книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

100

ГАНКЕЛЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

[ГЛ. II

переход от Яд_х (х, х) к В д+р_! (х, х),

ибо последний шаг—

от H h+P-х (х, х) к Яд+Р (х, х),

как и выше, сопровождает­

ся скачком ранга на две единицы. Учитывая, что (г,

/^-ха­

рактеристика матрицы Нь+р-!

имеет вид (h, р — 1 ), где

р — 1 = 2 <7 — 1^> 0, снова

применяем теорему

11.7,

в силу которой на переходе Яд+д_1

Яд+ q ранг (впер­

«новых»

<7 квадратов одного знака и q +

1 квадратов про­

тивоположного знака.

Ясно (см. (4.3)

и предложение 2°

из § 5), что при sign D д_2

=

sign D h+p и четном q появятся

<7 отрицательных и

q +

1

положительных квадратов,

а

при нечетном q, наоборот, q

положительных

и q +

1

отрицательных квадратов. Очевидно также, что

при

signЯд_1 =

— sign Яд+р картина прямо противоположная.

12.3.

Теперь остается совсем немного,

чтобы устано­

вить

следующее правило.

Л е м м а

12.1. Пусть у вещественной ганкелевой фор­

мы Нп_! (х, х) порядка п ряд последовательных главных

миноров

содержит

изолированную

группу

из

р О

1 )

нулей:

(Dh-гФ 0), D д = D ft+1 =

. . . = Яд+р_! = 0 (Я,1+р ф 0).

(12.7)

Припишем каждому из этих нулей знак плюс или минус

по правилу

signЯд-j+v =

(— l ) ^ 4 "

1)/izsignD д_!(v =

1, 2, ...,p).

(12.8)

Тогда

число знакопостоянств

H (Dk-i, D h, ..., D h+p)

и

число

знакоперемеп

W

( й д - j ,

Я д ,

. . . , Я h+p)

в наборе

Яд_!, Яд, ..., Яд+р

будут

соответственно

равны

коли­

чествам

положительных

и отрицательных

квадратов,

§ 12]

ГАНКЕЛЕВЫ ФОРМЫ

101

I . р

=

2q — 1,

q >

0

I. a) q = 2s,

s >

0

(р =

4s — 1)

V = 1

2

3 4 5) . . . 4s — 2 4s - lj

v(v-l)

1

—1

—1 1

1

—1

—1

(•Dft-iU- 1) a

=

I. 6) q — 2s — 1, SVО

(P = 4s — 3)

V =s 1

2

3

4

5

4s — 4 4s — 3

v(v-l)

1 - 1 —1 i

1

1

1

( D ^ i ) ( - 1 )

=

H W -

Из таблиц

1а) и

16),

если учесть соотношения (12.5)

левым определителям D h, D h+1, ..., D ^ p ^

знаки по пра­

вилу (12.8), получим

SP (D д_1} D д, ..., D д+р) = Q,

(D /[_!, D д,

..., Dh+p) —?•

И . p = 2q, q >

0

II

a) q =

2s, s >

0

(р = 4s)

v =

1

1

2

3

4

5

4s — 1

4s

v(v-l)

1

- 1

1 1

—1

Ф л - х Н - 1)

2 =

- 1

i

II

6) q =

2s — L,

s > 0

(p = 4 ' ---

2)

v =

1

2

3

4 | 4

4s — 3 4s — 2

v(v-l)

1

—1

1

1

1

—1

( A l - l H - l ) 2 =

—l

( * W

102

ГАНКЕЛЕВЫ

МАТРИЦЫ

И ФОРМЫ

[ГЛ. IX

Из таблиц На) и Нб) видно, что правило (12.8) приво­

дит к следующим результатам:

то

если sign D /l+p = sign D h- x

‘

&

/г-i? Dh,

Dh+p) — q+

1, ]

при четном q (=

2s)

’V

( P л- d D

hi •••) D h+p) =

q

J

SP>(D h-n D h, ..., D h+P) =

q,

при нечетном

WiDh-x,

D h, ... ,D h+p)

= g

+ i j g ( = 2 s - i ) ;

если же

signZ>A+p =

— s ig n Z )^ ,

to

SP (Dh-ii Dhi •••, Dh+p) —

(?)

1

при

четном q (— 2s),

{Dh-n Dhi •••) Dh+p) =

q +

1 j

35 (D h-n D hi---i D h+p) =

q -\-li

)

нечетном q (= 2s— 1).

W (Dh^ D h,...,D h+p) =

q

Г РИ

к выводу, что и в случае

четного р (=

2q) утверждение

леммы

12.1 доказано.

Гаитмахеру [4],

ре­

З а м е ч а н и е .

Следуя Ф. Р.

зультат леммы 12.1 можно кратко

выразить в виде

сле­

дующей

таблицы:

Р нечетно

р четно

P + 1

P + 1 + e

h ,p ~ & > (D h -v D h'

■■’ D h+p)

2

2

^ h , v = ^ { D h_ v D h ,

Dh+p)

P + 1 P + 1 — e

2

2

^ , Р - П , Р

0

e

6 =

(— l)p/2 sign

.

Нр_х = 0, т.

е.

когда

в (г, /(^-характеристике

матрицы

Нп-г имеем

к^> 0, р =

г + /с )> г.

матрицы

Нп^

3°. Пусть в

(г, к)-характеристике

(см. (12.2)) формы (12.1)

имеем к^>0, ?п.

е. р = г

к

г.

Тогда при четном к =

2т формы Н

(х , х) и Нп-х (х , х)

имеют одинаковые сигнатуры. Точнее:

форма Нп-1 (х, х)

в каноническом

представлении содержит на т

положи­

(12.1)

т новых положительных и т новых отрицательных

квадратов.

4°.

Пусть при выполнении всех прочих условий предло­

жения

3° число к нечетно:

к — 2т — 1.

Через

4r+2i ••

обозначим (см.

(10.3))

элементы особых

продолжений Нг+ъ Я,-+2,. . . матрицы Нг.

Тогда

при

Szn-i-k

szn-i-k

форма Нп-г (х, х)

6ijdem

иметь

на

т положительных квадратов

и на т — 1 отрицатель­

ных квадратов

больше,

нежели форма Я г_х (х, х); в слу­

чае же, когда

<

s^n-i-k, имеем т — 1 новых по­

к = 2т — 1.

Из нее видно, что форма Я п_га (ж, ж)

ранга

г -f- 1 может

быть представлена в виде суммы

Н -п—т ( х , X)

(.X', ж) -{- ($2п-1—к

^27l_l-/i)

77!,

(12.10)

где Я,г-тп (х,

ж) — форма ранга г с

матрицей

я П—771-1

s n —m

п - т —

Sz n ~ 2- k

s n - m ■■■ S2 n - 2 - k

s 2 n - l - k

106

ГАНКЕЛЕВЫ

МАТРИЦЫ

И

ФОРМЫ

[ГЛ. II

I I . к = 2т — 1, т )> О

] 1а) т =

21,

1 >

0

(к = 41 — 1)

V = 1

2

3 4

5 1

41 — 3 41 —2

v(v-l)

" '

O W ( - 1)

2

=

1

- 1

- 1

1 1

... 1

— 1

ffip-i)

116) m = 2t — 1,

0

>0 (к = 4 t--3 )

v = | 1

2

3 4 5

41 — 5 41 — 4

v(v-l)

Фг_х) ( - 1) 2 =

1 — 1 - 1

1 1

— 1

1

( V i )

,—............

~~

но в

—

1, т. е. при т =

к = 1,

теряет смысл,

этом случае она и не нужна,

ибо ут­

Снова сопоставив II а) с

(12.15) и (12.17),

а II б)

—

с (12.16) и (12.18),

убедимся,

что при s2n^Sk >

s ^ -k

(Dr-1, Dr,

Dp_2» £)p-i) — m.

W {Dr-v

Dr, ..., Dp-2) Dp-x) = Tib

1?

а при s2n-x~k < s2n-i-k

9ъ (DT.i,

D r, ...;, Dp-2j Dp-j) — ль

1,

Г (Dr_lt

Dr, ....i Dp-2i Dp—i) == 171)

т. е. (см. 4°) справедливо утверждение леммы 12.2.

ис­

З а м е ч а н и е

1. При сравнении рассуждений,

пользованных в доказательствах лемм 12.1

и 12.2 (соот­

играет не к,

а к — 1: именно

столько

нулей

в наборе

(0 =h ) Dr-i,

D r =

Dr+1 = ... =

Dr+k- 2 =

0,

(^= 0).

В частности,

как

мы видели выше, возможен и случай

к = 1,

когда

упомянутый набор сводится к

паре Ъг-ъ

B r (=

jBr+k-i)> т- е-

вообще не содержит нулей.

обозначив

З а м е ч а н и е

2. С учетом замечания 1,

§ 12]

ГАНКЕЛЕВЫ ФОРМЫ

107

дыдущих пунктах) в набореD -x(=

1),D 0, П15 ...,

Драпри

движении слева

направо

впервые встречается

группа

нулей

(D h-l Ф 0)i Dh =

Пд+i =

. . . =

D h+p-l = 0 (D h+p Ф 0).

(12.19)

Это означает,

что

D -XD 0 ... D

Ф 0, и поэтому к форме

(х, х) применимо правило Якоби (теорема 8.1), в

силу которого

количества положительных и отрицатель­

ных квадратов

этой формы равны 3й{Б-г, D 0, . . ., Dh-i)

это правило

сохраняет силу и

для формы H h+P (х, х),

если только

нулевым определителям из набора (12.19)

приписать знаки по правилу (12.8).

Продвигаясь далее, т. е.

переходя к минорам D h+p+i,

D д+р+2,*•* (соответственно

к

формам Hh+P+1 (х, х),

Hh+P+2 (ж, х),.

. .), мы снова можем пользоваться правилом

Продолжая это

рассуждение, мы либо дойдем до мино­

ра D р_! Ф 0 и вычислим с помощью нашего обобщенного

правила

Якоби сигнатуру ст = хс — v формы Нп-г (х, х)

(равную

в силу предложения 1° из § 6 сигнатуре формы

Нр-г (х,

х), так как у этих форм один и тот же

ранг р),

либо обнаружим последнюю группу

нулей:

(Dr-г Ф 0),

D r = D r+1 = . . .

= Др-i =

0.

108

ГАНКЕЛЕВЫ

МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

[ГЛ. II

Т е о р е м а 12.1

( с и г н а т у р н о е

п р а в и л о

(1 =

) D-1,

D0, Dlt •••, Dp-2i Dp-i,

в

котором при

к = 0

(г = р) положено

D*p-X=

Dp-X,

а

в противном

случае

Dp-X— Dp-X (см.

лемму

11.1).

а — (— 1 ) ,

р — а ,

у — Р,

£ — Л> (р — 1 ) — £

и сохраним из них только нечетные;

тогда **)

0 =

S

( - 1 ) ^ ( №

Ч

и (а д , ) . (12.20)

K(1J— X) нечетные

жется ни одного слагаемого, то а =

0.

*) Именно в таком виде оно приводится в оригинальном мемуа-

ре Фробениуса [44].

следует заменить D p_l

**) В формуле (12.20) при р. = р — 1

§ 12]

ГАНКЕЛЕВЫ ФОРМЫ

109

Д о к а з а т е л ь с т в о без большого труда получает­

ся с помощью лемм 12.1 и 12.2.

Фробениуса позво­

12.7.

Приведенное выше правило

(1 =

)D -1,D 0,D 1, ... ,D P. 1

(12.21)

формы Нп-г {х, х)

при Dp-X=j= 0 содержится

не более

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Если бы нулей в (12.21)

было не менее чем 2ч +

1, то после их вычеркивания по­

лучился бы набор

D-i, Dai D$, Dy, . . . , D^, DfyDp-i,

(12.22)

содержащий

не более

р +

1 — (2ч +

1) =

р — 2и чи­

сел, и поэтому в сумме

в=>

S

( - l ^ ^ s i g

n ^

) (12.23)

X) нечетные

|я — v

|= |и |^ р — 2ч — 1.

(12.24)

С другой стороны,

- Г cr = р — 2v = 2я — р, .

[ — а =

р — 2я,

откуда