книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

З а м е ч а н и е

2. Пусть G0 — полупростая

под­

группа, нормально

вложенная в G,

М 0 — М

П ^о>

А 0 (то, Хо), т ЕЕ М 0,

— оператор симметрии, построен­

ный для группы G0. Согласно общему правилу инду­

цирования (следствие 10.7), имеем

А (то, х)

= А о (то, %0), т е

М 0,

где Хо — проекция

х на Ъо (Ьо — картановская подал­

гебра G0), и оператор А 0(т, %0) продолжается с й х, на

D x ~ Сдр (Dx0)

по правилу действия на значения век­

тор-функции

/

е= D x (/ (х) ее Z)Xo ~

Vx

в обозначе­

ниях § 10).

Из теоремы 3 получаем также

х) индуцирует

С л е д с т в и е 13.6. Оператор А (т,

гомоморфизм

д-модулей Lx, LwX и гомоморфизм J-моду­

цирует g-модульный изоморфизм 3 V,

X wv и f-модуль-

НЫЙ изоморфизм 3%, %W4-

Напомним (§ 11), что

~ £,х 0

Ex (v) (f-модуль-

части определяется по

правилу

£ ( £ 0 'п) = х £ 0

т|).

Отождествляя X j с

0

Ех (v) относительно ука­

занного изоморфизма,

получаем

о) в

П р е д л о ж е н и е

13.7.

Действие А (т, V,

определяется по правилу

A (in, v, а) (? 0

г)) =

1 0

ах (то, v, а)ц,

операторов ах (т, v,

а), К е

Л.

В частности,

положим

К = v+ и напомним,

что dim Ev+ (v)

— 1.

П р е д л о ж е н и е

14.1.

av+ (т, v, б) =

т • Д

+

|va |)-1 *)■

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду

одномерности

2?v+ (v),

существует константа

е (ш, v,

о) такая, что

А (т, v,

а) ср =

е (ш,

v, о) ф??г_1,

ф ЕЕ i$v+.

Полагая,

в частности, ф0 = m\Q(g) |0,

где

£0 — нормированный

вектор Еv+ (v), находим

е (ш, v, а) = A (in, v, а) ф0(е) =

§ ф0(пт) dn,

m ^ w ,

где ф0 (ж), j e

G,— образ функции

ф0 E ^ v в прост­

ранстве

Lx, X =

v ®

а- Положим G =

SL (2,

С). Вос­

симметрическая степень представления (к)

=

к, нахо­

дим ф0 (к) = kh при v >

0, ф0 (к)

= iclj1 при v

0. От­

сюда, вычисляя а (пт),

к (пт), находим

&(w, v, о) = ^ (1 + г2)

— — (n-(-|v|)—1

IVI)-1.

2

rdr — (б +

О п р е д е л е н и е

14.2. Положим

В{т, х) = П (ба + К | М ( т , X)

аеД•ш

при

X = v ® а> ^

(т >х) = В (т, v, о).

Соответствен­

но,

положим

(m, V, а) =

П (<3а +

|Va I)•аЛ (т, v, а).

аеАш

Согласно предложению 14.1, операторы

(m, v, a)

удовлетворяют условию нормировки

frv+ (m, v, a) = in,

тпееМ'.

Л е м м а 1 4 .3 . Операторы В (т,

х)

удовлетворяют

соотношению

В (т, %)

=

В (т \ /п"х)-5

(т", х)

(*)

ровки. Заметим, что В (е,

х) =

1.

Рассмотрим оператор В (т, %) в пространстве X v

(v — индекс %).

Начнем

с

рассмотрения

частных

случаев.

SL (2, С). Напомним, что X €Е N,

1°. С л у ч а й G =

v e Z , Х\ Ф (0)

при

X =

v (mod 2), |v |

X. Поло­

жим

х

ях (0) = П

(а — ft).

Г* (б) = Я* (о)/Я, (— б),

k—N1+2

В частности, л;х (ст) = 1

при X = |v|.

Л е м м а 14.4. Для группы G = SL (2, С) имеем

b1- (т, v, б) = (— l)1MX~M)-m -rx (а).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно лемме

11.8,

суще­

ствуют элементы и е= U, ф0£= $v+. ф б Ж )

такие,

что

цф0= ях (— а) ф, ифр = ях (б) ф',

соответствует ф >->• фго-1

в Хч)- Лемма доказана.

З а м е ч а н и е

1.

Непосредственное

вычисление

операторов

5х (го, v, о)

можно получить

по аналогии

с доказательством

предложения 14.1 — см. [47].

2°. С л у ч а й

w — wt. Фиксируем

и по­

ложим

B i(X) = В ( т и %), i =

l , 2 , ...,

I.

Пусть Gt — простая подгруппа,

порожденная корнем

«*, K t = К П Gt.

14.5.

Пусть

Хчг — градуи­

П р е д л о ж е н и е

ровка X v,

порожденная градуировкой

X

как правого

К г модуля,

е £Е N.

Тогда при ф (ЕЕХ,,г имеем

Bi (х) ф = (— l)Vs(e_to) г\„ (з{) Фть

в0= |Vi |.

но из сравнения интегралов А (гог, %) для G, Gt.

С л е д с т в и е

14.6.

Операторная

функция

В (го,

х) продолжается до рациональной функции

от

0 со

значениями

в Hom9(^ v, X wv).

При

этом

(*)

выполняется для всех т' , т" ЕЕ М '.

14.3, операторная

Действительно,

согласно

лемме

зующими B t (%),

г = 1, 2, . . ., /. Заметим, что, соглас­

но предложению

14.5,

3®. Д е т е р м и п а н т ы

(Д (w, v, о).

Фиксируем

й е А. Пусть

— градуировка Е }- относительно про­

стой

подалгебры

$а, порожденной корнем

а (е ЕЕ N),

rt =

dim {E'i р) Ех (v)). Положим

(tl, б) =

(иа) е,

е

я* (А , а) = JJ

(а, о).

аеА

dx (w, v, а) = с„я* (А+, б)/я£„ (Д+, Ц7б),

(**)

где константа

с0 Ф 0 зависит от выбора

базиса

(| с0 |= 1, если

базис ортонормирован). Кроме

того,

(w, v, а) = с0я* (A„„ б)/я* (Ди,, — о).

(***)

жению 14.5, при w = wt, г = 1,2, . . .,

/:

{wu v, б) = с*я* (сц, б)/я* (а{, — б),

|с* |= 1.

вых частей (**), (***)

вытекает из леммы 4.5. Предло­

жение доказано.

р е з у л ь т а т .

Положим при

4°.

О с н о в н о й

а е Д

( X е 2: % = V е 6,

6 * =

<за = I va I +

2k, А е N*} =

= { x e 2 : x = p|g,

paeN*,?aeN'}.

Для

каждого w 6= W пусть

© „ (©ш) — объединение

всех

©а, а е Д , (—а е

Лю).

Положим

s ; = s \ © ; ,

s : = s \ © ^ .

всем пространстве S v тогда и

только тогда, когда X €=

е

При этом В (т, у) е

Ж (© v, £>wv) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Первая часть теоремы уже

нию

14.8, условие

% £Е 2j„ необходимо для определен­

ности В (т, %) в

пространстве

X v.

Обратно, пусть

X е

2£. Покажем,

что В (т,

х ) е Ж

(£>v, S„,v).

Л е м м а

14.9.

£с./ш сгг ^

—

|v; |— 2 к, к £Е N*,

тао

(х) е

Ж (©V,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно предложению

14.5,

В г (/)

g= Hom9 (Жу, Хщч)- Для

проверки непре­

лп (г)

=

п8к (г),

бк(z) =

I z + к |/| ъ — к |.

k=i

Заметим,

что

8k (z)2 =

(1 +

t) (1 — i)_1,

где

положе­

но z =

х +

iy,

t — 2 кх (к2

х2 -j-

г/2)-1,

причем

6k (z)2

1 при х ^

0. Полагая а: > 0

и выбирая А0 на­

столько большим, чтобы 1 <

t

<; 1 — 1/m при к > к0,

заметим,

что бА(z)2 ^

1 +

2 mi,

i <

2 х/к.

Отсюда

в, (2)><

1 + Т

<

(1 +

Т - ) " “

=

( ^

)

‘”“ •

2 = о/2 и пользуясь

предложением 7.7, получаем не­

прерывность B t (у)

(при фиксированном у). В общем

случае

достаточно

воспользоваться

правилом

инду­

цирования (следствие 10.7).

Наконец, поскольку векторы J£v аналитичны (пред­

ложение

11.1),

то

из

включения

B t (у)

в

Н о т 9 ( 2 Ч,

следует включениеBi{%) в HomG (S v,

£>u,iV)-

Лем­

ма доказана.

1

полагаем w — w'w" •

В общем случае при I (w) i>

l (w) =

l (w') +

l (w"),

l (w)

l (w'),

Z(m) >

Z(w")

Если у GE S i, то, согласно лемме 4.5, %

Si», w"y GE

EE S i',

откуда, согласно (*), получаем нужное

утвер­

ждение. Теорема доказана.

С л е д с т в и е

14.10. Если

у ее 2i>

mo

оператор

В (т, х)

непрерывно обратим,

причем

в (т. Х)-1 = # ( т -1, тх ).

Положим S i =

S i n S i.

' С л е д с т в и е

14.11. Если

у ЕЕ S i, mo

оператор

В (т> %) является

топологическим

изоморфизмом Dx

на DwX-

Действительно,

у е

Si, юх е

Si-i.

Скажем, что сигнатура у вырождена по корню а,

если х е

@а-

всех

сигнатур,

ко­

Пусть

S" (S+) — множество

торые не являются вырожденными ни по одному корню

а > 0,

(а < 0).

класса

S° = S _ f)

S +

назовем

невы­

Сигнатуры

рожденными (эти сигнатуры не вырождены ни по одному

корню а Ег А).

14.12. (1) Если

х £ = 2 +,

С л е д с т в и е

то

опе~

ратор В (т, у) определен и непрерывен для всех т ЕЕ М '.

(2)

Если х £= 2

то В (т,

у)

— топологический изо­

морфизм для всех т еЕ М '.

1. Пусть

Z Xф — множество

всех

элементов

z Ez U

таких, что

г53ф CZ 53*,

где 33х — определяющий идеал

модуля D x (§ 10).

15.1.

Для

каждого

z (=

Zxф

П р е д л о ж е н и е

пусть С (z,

х) — сужение оператора z: ср н* <pz на

мо­

С (z,

х) = С (и, г|)) С (v, х)

при z =

uv, v (ЕЕ ZM.

Согласно

следствию 11.5,

множество

Zx^ может быть

отлично

от (0)

только

при

х = Р

I Ц,

г|з = щр | w ' q ,

w ,

w '

W .

2. В дальнейшем мы будем рассматривать только

операторы, введенные

в § 12:

Ei (%) = a(e_,)'Ч

А (х ) = Ь(е_{)'^ .

Эти

операторы

определены,

соответственно, при р г (ЕЕ

6= — N*,

ЕЕ — N*, г =

1 , 2 , . . . / . Согласно предло­

жению 12.5,

А ( X ) е Ж (Dx, Ds.x),

E i(х )ЕЕ Ж (Dx, D -x).

где

положено

Sj (р | g) =

w tp

\ q ,

s t

( p

\ q ) = p |

i =

l , 2 , . . . , / .

Реализация b

S v имеет вид

Ci (X) = c (e_i)|Pil,

Ct (x) =

c (et)14*1*)

SC* = Ех (g) Ех (v)

эти

операторы

действуют по

правилу:

Ct (X) (I ® т|) = i ®

^ 'r i,

(X) (1 ®

г]) = | (g) 49ilTb

операторами Сг (хг). Сг (%t),

%i

=

Pt I ?г. группы б г.

3. Рассмотрим вначале действие операторов С; (%),

Ct (х) в

0,

то операторы С% (х),

Л е м м а 15.2. Если p tqi ^

Ci (х)

инъективны. Если p t < 0 ,

<7; < 0 ,

то эти опе­

раторы сюръективны и имеют общее ядро:

Ker Ci (х) = Кег Ci (%) =

0

#

«<|Pil+l9il

где

положено

X vt — X v f]

X1,

Х г — градуировка

X относительно правых сдвигов на элементы подгруппы

Ki =

К [~) Gi,

е £Е N.

Ядро

операторов Ct (%),

_ Д о к а з а т е л ь с т в о .

12.11.

Далее, поскольку Х ч — весовое подпространство

eoi

веса —v 4,

то

е0 =

|vf|— минимальный

из

весов

e0t,

для

которого

X vz Ф (0). Если р;<?г <] 0,

то

е0 =

=

|pi

— Qi |> Ipil +

IQi

li T- e. искомое ядро есть (0).

Если

же pi <

0,

qt <_0,

то е0 =

|рг — qt |<

|р г |+

+

I qi |,

и

Ci (х),

Ci (х) — изоморфизмы

X 4Z

на

X j—pp-i Е) Xv+q^(x^,£i соответственно, при е

I Pi

I +

I <7г

I-

Лемма доказана.

З а м е ч а н и е 1 . При G = SL (2, С) подпространство

Кег

Сг(х) — Кег S'; (х)

совпадает с неприводимым ко­

нечномерным подмодулем Rp\q (см. конец J

И).

З а м е ч а н и е 2._Оператор R t (х)

= Ct (si%) Ct (%)

совпадает с С,- (s*x) Ct (х) и кратен

единице

в

Н е­

действительно, при G =

SL (2, С)

имеем

e+elr\ =

е!е1ц =

с0

ч

(е — v +

2j) •mr\,

т

М ’,

з=—р+1

для

каждого

вектора

ч

ё £ ‘ (v),

q — р =

v,

при

р,

q^> 0 , с константой с0

0 , зависящей только от р

и

q. При этом,

согласно лемме 15.2,

Кег Rt (х) =

Кег С{ (х) =

Кег С{ (%).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Воспользовавшись

пра

Видом индукции (§ 10)", ограничимся случаем

G =

= SL (2, С). Рассмотрим, например, оператор С = е+ и по­

ложим С* — el, Т = С*С. Как и в замечании 2,

имеем

Г = «(в)-1 в 2 „

e e N ,

З а м е ч а н и е 3.

Оператор B t (%),

определенный в

§ 14, также является

топологическим

гомоморфизмом.

5.

Д и а г р а м м а

п р о с т ы х р е ф л е к с и й .

Сформулируем полученные

результаты в виде теоремы.

Положим

% = р |q, p e N * , j e N* (при фиксиро­