Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

8.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2713 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

120	ТЕПЛИЦЕВЫ	МАТРИЦЫ И	ФОРМЫ	[ГЛ. III
	с—П
столбец	, получаем матрицу		Тп, а из	формул
(13.11)	\ Со /
(13.11)	и (13.12) заключаем, что этот столбец также выра
жается линейно через		р предыдущих,	а значит,	и через

первые р ее столбцов, т. е. ранг матрицы Тп равен р. Теорема доказана.

С л е д с т в и е . В условиях теоремы 13.2 существуют две единственным образом определяющиеся последователь ности чисел

	сш	*"п+1>	•••>	C-n>	с_п+1' •••		(13.14)
такие, что все соответствующие продолжения
	Тп-\+ч = ICp^g\|(^7g=o				(v =	1, 2,...)
являются особыми (т.			е. сохраняют ранг р).
Последовательности (13.14) определяются рекуррент
ными соотношениями
а0ср +	а^р^ +	. . . +	арср_р= 0		(р =	п, п + 1,. ..),
b0cq +	V g+ i +	••■+	fcpCg+p — 0		(g =	— re, — re — 1, ...),
в которых коэффициенты (0 ф) а0, %, . . . , ар (=?= 0)							(соот
ветственно (0 Ф) b0, blt. ..,				bp (Ф 0)) пропорциональны ал

гебраическим дополнениям элементов первой строки (соот ветственно первого столбца) определителяD р; вчастности,

при р = 0 имеем cv = 0 (v =	+ re, ± (re	1),. . .).
Иными словами, следствие	из теоремы	13.2 гаранти

рует в условиях этой теоремы существование и един ственность определяемого формулами (13.10) и (13.12)


бесконечного особого		продолжения Г», матрицы Тп- г.
З а м е ч а н и е 1.		Если	матрица Тп-^			эрмитова
(с-р = ср, р — 0, 1,. .., п — 1),				то	в условиях	теоремы
13.2 можно, очевидно,		считать aj =			bj(j = 0 ,	1, .		р).
Поэтому при р = п,		q — — re из соотношений				(13.9)		и
(13.11) следует,	что с_п = сп;		полагая затем р =				п +	1,
g = — re — 1,	получим с_п_х =			сп+1	и т. д., т. е.		особое

продолжение Тм также будет эрмитовой матрицей.

§ 13] ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ. ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ					121
Ясно, лто аналогичное		утверждение	справедливо для
с и м м е т р и ч е с к о й		(комплексной)	теплицевой		мат
рицы.					Тп-г
З а м е ч а н и е 2. Для вещественной матрицы
продолжение Та,	по теореме 13.2, очевидно,			вещественно;
в частности, из	замечания 1 следует,,		что	вещественная

симметрическая матрица Тп-г определяет в условиях тео ремы 13.2 особое продолжение Та,, являющееся вещест венным и симметрическим.

13.5. Формулы (13.9) и (13.11), установленные в ходе доказательства второй теоремы о продолжении (теоремы 13.2), позволяют получить рекуррентные соотношения для

некоторых миноров порядка р теплицевой

матрицы Тп-Х

ранга р ()>

0). С этой целью рассмотрим у матрицы

со

с-1

й- р+1

с- р

••• й-п+1

С1

С0

■" й-Р+2 с- р+1

с-п+2

ср-1

йр-2

С0

c- i

С-П+р

ЙР

V -i ••• С1

й0

С-П+Р+1

сп-1

сп -2 Сп-р

сп -Р-1

...

С0

ранга

р О

миноры порядка

р вида

йо>

СШ-1

-р+1

. o<S

йО>+1

ЙШ

-Р+2

(— п +

р <

со <; п — р).

Сш+р-1 йш+Р-2 - йо>

(13.15)

Будем считать, что р -< п, ибо при р =

п имеем со = 0,

Д2° -

Dn-i, и дальнейшие рассуждения бессодержатель

ны. Заметим, что всегда

Д(р0) =

Dp^.

Поскольку

ранг

матрицы Тп-.г равен

р,

то

справедливы

формулы

(13.9)

и (13.11),

причем, если

Dp =j= 0, то в

этих

формулах

а0 Ф 0, арф 0;

b0 =f=0,

Ър =j= 0.

Более

того,

как

было

замечено в п. 13.4,

эти

коэффициенты

пропорциональ

ны некоторым

алгебраическим

дополнениям

элементов

122

ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

[ГЛ. Ill

минора Dp, а именно (в принятых только что обозначениях):

ctо		flp	а 0	Др
д(0)	=	(_1)Р+2д(1>	’ (_ ^р+гд^-Ц ~	д(0)	’	(13.16)
Д ^ Г	=	( _ 1)Р +2 д {—1)	'• (_ 1)Р+2д(р1) =	- J W	■	( 1 3 Л 7 )

Из формул (13.16) (равно как и из (13.17)) вытекает соот ношение

		Ар0 Ар_1) =		[ Ар0)]2.				(13.18)
В частности,		условие (.Dp-!	==) Д(р0) =j= 0				влечет	за собой
неравенства		4= о и Ар 1 =j= 0 (см. в этой связи упраж
нение 6 в конце параграфа).
Рассмотрим теперь произвольное целое со (— п +									р ^
^ со ^	п — р —1). Предположив для определенности,								что
со < 0,	выразим (считая		D p_! =j= 0,			а	значит,	ар =j= 0)
последний из		использованных		в	определителе			Д(рш) (см.
(13.15))	столбцов матрицы		Тп-г с помощью формул (13.9)
через р предыдущих столбцов *)					этой		матрицы:
Ор-р —	а0 „	а1 .		“ р-1 „
	— - Ср	— С р-х . . .		- Ср-р+1
	%	%		аР
			(р =		со +	1,	со + 2,..., со + р)

(мы ограничились здесь лишь нужными нам значениями индекса р, дающими в левой части формулы все элементы

последнего столбца определителя ДрШ)). Внеся эти выра жения в Д(“>и применив теорему сложения, получим

Сш	V -1	••	Сш-Р+2	Сы+1
ДрШ) = - А Ссо+1			Сш-р+3	Сш+2	( _ i)m
р
Ссо+р -1	СОН-р-2	" ’	Сш+1	с ш+р

*) Отрицательность индекса со гарантирует здесь наличие в мат рице Тп-1 этих р столбцов. Впрочем, для этого достаточно уже, чтобы

и <С п — Р- Если же со = п — р, то минор

занимает левый

нижний угол матрицы Ур-х' и иаше рассуждение неприменимо.

§ 131 ТЁПЛИЦЁВЫ МАТРИЦЫ. ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ

123

Учитывая соотношения (13.16), получаем рекуррентные формулы

	л(0)						д(-1)
	ДрШ) = ТТп ^рШ+1)			или	д рш) ~ ~гпгг д рш+1)1			(13.19)
	Лр;						Др'
где о	= — 1, —2,..., — п-\- Р- Эти формулы справедливы
и при со = 0, когда первая из них							тривиальна,	а вторая
переходит в (13.18).							то к тем же формулам
Если же (п — р — 1 ;> ) о )> 0,
(13.19)	мы приходим, используя соотношения							(13.11)	и
(11-17).
Итак, установлено:								равен	р
1°.	Если ранг	теплицевой матрицы Тп-х
(О < р < п) и (Др0) = ) Dр_х Ф 0,						то	Д<» =/=0, Др-1) =f= 0		и
	Д‘“,Д «=	Др“+1)Д(р0);			Д(рИ)Д(р0)= ДрШ+1)Др_1)
	(— п + р ^ а ^ п					— р — 1).		(13.20)
По поводу обобщений этого предложения см. упраж
нения 6 и 7 в конце параграфа.
Из	предложения 1° как очевидное следствие находим:
2°.	В условиях предложения 1°						имеем при любом		со
(— п + р < с о < / г — р)
	Г	A^ l	Cii	д<°>-	-	д(0)	л
							Др0) =^= 0 *).	(13.21)
	Д<ш) =	д(0)			L
	L	р _

Это предложение, которое можно было бы назвать леммой о скольжении (отличного от нуля «рангового» ми

нора Др0)), понадобится нам в §§ 14 и 15.

Примеры и упражнения

1. Ранг теплицевой матрицы четвертого порядка

0	0	- 1	0
2	0	0	— 1
0	2	0	0
0	0	2	0

*) Ср. упражнение 9 к § 9.

124	ТЕПЛИЦЕВЫ		МАТРИЦЫ					И	ФОРМЫ					£гл. ш
равен 3.	По теореме 13.2 матрица					Т3 с минором
		0	0 - 1
	£>а = 2 0				0			- 4 + 0
		0	2		0
допускает единственное особое продолжение									Т4. Найдите его.
								0	0	— 1		0		0
								2	0		0	— 1		0
		Ответ. Т\ =						0	2		0	0	- 1
								0	0		2	0		0
							- 4		0		0	2		0
У к а з а н и е .		Воспользоваться формулами									(13.10)		и (13.12).
2. Для эрмитовой теплицевой							матрицы (порядка п =							2)
		Тх		— 2		5 +		4£ II
		Тх	5 — 4t				— 2 I
матрицы			5 — 4t				— 2 I
матрицы		— 2		5 +		4;		-	3i
		— 2		5 +		4;		-	3i
	Т2= 5 — 4i				— 2			5 + 4i
		Зг		5 — 4г				— 2
		- 2	5 +		4i		— 3£			7
		5 — 4г		— 2			5 + 4г			- Зг
		3i	5 — 4г				— 2		5 + 4г
		7		Зг			5 — 4£			- 2
		— 2			5 + 4г			1	СЛ	1	Сл
	% =	5 — 4г				— 2			5 + 4г
	— 4,5 + 1,5 £				5 — 4г					— 2
	— 2	5 +		4г		— 4,5 — 1 ,5г						— i
	сд 1		I t>o				5 + 4i				1	СП	1	сл
	— 4 , 5 + 1 , 5г 5 — 4г							— 2				5 + 41
	г	— 4 ,5 + 1 ,5 1 5 — 4г										— 2

все являются эрмитовыми продолжениями. Кроме того, Ts есть

продолжение матрицы Тг,		а Т3 — продолжение матрицы	Т%. Для
Тх матрица Тч есть	особое	продолжение (проверьте!).
У к а з а н и е .	Вычисление определителя Dx = det fa		проще

всего (в силу эрмитовой и теплицевой структуры матрицы Та) провести по формуле Сильвестра (2.6) — ср. замечание 1 к теоре ме 13.1.

§ 14]

ХАРАКТЕРИСТИКА

125

3. Сколько вещественных особых продолжении четвертого по рядка имеет теплицева матрица

3	О 1	?
Га = 0	3 0	?
1	О 3


Найдите их.		теплицева	матрица		Тп 1	— (комплексная)		симмет
4. Пусть
рическая: с_р — ср (р =			0, 1,. . ., п — 1). Доказать, что в условиях
теоремы 13.1		матрица Гп_1 допускает при Dn_2 =/= 0					не более двух,
а при	Dn_2 = 0 — единственное				симметрическое		особое	продол
жение (ср. с замечанием 3 к теореме 13.1).								(13.3))
У к а з а н и е . Положить				в	(13.2)	(соответственно в
х — у =	£ и пересмотреть для			этого случая соотношения				(13.4),

(13.5) и (13.6).

5. Доказать, что формула (13.18), выведенная выше в предпо ложении { D — ) А») Ф 0, остается в силе и при Д® = 0 (ср.

с указанием к упражнению 8 в § 9).	матрицы ранга р
6. Привести пример, когда у теплицевой	матрицы ранга р
при Д<р°> = 0 один из определителей Д(1^ или	отличен от нуля.

Показать, что для эрмитовой или (комплексной) симметрической матрицы (даже не обязательно теплицевой) это невозможно — ср.

суказанием к упражнению 8 к § 9.

7.Показать, что формулы (13.20), выведенные в предположе

нии Д<м Ф 0, подобно своим аналогам для ганкелевых матриц

(см. формулы (9.7)), обобщаются на случай, когда (Dp l — ) A ^ = 0.

У к а з а н и е . При Д ^ = Др-1' = 0 утверждение тривиально;

если же один из определителей отличен от нуля (см. упражнение 6), то воспользоваться формулами (13.9) и (13.11).

8. В предложении 2°, в частности, утверждается, что из неравенства Ор_1 ф 0 (р — ранг теплицевой матрицы Тп__г ) следуют

неравенства Д ^ О ( - п + р < со < п — р) (для ганкелевых мат - риц аналогичное заключение неверно — ср. упражнение 9 к § 9) •

Показать,	что подобное утверждение не распространяется на
л ю б ы е миноры (порядка р) матрицы Tn__v т. е.		при О р_г ф 0
н е к о т о р ы е	миноры порядка р (в отличие от	с п е ц и а л ь
н ы х миноров	Д<“ >) могут равняться нулю.

§14. (>•, U, ^-характеристика теплицевой матрицы

14.1.Как и в случае ганкелевых матриц, теорию теплицевых матриц мы будем развивать, исходя из их спе цифических целочисленных характеристик, которые в данном случае также несколько усложняются из-за от сутствия (в общем случае) симметрии.


126	ТЕПЛИЦЁВЫ МАТРИЦЫ				И ФОРМЫ	1ГЛ. Ш
Для произвольной теплицевой матрицы Т						порядка
п (]> 0) и	ранга	р (0	р ^ п)		рассмотрим	набор всех
ее последовательных			главных	миноров
(1	— )	D0, Di, ■ . .,		Dr~i, D,............, Dn-x-

Пусть в этом наборе последним (слитая слева направо) отлилным от нуля является минор . D Иными словами,

целочисленная константа г (0 г ^ р) определяется, тол-

но так же как в слулае ганкелевой матрицы (ср. § 10),

соотношениями

	D r-Xф 0,	= 0	(v > г),
из которых второе при г =		п (= р), разумеется, отпадает.
Две другие целолисленные константы k, I введем сле
дующим образом. При г =		р, по определению, к =			I — 0.
Таким образом, в ластности, к =			I =	0 при р =	0, ибо
тогда и г — 0, а также при р — п, когда и г = п.					«усе-
Пусть	теперь 7' < р (0 < р <		п).	Рассмотрим
ненную»	матрицу
	Тг =	II cp-q lip,а=о-

Матрица Тг особенная (Dr = 0), ранг ее равен г (П, - 1 Ф 0). В силу второй теоремы о продолжении единственным об

разом определяются			две б е с к о и е л н ы е		последова
тельности	Сг+1,	сг+2,			(14.1)
			■. •,	С—7*—2, ■• о
задающие	особое	продолжение Т		матрицы	Тг, а также

ее «промежутолные» (конелные) особые продолжения Тг+Ч

(v -	1, 2,.	. .) *).
Параллельно			с (14.1) рассмотрим к о н е л н ы е на
боры	элементов
	Cr+1!	^г+2>	• ■ •>	®п—X»	^ -г-1! С -г-о ,	• • ч С-п+1
						(14.2)
исходной		матрицы		Тп-Х. Каждый из этих двух наборов
непуст, так как г <				п — 1	(ибо г < ; р <	п).

*) Ясно, лто при г = 0 имеем Т = 0.

§ 14J х а р а к т е р и с т и к а 127

Сравнивая наборы (14.2) с последовательностями (14.1),

определим константы к и I соотношениями


c r+i	—	c r+i) •••5			сп-к-1 =		сп-к-1)		сп-к 4=		1 /,< / о\
^ -г- 1 =		г-1»		•••> ^-п+(+1		~	с -п+1+1>		С -п н		С_п+[.
Таким образом,				при г <		р имеем
		0 < f t ,		Z < n — г — 1,					Zc + Z > 0 .		(14.4)
Поясним,		что,	хотя каждое из чисел /с и Z							в отдельности
и при	г < р		может оказаться					равным		нулю, теперь
к + Z)> 0, так как при к =							I =	0	ранг р матрицы Тп_г
совпал бы с г вопреки предположению.											смысл констант
14.2.		Как и для ганкелевых матриц,
к я I лучше всего					усматривается			из схемы

(14.5)

Если элементы сч (v = 0, 1, ..., п — 1) матрицы Т,^, не совпадающие с соответствующими элементами с( матри

цы Т^, назвать «испорченными», то число к указывает, на каком «расстоянии» (в смысле числа диагоналей) от ле вого низшего угла матрицы находится ближайшая к бло ку Тт«испорченная» диагональ. Совершенно аналогично определяются «испорченные» элементы из набора c_v (v = 0, 1,..., п — 1), а константа Zуказывает «расстояние» первой (после блока Г,.) «испорченной» диагонали от пра вого верхнего угла матрицы Тп_г В частности, при к — О (соответственно 1 = 0) левый нижний (соответственно правый верхний) угол матрицы Г„_г не содержит «испор-

128

ТЕПЛИЦЕВЫ

МАТРИЦЫ

И ФОРМЫ

[ГЛ. Ш

ленных» элементов: сг+1 = с'г+1,

..., сп_х =

с^ г (соответст

венно

с,.,.-.! =

c_n+1 =

cln+1).

Если

при

этом

еще и

г = 0, то,

поскольку

этом

случае

= О,

имеем

. . . =

(14.6)

Cq — с'+1 ~ с'±2 =

и при

к — О (I >

1“°

0 .

,0 Ч

к - • С-пА

•

0 .

о4

\^-п*2

0 .

0 />

(14.7)

0 0 . .0

0 0 .. . о \

0 .

0 .. .0

Аналогичная картина получается при г =

I =

0 (к

0).

Упорядоченную тройку (г, Л, Z) определенных выше

констант назовем (г,

/с,

^-характеристикой или просто

характеристикой теплицевой матрицы Гп_х,

а величины

г, k, I — составляющими

(компонентами)

(г,

к, ^-харак

теристики. Из замечания 1 к теореме 13.2 следует, что для

э р м и т о в ы х	и с и м м е т р и ч е с к и х	теплицевых
матриц Тп-г всегда к — I, так что в этом случае можно
говорить об (г,	к, к)-характеристике или,	короче, об
(г, к)-характерйстике.

Отметим еще такой очевидный (см. схему (14.5)) факт. 1°. Еели в (г, k, I)-характеристике матрицы Тп-г составляющая к 0 (соответственно I 0), то при переходе от матрицы Тп-г к любому ее продолжению Тп с deb Тп = 0 *) первая составляющая (компонента) г характеристики не изменится, а вторая к (соответствен

но третья I) увеличится на единицу.

14.3. В заключение настоящего параграфа используем схему (14.5) для доказательства еще одного нужного в дальнейшем предложения:

2°. У матрицы Тп^г (см. схему (14.5)) с (г, к, I)-харак теристикой, в которой г 0, отличен от нуля любой

*)	При det Тп ф 0 характеристика матрицы Тп будет иметь вид
(re + 1,	0, 0) — см. п, 14.1.

§ 14] XАРАКТЕ РИСТИКА 129

минор А(гш) порядка	г вида
	°w	сш-1	••• сш-г+1
А'м) =	сш+1	сш	сш-г+2	)
	Сш+г- 1	сш+г-2	••• Ссо

где целое число щ удовлетворяет неравенствам

	— ra + Z +		r — 1 <		со < п — к — г + 1.			(14.8)
В самом деле, при г =				п утверждение тривиально, ибо
в этом	случае	к =	I = 0,	так		что со = О, аД$.ш) =		—
= Dn-i 4s 0-		Пусть	теперь		г	п.	Условия (14.8)	дают
<о	+ г — 1<^/г		— к,		со	— г +	1 >• — п ф I.

Сопоставив эти неравенства со схемой (14.5), убеждаемся,

что минор Д<ш) «не задевает» отчеркнутых на этой схеме углов, т. е. не содержит «испорченных» элементов матри

цы Тп-Х. Но тогда его можно считать минором матрицы (или, если угодно, полученной из нее «усеченной» матри

цы	Тпф ранга г. Положим теперь р = г и заметим,
что	из (14.8) следует	условие
	— п +	г < со < — г,

при котором применима лемма о скольжении (§ 13, пред ложение 2°). В силу этой леммы А(гш) ф 0.

Примеры и упражнения

1.У тешгицевой матрицы

0	0	3 — 1
0	0	0
0	0	0
5£	0	0
ут	5г	0

в (г, к, ^-характеристике, очевидно, г = 0, так как Д0= Dx —

= D2 = D3 = Д } = 0. Поэтому соответствующая матрица

(см.

и. 14.2) состоит целиком из нулей. Но тогда из вида матрицы Тц следует (см. (14.3) и схему (14.5)), что для нее к = 2, I — 1. Итак, характеристика матрицы Г4выглядит так: (0, 2, 1).

5 И, С, Иохвидов

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2713 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ