книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

отображ ение £ ь * | (х)

инъективно.

К ром е того ,

5 (*ь) = <ъ~ч~ч, /> =

<х-ъ ь/> =

е(6) g (х),

ъе 5,

где 0 (6) — характер группы 5 с сигнатурой

В ре­

зультате V —> Z)*, — X — р =

Остается

заметить,

что младшим весом V является —

т. е. старший вес

0 (ж) = 0(njm +) =

0 (h),

п_

N',

h е

# , n+^ N

при условии,

что

0 ЕЕ С°° (G)), где

0 (h)

— характер

группы Н

с

сигнатурой — % — р. Соответствующим

младшим

весом является

х

р.

воспользо­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

G. Предложение

доказано.

со старшим

Пусть Е^Р — неприводимый G-модуль

весом А. |р,,

— контрагредиентный G-модуль. Из

предложений 12.1, 12.2 получаем

П р е д л о ж е н и е

12.3.

Единственным

конечно­

мерным подмодулем D x, отличным от (0),

является не­

приводимый подмодуль

Ухц

Е■)..!, определенный при

X |р = — X — р.

р е Л.

= Их+х'.щ-ц/.

С л е д с т в и е

12.4.

правой

Действительно,

ИхцУх^/ — подмодуль

в

З а м е ч а н и е

1. Пусть

Ех — комплексно-анали­

тический G-модуль со старшим весом X. Тогда

Е41 =

Ех ® Е'\

>.,Ц ЕЛ ,

Если G неодносвязиа,

то представление в Ег, вообще

говоря, неоднозначно.

Если е0 — старший

(младший)

З а м е ч а н и е

2.

вектор неприводимого

{/-модуля

Е, то Е =

U (fc)

е0.

Действительно,

из

разложения

gG = fG ® aG®

вс

следует, что U =

U(fG) ® / 0, где /„

содержится в анну-

ляторе е0.

3.

Предложение 12.1 обобщается

З а м е ч а н и е

G-модуль со старшим весом

Тогда V вкладывается в

Лх, —X — Р = %'•

на­

Условимся считать (переходя к односвязной

крывающей), что G односвязна.

Ниже будет дано более подробное описание подмо­

дулей Ехц.

|х,

Положим для краткости а (х) = х |О, Ъ(х) = 0

х GE Зс> Пусть e_i, е0„ et — образующие алгебры

jjc,

удовлетворяющие закону коммутации

3 “

^oi)

l^Qii

f^Oi*

i1=

2c_^«

Для каждой

пары

топологических

G-модулей Е, F

пусть Ж (Е , F) — множество всех

непрерывных гомо­

морфизмов (сплетающих

операторов)

Е —> F.

п — не­

П р е д л о ж е н и е

12.5.

Если — p t =

что

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

проверить,

E t: D p|, —» Е щР]1] (оператор

Et рассматривается

аналогично). Для этого проверим, что

a (C-i) ffiw-plq CZ fBpq

при

—Pj =

И Е N,

где

OBpi, — определяющий

идеал

D v\q

(§

10). Доста­

точно рассмотреть образующие

33Wip\q.

Заметим, что

g2 перестановочно c

е7перестановочно с с_г при

г Ф /

(а,- — a.j

А).

Далее, из тождества

leu е™1= пеп7!(c0i — гг + 1)

(легко

проверяемого

индукцией по п) следует, что

a (e-f)n а (ег) 6Е 33Р|9

при и = —р г. (Действительно,

(pa (С-j) OBwppiq CI ф ^ р|<2 =

0,

ф ЕЕ Dpiq,

т. е. сра (е_г)п £

Dw,Р|а. Предложение доказано.

Т е о р е м а

2.

Подмодуль

F^pi ЕЕ 7?х выделяется

системой уравнений

фа (e_i)Xi+1 = 0,

фб (e _ / ibl =

0,

i = 1, 2 ,..., 1.

(*)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть V — пространство

всех решений

(*),

F0 — множество

всех сужений

на

N' элементов

ф 6

V. Поскольку а (е_г), Ь (е_г) — ка­

сательные векторы

N', то F0 удовлетворяет (*) на N'.

Поскольку

F ~

F0 (ввиду

разложения Гаусса),

то

так>ке

dim V ф

оо.

Ясно,

что

F — подмодуль

D х

(предложение 12.5). Отсюда

F =

Fxp,

согласно

пред­

ложению 12.3. Теорема доказана.

Пусть V'xy. — образ Fxn при отображении D х —> 2Х

(§ 10). Пусть с (х)

= а (х)

— Ъ(х1)

— образ т Е

Jc

при автоморфизме

gc —> fc

(§ 1).

V

CZ

выде­

С л е д с т в и е

12.6.

Подмодуль

ляется

системой

уравнений

фс(с_;)Х1+1 = 0,

фС( с / 4+1 = 0,

i =

l , 2 , . . ., I.

(**)

Действительно,

сра (ег) =

срЬ (ег) = 0 тождественно

на D x, т. е. (*) эквивалентно (**). В то же время с (х)

—

касательные

векторы подгруппы К, т. е. (**) выделяет

№ в £)v.

имеет

П р е д л о ж е н и е 12.7. В пространстве

место

равенство

Кег с (e-i)n =

Кег с (е*)гя,

т — п — v{.

подалгебры

порожденной

корнем a t (е — старший

вес

подалгебры ?f).

Заметим,

что элементы X v имеют

вес

—V;

относительно

с (eoi).

Равенство <рс (<?_г)п = О

означает

при

этом,

что

ф

содержится

в

сумме X vt,

— v i — 2п <d — е,

т.

е.

е

п + т.

Тот

же смысл

имеет равенство фс (ег)т

= 0. Предложение доказано.

С л е д с т в и е

12.8.

Х~С а V их для всех

W х\>- CI

a

v — экстремальная

точка

весовой

Действительно,

диаграммы Е^=ФЦ1С(е_;)

=

0 либо фс (ег) =

0 для всех

ф GE

ф удовлетворяет

одному

из

уравнений (**)

(при

каждом

г) =Ф ф удовлетворяет

(**).

В заключение отметим еще одно следствие из тео­

ремы 2 относительно алгебры X.

С л е д с т в и е

12.9.

Подпространства

Vих обра­

объединение -всех

W\\x,

X — р = v.

р — X =

v.

С л е д с т в и е

12.10. Wwp&j =

X vw ,

З а м е ч а н и е

4.

Следствие

12.10 является

част­

ным случаем следующего утверждения.

Пусть

V —

ненулевой f-подмодуль Ьх. Тогда

VLX’ =

Lx+x-+p.

Действительно,

VLr d

Lx+r+P- Если

i|30 e

£_x- x'-p

аннулирует

VLX>,

то <рг|з0 EE /L X'

аннулирует

Lx>для

всех

ф 6= V,

откуда

фф0 =

0. В силу А-инвариаитно-

сти

V, для

каждого

к ЕЕ К существует ф ЕЕ V та­

кой,

что ф (к) ф 0 .

В

результате

т|з0 =

0.

следует

З а м е ч а н и е

5.

Из

предложения

12.1

§ 1 3 . Операторы А (т, х )

Пусть

W — группа Вейля алгебры

Определим

действие

группы W в классе сигнатур, полагая

Hu?=

0ca,

iiy, =

C^a,

a>0, ига<0

a>0, ura>0

Положим аа (g) = а

(g)~a~p.

Л е м м а

13.1. Если

функция аа(пт) интегрируема

на N w, то

определен всюду на D x и содержится в

равенства

ф (хкап) = ф (хк) а~°~р

вытекает

оценка

I Ф (xg) I <

С (х) |а„ (gr) |,

С (х) =

max |ф (хк)

|, из

которой следует (при g =

/сек

пт) существование и непре­

рывность функции ф (х) =

ф (х).

Для каждого ком­

пакта С Cl G имеем

Заменяя ф на шр, и Е= U (д), находим, что ф ЕЕ С°° (G)

и оператор

непрерывен в топологии С°° (G). Ясно

также, что

тперестановочен с левыми сдвигами на G.

Остается проверить, что

D x —*•D wx.

N w ~

Заметим, что, согласно

предложению 4.7,

~ N IN W, и мера dn, ввиду нильпотентности N,

инва­

ства Nw. Отсюда,

полагая п0п — пргг, пг GE: N w, п2 ЕЕ

ЕЕ Nw CZ mNm~1,

находим

ф (хп0) =

\

ф (хпрп) dni =

ф (х),

п0ЕЕ N.

Далее, пусть

Nw

Заметим,

что d (апа~г)

а Е= А.

= aPwdn,

где pw — сумма

всех

корней из Aw =

{а

0: wa <

0}. Легко проверить, что

pw = р — wp.

Отсюда

имеем

ф (ха) =

§

ф (хпта) dn — ф (х)

в £ А,

Где положено

а =

т~хат (ах = awX). Аналогично про­

веряется, что

гр (xh) = ф (х) hr'04,

h Gr М. Лемма

до­

казана.

что

существование

интеграла

(а:),

Заметим,

“

__i_ о

^ аа (пт) dn =

^ (1 + г2)

l2

rdr =

- i- 5

N

О

причем интеграл сходится при Re ст

0.

Следователь­

но, условие леммы 13.1

при G = SL (2, С) равносильно

Re

ст > 0.

'

Перейдем к рассмотрению общего случая.

l (w') +

+

Л е м м а

13.2.

Пусть w =

w'w", l (w) =

l (w”). Если функция

<p (xnm)

интегрируема на N w,

то

^ Ф М = М » . - ф М ,

т = т'т',

т ' е

w',

m "^w ",

стности, функция

ф (хп'т'п"т")

интегрируема

на

N W’ х

N W".

предложению

4.7,

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно

N w=

NW'NW"

(диффеоморфное разложение), где поло­

жено

N w” =

w'Nw’-w'*1. Имеем

^ ф(пт) dn =

^

ф(п’п'т'т") dn'dn" =

^w

NW,XiVyj-

=

§

ф (n'm'ifm") dn'dn".

Ny/XNyj»

лучаем нужное утверждение при х =

е. В общем случае

заменяем ф (g) на ф (gx). Лемма доказана.

Положим fj„ =

{x e tjc : Re^a^>0 при a g A „ ) .

Л е м м а

13.3. Функция

аа (пт)

интегрируема на

N w тогда и только тогда,

когда а £= ()w.

При этом

^

аа (пт) dn — с0

or1,

с0 = const Ф 0.

Nw

аеАш

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Случай

w =

wt сводится

к случаю G = SL (2, С), рассмотренному выше (JVW. =

= N П

Gt — простая подгруппа

ранга 1, порож­

денная в G корнем а,). В общем случае применим ин­

дукцию

по

I (w).

Предложим,

что

функция аа (пт)

интегрируема на Nw. Согласно лемме 13.2, имеем

tymaa (е) =

^ fym»aa(n'm')dn',

т — т'т",

для всякого разложения w — w'w" такого,

что I (w) =

= I (w')

+ l (w").

Согласно

следствию 4.3,

это разло­

I (w) ф- I (w'), I (w) ф I (w")).

Для вычисления

внут­

реннего

интеграла достаточно

заметить,

что аа — ба­

зисный

элемент одномерного

подпространства

Laoz CZ

С Loa (Я'-инвариант

Z)oa).

Согласно

лемме

13.1,

f mLoa С

L°0,wc откуда имеем

f maa (х) =

Гоawa (х),

То = const,

получаем аналогичное выражение для

у:

То — со П (м,"°)э1 • П

=

со

П <3«1-

аеД№»

«едw

При этом, из сходимости повторных

интегралов и до-

пущения индукции, заключаем, что Re оа

0, а 6Е Дш.

Обратно, если это условие выполняется,

то,

заменяя

а3 (х) неотрицательной функцией aRe» {%)

=

|аа (х) |,

таа (е) существует. Лемма доказана.

С л е д с т в и е

13.4. Меру

Хаара

на

N w можно

нормировать таким образом, чтобы

N.W

Действительно,

р

для

всех

w ЕЕ W.

О п р е д е л е н и е

13.5.

Определим

оператор

А {т, х) как сужение

\DX:

N.w

при условии, что X = v

® о, о

bwt и мера dn норми­

рована как в следствии 13.4.

{x = v ® a :

a е f>w}.

Положим

также

2 u, =

Т е о р е м а

3.

Оператор

А (т,

%) определен для

всех х €Е

и содержится в Ж (Dx, D wx). При этом

Л (те,

%) =

А (т', гп"х)А (т", %),

т =

т’т",

(*)

для всех

т' ЕЕ w',

т" ЕЕ w"

таких,

что

I (w'w")

=

= I (u/) -f- l (if").

(Операторы

в правой части суще­

ствуют при х

2 Ш.)