книги из ГПНТБ / Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория

§ И] ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ 91

В свете теоремы 11.1 можно теперь по-иному взгля­ нуть и на теорему 10.1. Для удобства дальнейших ссылок переформулируем ее в виде отдельной теоремы.

Т е о р е м а 11.7 (о с к а ч к а х р а н г а п р и п р о д о л ж е н и и ) . Если в (г, к)-характеристике мат­

полного восстановления матрицы ~Hn-i) ринг повышается на две единицы.

11.4.С теоремой 11.7 (или теоремой 10.1) тесно свя­

Зададимся произвольной неособенной ганкелевой матри­ цей НТ-Х порядка г (при г — 0 этот шаг опускается). Да­ лее, в соответствии с теоремой 9.1, построим произвольное особое продолжение Нг матрицы Нг_а (все такие продол­ жения Я г описываются уравнением (9.1) при п = г). При г = 0 полагаем Я 0 = (0).

А: -}- 1 1

дует, что п г -)- к -)- 1, а потому[—~ — .Из (11.3) сле­

п — m — 1 > г -Д /с — m = г + к — [ ~ у ~ ] > г-

Построим ганкелеву матрицу Hn- m-i- Если п — m — 1 =

..., Hn- m-i определим как особые продолжения матрицы Нг. В качестве таковых они определяются единственным образом в силу теоремы 9.2, условиям которой удовлет­ воряет матрица НТ. Эта же теорема 9.2 гарантирует су­

И п р о и з в о л ь н о е S2(n- m), получим матрицу Нп-т ранга г + 2. В самом деле, если Dn- m =f= О, то ранг мат­ рицы Нп-т равен ее порядку п — т -[■ 1, и наше утвер­ ждение вытекает из следствия леммы 6.1 (поскольку -Dn-m-x = 0 и, стало быть, ранг матрицы Hn-m-x по­ рядка п — т, равный, по построению, г, удовлетворяет неравенству г ^ п — т — 1). Если же и Dn_m = 0, то утверждение прямо следует из теоремы 10.1 (или теоремы 11.7), примененной к матрице Нп_т (вместо Нп-{).

Точно такое же рассуждение показывает, что при

отличное от s2(n-m)- Тогда ранг матрицы Н п_т равен г -{- 1 («испорчена» лишь последняя диагональ, состоящая из

(= г -f- к) соответственно. Это получается снова из теоре­ мы 11.7 и следствия из леммы 6.1.

Поскольку для любой ганкелевой матрицы Н п- Х по­

деть, всегда выполнены, проведенное в данном пункте построение дает полное описание (общий вид) всех ганкелевых матриц, у которых в (г, /^-характеристике число

*) Мы допускаем здесь вольность речи, но читатель, очевидно, поймет, что речь идет о построении продолжений # n_m+1, ...,

Hn-t матрицы Нп_т.

1)при г ^ 1 задается произвольная неособенная ганкелева матрица Нг-г порядка г (при г = О этот шаг опус­ кается);

2)в качестве НГ берется произвольное особое продол­

ределяются единственным образом, как особые продолже­ ния матрицы НТ (при п — m — 1 = г матрица Нп-т-± уже определена);

извольным числом в2(п-т); в обоих случаях получается новая

с {г, ^-характеристикой (2, 2) миноры Б Т_г и Ь г+к_г равны соот­ ветственно

2.Для матрицы (ср. упражнение 3 к § 10)

с (г, ^-характеристикой (2, 1) находим

(лемма 11.1).

При этом р = г + к = 3.

3.Рассмотрим гаикелеву матрицу шестого порядка

Константу к (а с ней ранг р = г -)- к) и минор Dr+i[_х (Ф 0) найдем

одновременно, пользуясь правилом теоремы 11.3. Сперва окаймим минор

1 0 0

Di = 0 0 1 0 1 0

последней строкой и последним столбцом матрицы Пъ'.

5.| Доказать предложение (см. [28], теорема 4):

Если, у ганкелевой матрицы Нп_г ранга р е (г, 7с)-характеристике

получим (впервые) неособенную матрицу Я „_1+(1.

У к а з а н и е . Воспользоваться теоремами 11.4 и 10.1.

*) Здесь снова допускается вольность речи, уже оговорен­ ная выше.

У к а з а н и е . Использовать теорему 11.6, а также теорему 9.2 (формулу (9.4)) н ее следствие.

9.Показать, что и обратно, теорема 11.6 Кропекера получается как следствие результата упражнения 8 (именно так она выводится

в[4], где результат упражнения 8 устанавливается независимо от теоремы Кронекера).

10.Вывести теорему Кропекера 11.6 из его же теорем, приве­ денных в упражнении 11 к § 10 и в упражнении 4 к § 2 [44].

У к а з а н и е . Воспользоваться тем. что если р О 0) — конеч­ ный ранг матрицы

tf~ = liW iD =o’

то не все ее элементы равны нулю, а потому (в силу ганкелевой структуры) не все Д V-1 (v = 1, 2, ...) равны нулю; рассмотреть

наибольшее v « [ р), прикотором D v_x Ф 0, и, применив упомянутые

Разложим R (z) в ряд по отрицательным степеням z:

определенная рядом (11.5), рацнональна и число р совпадает с чис­ лом полюсов R (z), считая каждый из них столько раз, каков его порядок (по поводу этого понятия см., например, [9]).

вытекающие из (11.5), и заметить, что они порождают соотноше­ ния вида (11.4) при р = т (более подробно см. [4], гл. XVI, § 10, теорема 8).

4 И. С. Иохвидов

Вскрытые в §§ 9— 11 закономерности структуры ганкелевых матриц позволяют довольно быстро установить пра­ вило Фробениуса для отыскания сигнатуры формы (12.1), являющееся (для этого специального класса форм) обобщением правила Якоби. Обобщение это в известном смысле полное, так как распространяется на любые фор­

встречаются группы, содержащие более двух идущих под­ ряд нулей, а также в сл уч ае /)^ = 0. Покажем, как прео­ долеваются эти трудности для ганкелевых форм (12.1). Для облегчения исследования разобьем его на несколько шагов.

12.2. Как обычно, наряду с формой (12.1) мы будем рас­ сматривать усеченные квадратичные формы

i,;'=o

*) Вместо квадратичной формы (12.1) можно рассматривать

71— 1

эрмитову форму ^ (ее также называют ганкелевой формой г, 3=0

стой же матрицей (12.2), ср. ниже § 19). Легко проследить, что вся теория, развиваемая в § 12 для квадратичных форм (12.1), остается в силе и для эрмитовых ганкелевых форм,

**) р — ранг матрицы Hn_v

рицательных квадратов больше, нежели форма Нь-у (х, х).

В самом деле, при q = 1 (р = 1) предложение 1° было установлено (причем не только для ганкелевых, а для л ю б ы х квадратичных и эрмитовых форм) еще в § 8 (теорема 8.2).“Поэтому пусть q )> 1. Так как ранг мат­ рицы Н hyp с определителем D hyP ф 0 равен ее порядку

что р = А + р — 1 и (г, /^-характеристика матрицы Hhyp-y имеет вид (А, р — 1) (теорема 11.1). Из условия q 1 следует, что р — 1 )> 0, а потому матрица H hyP-i удовлет­ воряет всем условиям теоремы 11.7. В силу этой теоремы в процессе построения продолжений матриц H h-i, H h,- ■•

. . ., Н hyp-г, Пhyp-i ранги их будут повышаться лишь на последних т = q — 1 (А = р — 1 = 2 q — 2) шагах про­ должения, причем всякий раз — точно на две единицы. Как пояснено выше, последний переход от H hyp-i к Нн+р также сопровождается скачком ранга на две еди­ ницы. Отсюда (см. теорему 6.1) вытекает справедливость