книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

если

М — собственный

идеал,

то

Мы = 1. С другой

стороны, положим

M0= { i E i :

{ух)1£Е I для

всех у ЕЕ А},

где

жх = exjex, i E

i .

Ясно,

что М 0 — замкнутый

куда М — М 0.

Следовательно,

М однозначно

опре­

деляется по I.

Остается заметить, что Я*// ~ (А1М)г.

Согласно предложению 33.2,

AIM — тонкий

G-мо­

лами / и М. Лемма доказана *).

Вместо алгебры

Лх удобно

рассматривать подал­

гебру Наймарка 5 х — е£Ае%,

где е\ — минимальный

проектор в .М (К),

подчиненный ех:

е\ = «х (i, к%) dk.

С л е д с т в и е

34.4. Отображение Е

V\ — е\Е

Действительно,

А х ~

^х <8> В\

где

*1\

= Н от (Ех, Ех).

(Можно также непосредственно пе­

рефразировать доказательство леммы 34.3.)

С л е д с т в и е

34.5.

Отображение

Е >-*■ V\ =

конечномерных

модулей.

Действительно,

согласно предложению 33.14, классы

слабой

эквивалентности

однозначно характеризуются

своими

экстремальными

уплотнениями.

3

а м е ч а н и е 4. В дальнейшем мы будем исполь

зовать следствие 34.4 в следующей ослабленной форме:

если модули е\Е,

е\р эквивалентны, то модули Е,

F

слабо эквивалентны.

G-м о д у л и. Отметим еще

не­

5.

К-п р о с т ы е

которые следствия леммы 34.3.

вивалентность модулей Е, F.

Предложение доказано.

Отметим также

П р е д л о ж е н и е 34.7.

Всякий

К-простой

G-

модуль является

простым.

Всякий

замкнутый дву­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

сторонний идеал J в алгебре А — М (G) является за­

мыканием У* =

J (~| А *, где А * — прямая сумма под­

пространств

X, ц е Л .

В свою

очередь, J*

яв­

ляется обьединением

подалгебр Jt — J f] A t, где

положено

At =

®

АХ1\ е е Л.

В частности,

пусть M e С

J• Если модуль Е является

./^-простым,

то Ег — ®

ехЕ — неприводимый .4е-мо-

вательно,

(M e)i — максимальный идеал в Аг, отку­

да (М е)с =

Л для всех е Е Л . В результате М Е =* J.

Предложение доказано **).

6.

О с н о в н а я к о н с т р у к ц и я .

Начиная

с этого момента, G — полупростая связная комплексная

группа

Ли.

Пусть

D ? n — минимальный

G-модуль

с

сигнату­

рой х (§ 19). Ясно, что этот модуль является /f-npo-

стым. Опишем класс ^модулей,

слабо эквивалент-

Dmtn

х

•

уплотнение

/)™1п *).

Пусть

Д“ 1п — экстремальное

Пусть Д“ ах — G-модуль, контрагредиентный Д?1п, %'=

= —X-

Заметим, что

д т 1 п — Г)т1 п .—

п т а х <—

а шах

,

и % С_ и х

(_

Ах

где D T " — G-модуль,

контрагредиентный

D™ln. Ус­

ловимся,

что

модули Dx*x,

Д Г Х

наделяются

слабыми

топологиями.

писать

Е <] F, если

Е — подмодуль F

Условимся

и топология

Е мажорирует

топологию F.

Положим

® х = { Е\ Д“ 1п < Е < Д™ах}.

П р е д л о ж е н и е

34.8. Если Д“ 1п — уплотнение

G-модуля

Е,

то Е €Е 9КХ-

Заметим,

что

Е <] F

Д о к а з а т е л ь с т в о .

F' <] Е' (относительно слабых топологий).

В част­

ности,

имеем

Е < Д™х,

где Е — с топологией а (Е, Е').

Но тогда это верно

и

для сильной топологии

в Е.

Предложение

доказано.

' С л е д с т в но 34.9.

Всякий

К-простой

G-модулъ,

слабо эквивалентный Д“ 1п,

эквивалентен

одному

из

модужй класса 93JX.

З а м е ч а н и е 6. Ясно также,

что

всякий раз­

дельно непрерывный М (С)-модуль,

слабо

эквивалент­

сти эти условия

можно

ослабить

(см. замечание 4).

I.

К л а с с и ф и к а ц и я т о н к и х G- м о д у ­

л е й .

Напомним, что модуль Е называется тонким,

если он АГ-финитен и совпадает со

своим экстремаль­

ным

уплотнением.

играет

принципиальную

Следующий

результат

роль в дальнейших построениях.

Т е о р е м а 35. Всякий тонкий G-модуль эквивален­

тен одному из модулей Д™1п.

Е — тонкий

G-мо­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

дуль,

Я0 — минимальный из старших весов Я ЕЕ А,

для

которых е*Е Ф (0).

Положим

Е0 = е^Е,

Х 0 = e^Xe}^,

где

X — С“ (G) (Х 0 — подалгебра

Наймарка

в

X).

Согласно

следствию

34.4,

Е0 — неприводимый

Л„-мо­

дуль, dim

Е0 <

оо.

Положим

г 0 =

2

и1*х1к

(следствие

29.7).

Из коммутативности

этой

алгебры

и

конечномерности

Е0

заключаем,

что

dim Е0 = 1.

В

результате

z<p =

Ц. (z) ф,

ф S

Е0,

г е Z0,

где р. — характер

алгебры Z„. Согласно

предложению

29.9,

р (г) — / (0О),

о 0 €= (>с>

где

/

— образ

z при

изоморфизл1е Z0 -у

Согласно теореме 27 (§ 29),

этот

изоморфизм

индуцируется

преобразованием Фу­

рье.

При

этом

модуль

Д Г ,

Хо = (Хо, бо).

порождает (при сужении

на eg°A“ ln)

тот

же

характер

р (г) алгебры Z0.

Согласно критерию

эквивалентности

(следствие 34.4), отсюда вытекает,

что

Е

Д“ 1а.

Теорема доказана.

35.1.

Всякий К-простой G-модуль

С л е д с т в и е

слабо

эквивалентен

одному из модулей A”lln.

С л е д с т в и е

35.2.

Всякий К-простой G-модуль

эквивалентен одному из модулей класса 33?г

Условие /ST-финитности является

априори сильным

определений неприводимости.

мо ­

II. Э к с т р е м а л ь н о н е п р и в о д и м ы е

д у л и . Напомним, что модуль Е называется

эк­

приводим,

наделен естественной

топологией и имеет

одномерный коммутант

в С (Е).

Т е о р е ы а 36. Всякий экстремально неприводимый

G-модуль эквивалентен одному из

модулей

А“ 1п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Е — экстремаль­

но неприводимый G-модуль,

Гх =

ьхЕ.

Из алгебраи­

ческой неприводимости

Е

относительно

X =■

3) (G)

следует алгебраическая

неприводимость I х относитель­

но

Xх — Ххх.

Согласно

теореме

34

(§ 32),

Жх —

конечный модуль над центром S алгебры X, который

скалярно действует в Е.

Следовательно, Xх действует

в Fx как конечномерная матричная

алгебра,

т. е.

dim

Fx <

оо,

X 6Е А.

Следовательно,

модуль

Е яв­

та

З а м е ч а н и е

1. Вместо одномерности коммутан­

достаточно требовать

скалярность

центра

§

хотя

бы в одном из подпространств Ух. (Тогда dim

У* <; <х>

и

dim У1* = dim

<С оо для всех

f i e i )

мо ­

III. Н о р м а л ь н о

н е п р и в о д и м ы е

д у л и . Напомним,

что модуль Е называется нормаль­

Т е о р е м а

37.

Всякий

нормально неприводимый

G-модуль слабо эквивалентен одному из модулей

Д™1п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Е — нормально не­

приводимый G-модуль,

Vх =

ех/Г. Из топологической

неприводимости

Е

относительно

X — 3) (G) следует

топологическая

неприводимость

Ух относительно Xх =

= Жхх

Отсюда,

как и выше (см.

доказательство теоре­

мы 36),

заключаем,

что dim

У* <; оо для всех

А,

т. е. модуль Е является

/("-простым. Согласно

след­

ствию 35.1, модуль Е слабо эквивалентен

Д“ 1п. Теоре­

ма доказана.

35.3. Всякий нормально неприводи­

С л е д с т в и е

мый G-модуль эквивалентен одному

из модулей

клас­

са 9Rr

2. См. замечание 1.

З а м е ч а н и е

м о д у л и .

IV.

В п о л н е

н е п р и в о д и м ы е

всех вполне неприводимых G-модулей.

Однако

этот

результат можно получить и независимо.

Т е о р е м а 38.

Всякий вполне неприводимый G-мо­

дуль слабо эквивалентен

одному

из модулей

Д™1п-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Напомним,

что

семейст­

во модулей D x образует

полную систему для алгебры

X —

(G) (предложение

26.1).

Отсюда

следует

так­

же, что

семейство

Lx образует

полную

систему

для

алгебры

X х = Х хх.

Заметим,

что dim Lх

и*. Сле­

довательно, X х обладает

полной системой представле­

(101) существование полилинейной функции p (tv

t2, .. .

. . ., <„)

такой,

что

Р (*ц 2-2*

•••»

=

0

(*)

тождественно

для

всех

rt ЕЕ Xх,

1 =

1,

2, .

.

.,

п,

причем

существуют

матрицы

at,

i =

1,

2, .

.

.,

п.

метим теперь,

что (*) сохраняется для любого представ­

ления алгебры X х.

В частности,

если

Е — вполне

неприводимый

G-модуль,

то Vх =

е\Е — вполне не­

приводимый

X х-модуль

(предложение

8.8), откуда

имеем

р (^х*

Й2»

•••> ®п) == 0

слабо эквивалентен

А“ |п.

Теорема доказана *).

С л е д с т в и е

35.4.

Всякий неприводимый уни­

унитарных модулей в системе $01х. (См.

также IX.)

V. Т р а н з и т и в н ы е м о д у л и .

По аналогии

О п р е д е л е н и е 35.7.

Простой модуль Е назы­

вается S-простым, если он топологически неприводим>.

и действие & =

$ (G) скалярно в Е.

Т е о р е м а

40. Всякий §

-простой G-модуль слабо

эквивалентен одному из модулей Д™1п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно замечанию 3

2)е = 3)в П

максимален

среди

замкнутых

идеалов

Жх. Ввиду скалярности §,

факторалгебра Ж*/3)е ко­

нечномерна (теорема 34) и потому является полной мат­

ричной алгеброй. Соответственно, Fx

=

е^Е — непри­

водимый модуль над этой алгеброй, откуда dim Fx<

оо.

Остается применить следствие 35.1. Теорема доказана.

VII.

Э к в и в а л е н т н о с т ь

м о д у л е й

Д“ 1п.

Для завершения классификации остается описать

все

соотношения эквивалентности

между

модулями

Д™1п.

Т е о р е м а

41. Модули

Д“ 1п,

Д™1п

эквивалентны

тогда

и

только

тогда,

когда

Xi

~

Хг (Хг =

wXu

w <= W).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Модули Д™1п, Д™1п экви­

валентны тогда и только тогда, когда им отвечают оди­

наковые

характеры р (z) в доказательстве теоремы 35,

т. е. когда %2 =

w%х, w б= W (см. доказательство теоре­

мы 20). Теорема доказана.

Условимся

писать

Xi ~

Хг>

если сигнатуры

%х, х2

лежат на одной орбите относительно группы W X W.

Соотношение Xi

~

Хг равносильно тому, что модули

D Xl, Dx, принадлежат

одному

и тому же характеру у

алгебры

Z = Z (дс) (центр

U (0е)).

С л е д с т в и е

35.8. Число классов эквивалентности

модулей Д™1п,

принадлежащих фиксированному харак­

теру у алгебры Z, равняется числу классов эквивалентно­

сти (Xi

~ Хг)

множества

0(Х) = « 6

2: фжх ) .

З а м е ч а н и е

3.

Из предложения

35.8

следует,

что операторы симметрии В (т, %): Д“ 1п —» Д™*", u>€=W,

являются

топологическими

изоморфизмами

(относи-

ко проверить

и непосредственно.

м о д у л и . Ска­

VIII.

П с е в д о у н и т а р н ы е

жем, что (7-модуль

Е является

псевдоунитарным,

если существует G-инвариантная невырожденная раз­

дельно непрерывная

эрмитова форма на Е X Е.

Т е о р е м а

42.

Модуль

A™in (Z)™in)

псевдоунита-

рен

тогда

и только

тогда,

когда

%* =

w%, w ее W,

т.

е.

—p — wq, —q — wp,

w ^ lW .

D x X Dx..

ф)

су-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если форма В (<р,

Д х В

Дх* »

т 1 п

a

max

IX.

У н и т а р н ы е

м о д у л и . Напомним, что

В (т, х)

в fiy

— прямая сумма конечномерных опе­

раторов

6х (т,

х) =

(те, V, а).

П р е д л о ж е н и е

35.9. Следующие условия равно­

сильны:

= Х*> неотрицатель­

(1) все операторы Ьх (т, х),

но определены,

пологии А ?1”, т. е. (3)

(2).

ров 6Л(т, %),

=

%*,

на положительную определен­

ность.

4.

Всюду в этом параграфе ус­

З а м е ч а н и е

I.

А с с о ц и и р о в а н н ы й

с п е к т р .

Фикси­

руем

борелевскую

подалгебру b =

Ь+.

Для

каждого

g-модуля

V

пусть

р+ (V) — множество

всех

весов ал­

гебры Ъ в

пространстве V.

Множество -р+ (F) мы называем борелевским спект­

ром

модуля

V.

простран­

Пусть

V

— алгебраически сопряженное

uf — X (и) /, н е Ьс,

(1)

8 Д. П. Желобенко

209