >		0) изолированно			стоящих		нулещ то число р не
четно.						Если	рассмотреть		«усечен
	Д о к а з а т е л ь с т в о .
ные» матрицы TVx,				Th, ...,		Гл+р-х, Г/1+р, определители
которых фигурируют в (16.3), то ясно, что ранг матрицы
Th+P равенй			+ р +	1,	а у матрицы Th+P„г ранг р равен
Ц +	р — 1 (см. следствие из					леммы 6.1).
	В (г, ^-характеристике эрмитовой теплицевой матри
цы TVp-x, очевидно, f				== A, &2% — р — г = (h					р —1)—
— h = р — 1. Отсюда следует, что р =								2к + 1 — нечет
ное	число.			Переход Тн+р^г				Т^ р сопровож
	З а м е ч а н и е .
дается скачком ранга на две единицы. При р >									1 (т. е.

к0) переходы

Тh-\ Тh Тh+p-i

в силу теоремы 15.6 будут только на каждом из последних к = (р — 1)/2 шагов сопровождаться ростом ранга и при


том всякий раз — на две единицы. Таким образом,					в лю
бом случае (р !> 1),	если положить р = 2q			— 1 (g	0),
то весь переход от		Тh+p даст	увеличение ранга на
2q единиц.	1.	Сигнатуры	у эрмитовых		форм
С л е д с т в и е
Тп-х (#» *) и Тh+p (х,		х) (с матрицами Т и		Th+P соот

ветственно-) совпадают. При этом форма Th+P (х, х) имеет точно на q положительных и на q отрицательных квадратов больше, нежели форма T h - i ( х) (Р = 2д— !)•

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2715 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ