книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

130

ТЕШ1ИЦЕВЫ

МАТРИЦЫ

И ФОРМЫ

[ГЛ. III

2.

Какова (г, к, ^-характеристика

теплицевой

матрицы

0

0

— 1

0

0

2

0

0

— 1

0

0 . 2

0

0

- 1

0

0

2

0

0

о '

0

0

2

0

Ответ.. (3 ,1 ,0 ).

1

i

— 1

— i

i

— г

1

i

— 1

— i

— 1

— i

1

i

- 1

i

— 1

— i

1

i

1

i

— 1

— i

1

§ ±5j ■ ,

ТЕОРЕМЫ p РАНГЙ

Щ

6. Матрица

Тп_х ( = Я п_1) теплицева и ганкелева одновремен­

матрицы Тп_р.

и

I

последних

столбцов,

а)

к + г первых столбцов

I

первых строк, и г +

к. последних строк;

столбцов,

б)

к первых столбцов

и

г -f-

I

последних

этом случае, по определению, k = I = 0, а

= Пр_х =

= D T-x(=f= 0) есть искомый минор порядка

г ( - ) - 0 + 0 )

(его можно заменить минорами, взятыми по

правилам а)

или б) из формулировки леммы,

в силу предложения 2°

из § 14, если г

0). Заметим, что при р = г =

0 (тогда

и к = I = 0) утверждение леммы

теряет смысл.

В этом

§ 151

ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ

133

С0 . . .

с-П+1

■■■с-п+1

.

■■■С-п+1

М & = .

д<ш) .......................

сп-к ■■■■

*

. . . .

■■■■сп-к

. . . С0

(в случае г — О клетка Д(гш) здесь отсутствует). Восполь­

мы можем

рассматривать

не как

минор матрицы

Тп-1г а как составленный (см.

теорему 13.2) для матрицы

Тп_! — особого

продолжения

матрицы Тт (ранга г) —

определитель

(|, ц) (см.

лемму

3.1

в форме (3.7)),

в котором

числа £ = сп_к и ц = с_п+(

заняли места эле­

=

М& (сп_,, с_п+;)

=

=

( - l)'l'!+r('i+,)A(“) (cn- k - V * )* (c-n-н - c V O ', (15.3)

откуда в силу (14.3)

Ф 0.

Г -{- k -f- I — 7Z

(15. 4)

134

ТЕПЛИЦЕВЫ

МАТРИЦЫ

И ФОРМЫ

£гл. ш

в рассматриваемых условиях (г <; р) невозможно^

В

са­

мом деле, в противном случае мы имели бы

т. е. р =

п = г.

= В ,,-! ф о,

когда г + к +

I >

п,

Остается рассмотреть случай,

который,

как увидим,

тоже оказывается невозможным

тате

матрица 7,n_1_(r+Jf+,_n) =

Тй-г

будет

иметь порядок

п =

2п — г — к — I

2п — г — 2 max {к, 1}

2 !п

max {к,

Z}] — г > г **),

(15.5)

так что в ее (г, к, ^-характеристике

г = г , к =

к — ( г + к + 1 — п) =

п — г — 1 л

Г = 1 - { г + к + 1 - п )

=

п - г - к ,

}

(15'6)

причем (см.

(14.4)) к )>

О,

I )> 0,

т. е.

ранг р матрицы

Гй- 1

превосходит 7-(==

г)

(см. п.

14.1). Но из (15.6) еле-

дует

г ~ \ - к - \ - 1 = г + (п — г — 1 )-\ -(п — г — к) =

= 2п — г — к — I = п,

что, как известно (ср.

с (15.4)),

при г < р невозможно.

Лемма 15.1 доказана.

15.2.

Некоторые факты, обнаруженные в ходе доказа­

тельства леммы 15.1,

позволяют

установить два предло­

жения, которые окажутся полезными в дальнейшем.

Рассмотрим величины

С- п+Р

с-п+р+1 •• С-п+1

Е - 1 = 1) Ер- 1 — с-п+р+ 1

с-п+р

• С-п+2

(Р = 1 ,2,.

., п)

*)

Заметим, что

в

силу (14.4)

г + А + Z — re ^ га — 2.

**)

В

последнем

из неравенств

(15.5)

использован очевидный

(см. схему

(15.1)) факт:

га — max {А, 1} ^

г.

§ 15]

ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ

135

или, в обозначениях § 1,

Ep-i =

Tn-i(n_ p + l п _ р + 2 ... п)

(р =

1, 2,...,п ).

Таким образом,

через (1 = ) Е_х, Е 0,

Ev . . .,

Еп-Х обоз­

начены

аналоги

последовательных

главных миноров

Er+i-1 4= О?

Ер-j = 0

(р — г +

I -]- 1,. •-, п).

В самом деле, минор Ег+1- г в силу своего

определения

получается из

найденного

в лемме

15.1

минора Мj£],

этой леммы (т. е. при со = —п +

21

г), а затем отбро­

сить у него первые

к столбцов и последние к строк:

с0 . .

. . .

С-П+1

■ ■ ■

C-n+l

•

•

. . .

• •

с-п+г

• • •

•

A<“ >

*

•

*

сп-к

•

. . .

•

• -

сп-к

.

С0

са>-1

•

• • c-n+i+i

С-71+1

•

• •

С-п+1

■'Ш-1

-п + 1

Er+1-i —

‘'co-r+l

°-n+;+i

см+г-1

• •

c-n-W+r

со = — п -j- 2£ г,

с-п+21+г

С- п+ 2/+1

136

ТЕПЛИЦЕ ВЫ

МАТРИЦЫ

И

ФОРМЫ

ГЛ.

III

Таким образом, Ег+1-х имеет в точности

тот же вид, что

и М^З при к =

0. Но это означает, что

вычислить Ег+Н1

можно по тому же правилу *) (15.3), что и М

ЕтН. х =

( -

1)гг Д'-п+2!+г) (с_п+г -

с1п+!)г ф 0.

Остается

объяснить, почему Ер_х =

0 при р )> г +

I.

В этом случае

структура определителя

Ер-Х такова:

р—(г+0

r

I

С-П+р

■ • •

с-п+( •

• С-П+1

I

• . .

• е-п+(

•

.

•

.

Ep-i

Г

са

Р-(г+1)

с-п+2р-1 '

• Сс

с-п+р

где со = — п +

21 +

г, а с =

— и +

p +

r + Z.

При г =

р,

где р — ранг

матрицы Тп-.х (в этом случае

к =

I =

0),

порядок р

минора Ер_х больше

р (р >

г +

i =

р +

4

т. е. Ер_х = 0.

Если

же

г < р ,

то,

как

выяснилось

при доказательстве леммы 15.1, г + к + I < ц .

Поэтому

(напомним

еще, что р ^ п)

числение Ер-Хв соответствии с леммой

3.1, т. е. по фор­

муле,

аналогичной (15.3),

дает Ер_х = 0.

* )

П р и г = 1 = 0 и м е е м ,

п о о п р е д е л е н и ю ,

Е г+1_ г = Е-\ = 1 .

Е с л и ж е г = 0 ,

а / > 0 , т о , к а к в и д н о и з о п р е д е л е н и я ( 1 4 . 1 ) и с о о т ­

н о ш е н и й

( 1 4 . 3 ) ,

и м е е м

с_п+р = е_[п + р = 0

(р < I), а с _ п + , ф

Ф с_п+1 =

0 , т а к ч т о и в э т о м с л у ч а е

§151

ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ

13?

/ п — ( / - 1 - 1

п

<7 + 2 . .

. п \

'— Z V

А

1

2

. .

J

° n - q

cn - g - l

'

*

•

Сп-29+1

cn -q + i

Gn - q

*

*

*

Cn - 2Q+2

( 3 =

• , п ) .

Сп -1 Сп - 2

‘ * * cn - q

Ясно, что для этих миноров имеет место аналог предло­

жения 1°, а именно *):

2°.

У тпеплщевой

матрицы Tv

с характеристикой

(г, к,

I)

всегда

1 О, Fq-i = 0 (q = г + к + 1, . .

п).

15.3.

Заметим прежде всего,

что лемма 15.1 формули­

Т е о р е м а

15.1 ( о с н о в н а я

т е о р е м а

о

р а н г е ) .

Если

Тп_г — теплицева матрица с известной

(г, к, I)-характеристикой,

то ее ранг р находится по фор­

муле

р =

г + к +

(15.7)

I .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При

г =

р

формула

(15.7)

тривиальна, так как в этом случае к =

I =

0.

Пусть г <

р,

т. е. к +

I

0. Очевидно,

без ограниче­

ния общности,

можно принять к ^

I. В силу (14.3)

все

матрицы

Tv_

=

1C p -Jt.V o

при

v

=

г,

г -f- 1, ...,

п —к

имеют ранг

г, а [матрица

Тп-к имеет

ранг гг

г.

На

138

ТЕПЛИЦЕВЫ

МАТРИЦЫ

И

ФОРМЫ

[ГЛ. I l l

основании

следствия

из леммы

6.1

гх равняется

либо

г + 1, либо

г + 2.

у матрицы Tn4i, харак­

Если к = I, то по лемме 15.1

рядка

г +

1 +

1 = г +

2,

отличный от

нуля,

т.

е.

г, = г +

2.

По тем же соображениям (ср. § 14, предложе­

ние 1°)

иа

следующем шаге продолжения

матрицы Тп_к

с помощью

элементов сп_я.+1 (=

c„_m ) и с_п+,_: (=

с_п+я._х)

(мы снова допускаем здесь уже

оговоренную

в главе II

вольность

речи)

ранг

снова

повысится

на

две

едини­

цы и т. д. В результате после к (= I) шагов продолжения

мы обнаружим, что р =

г-\-2к = г-\-к-\-1.

гг =

г +

1,

Если

же к

I *), то (ранг матрицы Тп-к)

ибо все

строки

матрицы Тп-к, кроме последней,

выра­

жаются

линейно

через

первые

г ее строк (не содержат

рицы

Tn_fc имеет вид (г, 1,0).

Если к =

I + 1,

то у мат­

рицы

Тп-к+1 характеристика

(см. § 14, предложение 1°)

будет уже (г, 2,

1) а ранг превысит rx (= г +

1) на две

единицы (не более — в силу

следствия

из леммы

6.1,

и

не

менее — в

силу

леммы

15.1). В случае

же,

если

к

Z + 1, все

строки

матрицы Тп_кАг1,

за исключением

двух последних, выражаются

линейно через г первых ее

строк,

т. е.

ранг матрицы Тп- к+1 не превышает г + 2 =

= rx +

1.

В то же время характеристика матрицы Тп-к+1

имеет

в этом случае вид (г,

2, 0), т. е. с учетом

леммы

15.1 ранг этой матрицы равен

в точности г + 2 =

rx + 1.

§ 15]

i '

ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ

139

15.4.

Рассмотрим теперь

некоторые

следствия

из ос­

новной теоремы о ранге.

Если в (г, к, I)-характеристике

Т е о р е м а

15.2 *).

тпеплицевой матрицы Tn-i ранга р составляющая г <; р,

то любое продолжение

Тп матрицы Тп-х с помощью про­

извольной пары элементов (сп, сф)

имеет ранг

рх

р.

При этом, если Ы

0,

то Pi

=

р +

2;

если же к — О,

I

О (соответственно к

О, I — 0),

то (в обозначениях

§

14)

при

сп ф Сп

(соответственно

с_„ Ф cln)

также

Рх =

р + 2, а при сп

с!п(соответственно c_n =

cln) рх ■-=

=

р + 1.

Из условия г < р

(к -)-

I ^>

Д о к а з а т е л ь с т в о .

0)

следует, что

матрица Тп-г особенная, т. е. ее ранг

р не выше

п — 1:

р

га — 1.

Поэтому,

если

Тп — не­

особенная матрица, т. е. ее ранг рх =

га +

1, то в силу след­

ствия из леммы 6.1 р =

га — 1, а рх =

р +

2. Заметим,

что

при этом либо Ы

0,

либо Ы =

0.

В последнем случае

пусть, например, к .=

0,

I

0. Тогда обязательно сп ф

с'п-

В

самом деле,

при

сп = с„

матрица

Тп

имела

бы

(га +

1) — (I +

1) =

га — I О

р — I = г)

строк,

не

со­

держащих «испорченных» элементов, т. е. строк, принад­

лежащих матрице

Тп ранга

г,

а потому линейно зависи­

мых. Но тогда

det Тп =

0 вопреки предположению.

Пусть теперь Тп — особенная матрица,

а ее характе­

ристика имеет вид {г, к,

I). Тогда при Ы

0

г = г,

к = к + 1,

I — I + 1, .

Если же к — 0, I >

0, то при сп =j= с£ имеем

т=

т,

к =

1,

Z = Z —{—1,

т. е. Рх — г +

I +

2 =

р +

2,

а при сп = с'п

т = г,

/с = 0,

I = I -)- 1,

т. е. Рх = г +

Z+ 1 = р + 1.