Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

8.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2712 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

но

ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

[ГЛ. II

т. е.

|а |> р — 2 min {я, v} = р — 2х,

что противоречит неравенству (12.24). 2) При х = я имеем я <^v, т. е.

	О	> я — V — а = 2 я — р = 2х — р.
Но если	нулей в ряду (12.21) точно 2х, то в ряду (12.22)
остается	точно	р — 2х + 1 чисел, а в сумме (12.23) —

не более р — 2х отличных от нуля слагаемых. Заметим, что равенство 0 = а (= 2х — р) невозможно,

ибо оно означало бы, что в (12.22), содержащем, как вы

яснилось выше, точно	р — 2х-\|-1 чисел, не	осталось ни
одного минора, а это	противоречит условию D p		0.
Итак, сг<^ 0. Тогда	а = — (р — 2х), и,	стало	быть,
в сумме (12.23) отличны от нуля (а именно,		равны (— 1)

каждый) точно р — 2х слагаемых. Это означает (см. (12.23)) строгое чередование знаков внутри каждой из ненулевых групп набора (12.21), так как в этих группах р, — X— 1 = 0.

Случай, когда х = v			(я !> v),			трактуется вполне		ана
логично.
Примеры и упражнения
1.	Рассмотрим ганкелеву форму порядка п = 6:
Н ъ (х,	х) = ^ +	2£0Е3 + 26,6, +			Ц +	2 6 J , + 2\|2?4 + 2g4gB+		%
с матрицей (ср.		пример 3 к § И )
		1	0	0	1	0	0
		0	0	1	0	0	1
		0	1	0	0	1	0
		Н о =	0	0	1	0	0
		1	0	0	1	0	0
		0	0	1	0	0	1
		0	1	0	0	1	1

= 1 , П о = 1, H i = о, Т>2— —	1
Таким образом, г = 3. Для установления	ранга р и минора Л*р1

(см. теорему 12. 1)	воспользуемся	результатом	примера	3 к § 11,
согласно которому	у матрицы Н ъ ранг р равен 4 и			= D3 =
= — 1, так что	По, Du Du D '} =	fl, 1, 0, -	1, - 1 ) .
{D_v	По, Du Du D '} =	fl, 1, 0, -	1, - 1 ) .	(12.25)

§ 12]			ГАНКЕЛЕВЫ ФОРМЫ						Ш
Отсюда	по	правилу (12.20)			*)
		а = sign (1-1) +				sign (—1)(— 1) = 2,
	1					1
т. е. я = — (р + а) = 3, v = - у (р — б) = 1.
2.	Рассмотрим гаикелеву					форму
Здесь	Я 3 (х, *) = 2£0£3 + 2E J, - 2Б\| - 4 £ J , +
Здесь				0		0	0	1
				0		0	0	1
			Яз =	0		0	1	—2
			Яз =	0		1	—2	0
				1	—2		0	3
т. е. D_y =		1, D , = D X: =		D o =		о,	•Оз	= 1.	Таким образом, р =
— п =	4, и	по	правилу	Фробениуса				а =	0 (разность индексов
3 — (— 1) =		4	четная, и,	стало быть,				в сумме (12.23) не остается
отличных от нуля слагаемых). Поэтому я =									v = 2.

Заметим, что ни одно из правил, установленных в § 8, к данному примеру непосредственно не применимо (равны нулю три рядом стоя щих минора Do, D u Do).

3.Найти ранг р и сигнатуру о ганкелевой формы

# ,(*, * )= 2g® — 2Е ^ + 12^ + 24 ^ 3 + 4

106J, -

10gog3 -

58Ыз ~ 3£1.

Ответ,

р =

3, ст =

— 1.

4. Доказать, что теорема 12.2 сохраняет

силу и при Dp_x =

если верхнюю оценку 2к заменить в ней на 2х +

Оценка 2л в теореме 12.2

(при D р_х + 0)

является точной.

Это видно уже из простого примера:

Но (г, х) = 2£0£2 + ^ , Но =

0 1 0

Здесь р = 3; D_x — 1, Do = D\ =■ 0,Do =

— 1. По с

(или теореме 8.3) о =

i , так что п = 2, к =

V =

1. П

му 2к — 2>

а набор D_v D0, Di, Do содержит точно два нуля,

т. е.

оценка точна.

6. Придумать пример, подтверждающий,

что

при D

х =

оценка 2х + 1 (см. упражнение 4) является точной.

7. Показать, что теорема 11.8 для вещественных ганкелевых

матриц

допускает

следующее

к)

уточнение:

помимо

параметров

2), г О 0, к >

0 (п > г +

можно заранее задаться сигнату-

Поскольку D

х — Da =

правила § 8 здесь неприменимы.

112

ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

Гл. II

п—1

рой а формы Н п^1 (х, х) — 2 si+iZfijс матрицей IIn_v выбрав в ка-

i, i—о

честве с любое целое число в отрезке [ —г, г] одинаковой четности с г -j- к. При этом в случае четного к — 2т неособенную матрицу Нг_г порядка г в п. 1) теоремы 11.8 нужно сразу выбрать так, чтобы

соответствующая ганкелева форма НТ_г (г, х) имела сигнатуру а.

При нечетном		к =	2т — 1	сигнатуру			формы	Нг_г (х , х) следует
брать	равной	сг — 1	(либо	ст +	1),	а в	п. 5)	теоремы 11.8 взять
s2(n-jn)	s2 (n-m) (соответственно				S2(n-m) <-' s2(n-m))•
У к а з а н и е .			Воспользоваться предложениями 3° и 4°.
8.	Если	в (г, ^-характеристике гапкелевой формы
				п— 1
			*) =		2	sM	i
				г,J=0

ранга р число г < р, то замена переменных

~ ®»0’ Ф= ^i> •••>V i = ^r-lj

' Чг == %п-р |-г> Лг+ 1 = ^n-p-t-r+1 ’ •••1 'Пр—1 ~ ^ п -й

'Пр ■ %г > 'Лр+Х = ^г+1> ■ ■ • >Ч п - 1 — ^ п -р + г -1

приводит форму Я п-1 (х, х) к виду

71—1

Я п_ э > , х) = Ап_ 1 { у , у ) = 2 V W

1,1=0

Доказать, что теперь в наборе последовательных главных ми норов полученной формы минор порядка р, т. е.

d e t I K ; Hi,7io

совпадает с й н , т. е. с минором, о котором идет речь в правиле Фробениуса (теорема 12.1, см. также лемму 11.1) [4] *).

9.Убедиться, что ганкелева форма

Я5(*,* )= б * + б* + б! + 2 £о£з + у , + Мв + s2i4 + Ш -

*) Этот результат используется в [4] на стр. 310 при доказа тельстве правила Фробениуса для сведения случая г < р к разоб ранному ранее более простому случаю г = р. Однако при этом упу щен из виду тот факт, что новая форма Ап_^ (у, у) уже це является,

вообще говоря, гапкелевой (см. упражнение 9), т. о. к ней неприме нимы выводы, сделанные ранее для ганкелевых форм с г = р (ср. с подстрочным примечанием на стр. 107).

§ 12] ГАНКЕЛЕВЫ ФОРМЫ 113

при замене переменных, предложенной в упражнении 8, переходит в форму А ь (у, у), уже не являющуюся ганкелевой.

Ук а з а н и е . Воспользоваться данными примера 1.

10.Бесконечная последовательность вещественных чисел

s0, sr sv . . .

принадлежит,	по определению, классу	если при достаточно
больших т О	N ) все гапкслевы формы

т—1

Нт^ (х , х) = 2

i,/=0

имеют в каноническом представлении точно х положительных квад ратов.

Если гаыкелева форма

п—1

Яп-1 (*. *) = 2 *i+№ i, J=0

ранга р имеет я положительных квадратов, то для того чтобы ко нечный набор

so> Sl> • ■ •> S1n-%

ее коэффициентов допускал продолжение до бесконечной последо

вательности		{sfc}£L0 класса	необходимо и достаточно,		чтобы
Д р_1=/= 0. Если это условие выполнено, то при р <				п. упомянутое
продолжение определяется единственным образом,				а при	р =	п
существует бесконечное множество таких продолжений.					теоре
У к а з а н и е . Воспользоваться в «необходимой»				части
мами	11.4 и	6.1, а в «достаточной» — теоремами		11.5, 6.2,		9.2
и 9.1	*).

*) Литературные указания см. ниже в § 16, замечание к уп ражнению 8.

Г Л А В А III

ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

§ 13. Теплицевы матрицы. Особые продолжения

13.1.	Теплицевой матрицей порядка		п (= 1, 2, . . .)
называется	матрица вида
	Тл—1	Ц П -1	(13.1)
	Тл—1	Нр. 4=01	(13.1)

где ср (р = 0, + 1>- . •) + (re — 1)) — произвольные ком плексные числа. Более подробно:

сС-П+2 С-п+1

С!	С0	С-71+3	С-П+2
сп-2	сп-з	С0	С—1
Сп-1	С«-2	«1	С0

Как видно из структуры матрицы Гп_1} в отличие от ганкелевых матриц, она не является, вообще говоря, сим метрической *). Однако при выполнении условия с_р = = ср (р — 0, 1, . .., п — 1) теплицева матрица Тп-Хбудет эрмитовойи в этом случае она порождает эрмитову теплицеву форму

П—1

X)— 2

Р. 9 = 0

Изучению таких форм посвящен ниже § 16. А пока зай мемся изучением теплицевых матриц в общем случае (без предположения об эрмитовости).

13.2.Как и для ганкелевых матриц, здесь будет раз

вит уже известный читателю м е т о д п р о д о л ж е н и й .

*) Здесь равны между собой все элементы, стоящие на каждой диагонали, параллельной главной, включая и ее самое (ср. с п. 9.1).

§ 13]	ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ. ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ			Ц 5
Продолжением теплицевой		матрицы	Тп называется
всякая теплицева матрица
	^n-1+v = II cp-q lip,<7=^0	(v =	2

у которой верхний левый угол («блок») совпадает с исход,

ной матрицей Тп-Х=		\| cp_q \|^=0.
Особым продолжением называется такое продолжение
матрицы	и ранг которого совпадает с рангом матрицы
Тп~х. Мы будем рассматривать и			бесконечные продолже
ния	= I ср_д \|\|^?=0	конечных	матриц Тп	в том

числе и особые бесконечные продолжения (когда таковые

существуют), понимая	в	этом случае ранг бесконечной
матрицы в том же смысле,		что и в § 9.
Как и в § 9, займемся прежде всего продолжениями
матрицы Тп-Х «на один шаг»,			т. е. матрицами
со ®-1		-	с-п+1 И-П
С1	со		С-п+2 С-п+1

СП-1 Сп- 2

сп | сп-1

со	с-1
- С1	С0

Как видим, всякое такое продолжение определяется па рой чисел (с„, c_J. Напомним, что и для гаикелевой мат рицы аналогичное продолжение требовало задания двух чисел, но расположены эти числа в продолженной мат рице были совсем по-другому — заполняли ее нижний правый угол (см. п. 9.2). Это обстоятельство, а также от сутствие в общем случае у теплицевой матрицы симметрии относительно главной диагонали несколько усложняют доказательства теорем о продолжении теплицевых мат риц, которые по формулировкам и общим схемам рассуж дений вполне аналогичны теоремам 9.1 и 9.2.

13.3 Снова введем в рассмотрение последовательные главные миноры матрицы Тп-Х:

Dk = det I cp_7g i5=0		(k = 0, 1,.	. ., n — 1),	= 1.
Т е о р е м а	13.1	( п е р в а я	т е о р е м а	о п р о
д о л ж е н и и ) .	Если матрица Тп-Х неособенная

(Dn-Xф 0), то у нее имеется бесконечное множество осо бых продолжений Тп порядка п + 1.

116

ТЕШШЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

[ГЛ. III

Д о к а з а т е л ь с т в о . Отыскание особого продол жения Тп матрицы Тп^1 сводится к решению уравнения

со	с-1
С1	со
Ф п (я, у ) = ) СП-2	•
Ф п (я, у ) = ) СП-2	1
	СО оЙ
сп-1	Сп-2
X	сп—1

•• с-п+2		°-п+1	У
•••	п+з	с-п+2	с-п + 1
..	CQ	С-1	= 0. (13.2)
*..	сх	С-1	С-2
*..	сх	С0	С-1
• ■ С2		С1	со

Применяя к определителю Dn (х, у) тождество Сильвестра

вформе (2.6), имеем

(я, У) -^п-2 —

	С1	С0	■■■ С-п+2		с - 1	...	с_п+1	у
-- п 2	.................................				С 0	■■■	C-n+2	c-n+l	(13.3)
-- п 2	сп- 1	сп-2	"•	С0	...................				(13.3)
	сп- 1	сп-2	"•	С0	...................
	I	с , ^	...	Сх	СП-2		С0	С- 1
					СП-2		С0	С- 1

Обозначим

III

С1	С0	.. •	с-п + 2	с-1	••' с-п+1	У
			»	со	••• с-п+2	С-п+1
Сп - 1	Сп- 2	‘ •	»	ь (у ) =
Сп - 1	Сп- 2	‘ •	С0
X	сп- 1	■■•	С1	сп-2	’ • С0	°-1
						1 (13-4)

Ясно, что при Dn- 2 Ф 0 обе функции а (х) и Ъ(у) линей ны (с коэффициентом Лп_2 при х ж у соответственно), а при Dn-2 = 0 они не зависят от а: и у, т. е. равны пос тоянным а (0) (=f= 0) и Ъ(0) (ф 0) соответственно (напом ним, что 2?п_х 0). Поэтому при Дп_2 Ф 0 уравнение (13.2), принимающее теперь в силу (13.3) и (13.4) вид

а (х) Ъ(у) - D U = 0,

(13.5)

имеет бесконечное множество решений {х, у}. Если же

Dn-2 =	0, то уравнение	(13.2) становится	линейным:
( _	1)»+*б (0) х + ( -	1)"+2 а (0) у + Dn (0,	0)= 0.
			(13.6)

§ 13] ТВПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ. ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ

117

А так как а (0) Ф 0 и Ъ(0) =j= 0, то это уравнение снова имеет бесконечное множество решений {х, у}.

Таким образом доказано, что и при Dn-2 ф 0 и в слу чае £)„_2 = 0 матрица Тп-г имеет бесконечное множество особых продолжений Тп.

З а м е ч а н и е 1. Если тпеплицева матрица Тп-\ э р м и т о в а , то в условиях теоремы 13.1 и среди осо бых продолжений Тп существует бесконечное множество эрмитовых продолжений.

В самом деле, в этом случае все миноры!)0, D1,. . ., Dn-i

вещественны.

Положив

в (13.3) х — £, у =

%, получим

вместо (13.3)

соотношение

С1

со

•" С-п+2

С2

С1

' "

п+з

D n (£, £) D n - 2 — D n - l —

••• С0

Сп- 1

сп - 2

V -1

•.. Cl

При Dn-а Ф 0 уравнение

Dn (£, £) =

принимает

поэ

тому вид

|Wn-2 ~

*0 I2 =

D U ,

(13-7)

где z0 = — а (0) (см.

(13.4)).

Далее, из формул (13.4) видно, что в рассматриваемом

случае Ъ(£) =

а ( Q и,

в частности,

( _

1)«+2 ъ (0) =

( - 1)"+2 а~(0) = а.

Поэтому при

Dn-2 =

уравнение Dn (£,,

С) =

равно

сильное в этом случае (13.6), переходит в

а£ +

г =

(г =

г =

Dn (0,

0)),

(13.8)

причем а =(= 0. Поскольку уравнения (13.7)

и (13.8)

за

дают в комплексной

^-плоскости

окружность

радиуса

|Dn.-jDn.-2 I и прямую

линию соответственно,

наше ут

верждение доказано.

В частном случае,

когда матрица

З а м е ч а н и е

Tn-i в е щ е с т в е н н а ,

в условиях теоремы

13.1

она

имеет бесконечное множество в е щ е с т в е н н ы х

осо

бых,продолжений.

118	ТЕШИЩЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ	[ГЛ. III
	Это видно из соотношений (13.4) — (13.6), в которых
все коэффициенты теперь вещественны.			и
	З а м е ч а н и е 3. Если Тп-г— в е щ е с т в е н н а
э р м и т о в а (с и м м е т р и ч е с к а я ) матрица,			то

с сохранением этих свойств ее особое продолжение Тп в условиях теоремы 13.1 также можно построить, но не более чем двумя различными способами при Dn-2 =j= О

иединственным способом при Dn-2 = 0.

Всамом деле, уравнение (13.7) теперь принимает вид

(У5п_2			zo)2 = 7)n-i			(zo	=	-^п-2 4= 0)'
откуда	£ =		( ±	I £ „ -il +		zo)-
В случае же D„_2 = 0					нужно решить уравнение (13.8),
имеющее теперь вид
		2а£ +		у =	0	(а = а =j= 0),
откуда	£ = — у/(2а).					матрица		Тп^ особенная, спра
13.4.	В	случае, когда
ведлива			13.2	( в т о р а я			т е о р е м а		о п р о
Т е о р е м а
д о л ж е н и и ) .			Пусть Гп_г — особенная теплицева мат
рица и ранг		ее р (<^ п).			Если главный минор Dp-хф О ,
то существует единственная пара чисел сп, с_п,									определя
ющая особое продолжение Тп матрицы								Г,,.-!-
Д о к а з а т е л ь с т в о .						При р =		0 утверждение те
оремы тривиально:				сп =	с_п = 0.		Поэтому пусть р )> 0.
Поскольку всякие р + 1 столбцов							матрицы Тп_х линейно
зависимы, то,		в частности, для первых р + 1							столбцов

найдется ненулевая система постоянных aQ, аг, . . ., ар

такая,	что
	®1®р—1 + - •• + &рСр-р — о
	(р =	0, 1,	. . ., п -		1).	(13.9)
При этом, если ограничиться		здесь	значениями р = 0,
1,..., р,	то заметим, что числа а0, %,			..., ар	пропорцио
нальны	алгебраическим дополнениям			элементов		первой
(а также последней) строки определителя Dp (ср.						упраж
нение 6 к § 9). Отсюда следует,		во-первых, что а0 =^=0и
арф 0	(поскольку Dp-X=f= 0),	а во-вторых,			что отноше

ния aja0 (v = 1, 2,..., р) определяются однозначно эле

§ 13]	ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ. ОСОБЫЕ ПРОДОЛЖЕНИЯ	119
ментами минора D p, т. е. числами с„ (v = 0, + 1, +		2,...
+	р).

Если Тп — искомое особое продолжение матрицы Тп^, т. е. сохраняет ранг р, то формулы (13.9) должны оста

ваться в силе и при р =	?г, т. е. элемент
Сп = ------Т“ Сп- 1	-----— сп -2 —	~ сп-р	(1 3 Д 0 )
“о	“о	а0

определяется единственным образом.

Совершенно аналогичные соображения применимы к строкам матрицы Тп-г и искомой матрицы Тп, в силу чего

b 0c q + frlcg+l + • • • + bpCq+p = 0
(q = 0, — 1,. . ., — 71+ 1),	(13.11)

причем коэффициенты b0, blt . . Ър пропорциональны до полнениям элементов первого (а также последнего) столб ца определителя Dp, так что снова Ьй Ф 0, Ь9 Ф 0, а элемент с_п искомой матрицы Тп определяется един ственным образом:

С-п —	Т~ С-71+1	~Т~ С-п+2	Г- С-п+р- _ (13 .1 2)
	и0	и0	и0

Теперь остается лишь проверить, что числа сп и с_п, найденные по формулам (13.10) и (13.12), дают особое продолжение Тп. Но ранг прямоугольной матрицы

со	с-1	■••	C~n+1
С1	С0	■•• с-п+2
с п - 1 СП - 2			(13 .1 3)
с п - 1 СП - 2		*..	С0
° п	сп- 1	■■.	Cj

равен р, ибо из (13.9) и (13.10) следует, что последняя строка этой матрицы выражается линейно через р преды дущих строк (принадлежащих матрице Тп^), а все строки матрицы Гп-! — через первые р ее независимых строк.

Итак, ранг матрицы Т равен р, так что и все столбцы этой матрицы выражаются линейно (поскольку Dp Ф 0) через первые р ее столбцов. Присоединив к Т еще один

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2712 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ