Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

8.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 257 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Заметим, что (ф,	яр) = <ф, яр > — скалярное произве
дение в D x. Пусть	Нх — пополнение D x относительно

IIф II = (ф. ф),/г-

Пр е д л о ж е н и е 10.1. Представление ех продол

жается до непрерывного			представления	в Нх.
/	Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим,			что функция
/	(х) =	\|ф (х) \|2, ф е= D x, удовлетворяет		соотношению
/	(хап)	= n~2Rea~2p/ (х),	а ЕЕ А, п ЕЕ N.	Отсюда

II ЯФ1Г = 5 (#/) (к) dk = \ й~Ше°/ (к) dk< С21Ф|2,

где положено		а = a (g~xk),		к =	к (g~1k), dk = a2pdk
(согласно	лемме 9.2),		С =	max a_2Re °.		Предложение
доказано.				к
	Для	каждого	% =	р \|<7=	v ф а	положим %* =
5.

=— ?| — Р = v ® (— 5)-

Пр е д л о ж е н и е 10.2. Модули D x, Z?_x дуальны

друг другу относительно формы <ф,			яр >.	Модули D x,
D x> эрмитово дуальны относительно (ф, яр).
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Для каждой		пары эле
ментов	ф е О л , яр £= D -x функция /		(х)	= ф (х) гр (х)
удовлетворяет соотношению / (хап) =			а-2р/ (х), « е 4 ,
ге 6= АС	Согласно лемме 9.2,	§f(k)dk	является Х-ин-

вариантной положительно определенной формой в клас се таких функций. Аналогично рассматривается пара D x, D x*. Предложение доказано.

В частности, %* = %, если Re ст = 0. В этом случае, согласно предложению 10.2, представление ех унитар но. Соответственно, ех унитарно в Нх. Семейство пред ставлений ех, Re а = 0, называется основной серией Гельфанда — Наймарка [9].

З а м е ч а н и е 1. D x является подпространством Гординга в Нх. (Доказательство предоставляется

читателю.)

З а м е ч а н и е 2. Согласно лемме 9.3, форма <Ф, яр > на Dx X D -x может быть также записана в виде

<ф, яр> =	^ Ч>(” ) ^ (п) dn
с нормировкой J a~2pdn =	1 при \dk = 1 , где а = а (п),
dn — мера Хаара на N'.'

6.	Отметим связь элементарных представлений груп
пы G с элементарными представлениями нормально вло
женных подгрупп.		под
Пусть	G — произвольная группа, G0 — ее
группа,	V — Gn-модуль с представлением я 0.	Пусть

F(G, V) — пространство F-значных функций на G, кото рое является G-модулем относительно левых сдвигов на

Gи С0-модулем относительно представления

и (go) / (ж) = п 0(go) f (xgo), x<=G, g0d G0,

где я 0(g„) действует на значения вектор-функции f (х). Пусть Fr,n„ (F) — подпространство всех Gn-инвариан- тов F (G, V) относительно я:


Fggj*(V) =		{ f ^ F (G,	V):	f(xg„) = n(g„)~lf(x),		g0e Q .
Ясно,	что	Fee. (ТО	является подмодулем			G-модуля
F (G. TO. Представление				группы G в Fgg, (TO обозна
чим IndGf30(F, я 0), где F				= F (G, V).	Операция		пере
хода	я п *-> Ind^Go (F,		я 0)	называется	операцией		(пра

вого) индуцирования *).

Ле м м а 10.3. Пусть G — группа Ли, Gn(Z G, —

еезамнутые подгруппы. V — G„-модуль Фреше **). Ото бражение б: (f(x) (е)) является топологическим

изоморфизмом G-модулей:

Cgg, (CgiGA V ) ) ^ C gGo(V).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Представим б в виде ком позиции у о е, где е: / (х) >->- f (х, g) = (/ (х)) (g) —

изоморфизм векторных пространств

C '(G ,C '(G U 7 ))~ G ’°(G xG 1, V),

который является также изоморфизмом Ggg, (G°° (Gx, F)) на подпространство $ СИ G°° (G X Gx, V) всех функций / (х, у), х d G, у ЕЕ Gx, удовлетворяющих соотношению

/ (xz, у) — f (х, z-'y), z e C j ,

*) Часто в литературе рассматривается также аналогичная операция левого индуцирования.

**) Условие, что У — пространство Фреше, вводится для уп рощения доказательства.

иу: f (х, у) <-*- ср (я) = / (х, е) — изоморфизм прост

ранства на С°° (G, V). Из равенства ф (xg0) =

— (/ (x))(go)i go €= G„, следует также, что б является изо морфизмом индуцированных G-модулей.

Заметим, что все рассматриваемые пространства яв ляются пространствами Фреше. Из непрерывности е-1, у и теоремы Банаха заключаем, что е, у — тополо

гические	изоморфизмы. Следовательно, б — топологи
ческий изоморфизм. Лемма доказана.
В частности,		D x = Сев (Сх+Р),	где Сх — одно
мерный	5-модуль	относительно	характера группы

В с дифференциалом %. Частным случаем леммы 10.3

является				10.4.		Пусть	Р — параболи
П р е д л о ж е н и е
ческая подгруппа в G, содержащая В. Положим
			^х = Срв (Сх+Р).
Тогда 5 Х — Cgp (Fx), т.				е.	представление ех индуци
ровано представлением ех группы Р в Vx.
Пусть Р =		G0R — разложение Леви группы Р с ра
дикалом R. Из предложения 9.4 находим,что R =									§	H1N1,
где Н1 = exp		Nx = exp			itj	в обозначениях				9.
П р е д л о ж е н и е				10.5. Сужение			гх (G0)		эквива
лентно	элементарному			представлению			ех„,	где		%0 —
проекция % на ф0.			Сужение ех (R) скалярно:
		ех (г) = 9W-1,				г е й .
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Ввиду разложения					Р =
— G0R	G0 X	R,	всякая		функция		/ е	7 (	одноз
начно	определяется своим				сужением		на	G0: /	(xr) —

— 0 (г)-1/ (х), х ее G0, r ^ R . Действие группы G в клас

се функций / (х),	х	G0, определяется по правилу
(gf)(x) =	Q(rT1f(%), x e G 0, g e G ,

где r, £ определяются из разложения Леви g_1x = Жг. В частности, ех (G0) — еХо, где Хо определяется из ра венства

Хо 4“ Ро — (X 4“ Р) I Фо» Ро = ^о |б0,

60 — полусумма положительных корней из (j0. Из ра венства 2 <6, а>/<а, а> = п 1 , а £ 5 , находим, что 60 =»

				fc'
=	6 \|(>0, откуда	Хо =	xl&o-	Наконец, полагая g =	Г =
=	hn, h е Hi,	п £= Ni, находим, что
		ех (г) = 0(гГ1-1 =0(г)-1.
Предложение доказано.				Всякому (замкнутому)	под
	С л е д с т в и е		10.6.	Всякому (замкнутому)	под

модулю D/0 соответствует (замкнутый) подмодуль D x. С л е д с т в и е 10.7. Всякому (непрерывному) го моморфизму D Xo-*-Dф0 соответствует (непрерывный)


гомоморфизм D x		D ф.
Указанное соответствие между D Xa, D x условимся
называть	правилом		индуцирования.
7. В заключение			опишем продолжение D x на про
странство	обобщенных			функций. Согласно предложе
нию 10.2,	пространство D x, сопряженное к D x, содер
жит D -x (билинейная				форма <<р, ф >	продолжается на
D x X D x как значение				функционала	ф на векторе ф).
Положим	25х =	D^x.		Пространство	25х наделяется

сильной топологией (относительно Z)_x) и структурой

G-модуля (контрагредиентного	D -y). Представление в
25х непрерывно (предложение	5.8) *). Ввиду эрмито
вой сопряженности 3)х, D x* (предложение		10.2), имеем
также	25х.
Dxd H x d	25х.
З а м е ч а н и е 3. Ввиду	теоремы	Хана — Ба

наха, D x —JD73X, где Зх — аннулятор D X,D' = 25(G) — алгебра всех финитных обобщенных функций. Легко проверить, что Зх — замкнутый левый идеал в 25 (G),

порожденный элементами вида х — X (х) + Р (х)> х £= GE Ь (b CZ U CI 25 (G)). Доказательство (основанное на рефлексивности D и определении D x) предоставляется читателю.

8.Всякий вектор G-модуля Е , весовой относительно

В= В+, условимся называть старшим вектором мо дуля Е.

В частности, пусть 6 — 6е — дельта-функция на G с носителем в единичной точке е. Пусть / х — сужение функционала 6 на модуль П_х.

*) Действительно, D x — монтелевское пространство (см. замечание на стр. 35).

П р е д л о ж е н и е 10.8. Функционал / х является старшим вектором 33х веса % — р.

Действительно, согласно определению D x, имеем

<ср, Ъб > = <Ь_1ср, б > = ср (Ъ) = 0 (Ь) ф (е) =

			=	0 (Ъ) <ф, б >
для	каждых ф е	П_х,	Ъ£Е В, т. е. б/х = 0 (Ъ) / х,
0 (Ъ)	— характер	группы	В с сигнатурой	% — р.

§11. Инфинитезимальный модуль L x

1.Пусть Lx — подпространство всех А-финитных векторов модуля Dx. Согласно предложению 7.5, Lxин вариантно относительно U = U (gG). Мы будем рас

сматривать Lx как левый [/-модуль.
П р е д л о ж е н и е	11.1.	Функции ф g Lx аполи
тичны на G. Элементы	ф E i * являются аналитиче
скими векторами D x (также для Нх, 33х)-
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Согласно	разложению
Ивасавы, ф (х) = ф (кап) =		а~°~рф0(к),	ф0 — К- фи

нитный вектор относительно левого сдвига на К. Сле


довательно, ф0(к) — аналитическая функция на		К.
Аналитичность ф (х) вытекает из аналитичности		а =
= а (х), к = к ( х ) .	Поскольку для всякой аналитиче
ской функции / е	D ее ряд Тейлора сходится в D, то ф

является также аналитическим вектором Z)x. Предло жение доказано.

Значение модуля Lx для изучения структуры топо логического модуля Dx определяется следующей тео ремой.

Т е о р е м а 1. Существует взаимно однозначное соответствие (определяемое пересечением с Lx) между замкнутыми подмодулями D x и подмодулями Lx.

Доказательство немедленно следует из предложений 8.13, 11.1. Заметим, что отображение, обратное к пере сечению с Lx, определяется замыканием. В частности, Lx всюду плотно в D x.

Аналогичный результат имеет место при замене D x на Нх 33xi откуда следует также, то между замкнутыми подмодулями всех этих модулей существует взаимно однозначное соответствие.

2.	Из сужения на К ясно, что Ьх — финитный мо
дуль Хариш-Чандры. Опишем структуру этого модуля
несколько		подробнее.
Пусть X — алгебра сферических функций на груп
пе К с градуировкой				X х относительно левых сдвигов
на К (§	7). Пространство
				Х, = з п © *
является образом Ьх при					отображенииD x ->		(§ 10).
Соответственно,			X v наделяется структурой				д-модуля
(изоморфного Ьх).
Заметим, что действие подалгебры f порождается
левыми	сдвигами в			X	Следовательно, X v является
модулем		Хариш-Чандры			с	градуировкой 52х — 35х(")
п2 ,. Напомним			(§	7),	что	X х ~ Е х ® Ех.	Соответ
ственно,		имеем	f-модульный			изоморфизм *)
			Xt ~ Ех (8) £ х (v),
где действие J в правой части определяется по правилу
х (\| (Я) т})		= х\ (g) т],		a : £ f .		(Отображение	£ (g) ц ->

Хч антилинейно по гр) Заметим также (§ 7), что Х г ~

~ Ех (£) Е\. Соответственно, 5?х~ Е х (g) Е %(— v). В ре зультате имеем

Homt (£ x, £ v) ~ £ x( v ) ~ £ x (- v ).


Следовательно,		кратность		вхождения			пх в 5?х есть
пх (v),	J , s A ,	где пх (р)		— кратность			веса	р в	л\
Минимальным из весов К, для которых							Х\	(0),	яв
ляется	^.0 = v+	(доминантный				образ v	относительно
ТУ). При этом wv+ (v)			= 1 .
3.	Соответственно,			пусть		Lx — градуировка			д-мо-
дуля Lx относительно			подалгебры !.						<ф,
П р е д л о ж е н и е			11.2.		Билинейная форма
ф> определяет		двойственность				между	Lx, Ь~х, невы
рожденную на		паре Ьх, Ь- х,			%' = — ш0А. При этом
	<и%, г]) =		<£,	и'т]>,		и е У , 3*

*) Это соответствие является частным случаем двойственно сти Фробениуса.

3 Д. П. Желобенко

где и ь-»- и' — инверсия *) U такая, что и'

— — и при

и ЕЕ 9С-

Эрмитова форма (ср, г)))

определяет двойствен

ность между L x , L x * ,

невырожденную

на паре L x , L x * ,

причем

{и%, Л) = (?. и*Л).

и е

и,

где и

и * — инволюция U такая, что и*

(a:|i/)*

= —у |— Xпри и ЕЕ9е. Каждый подмодуль в Lx совпадает

со своим

биортогональным

дополнением

в L - x ( L x * ) -

Доказательство очевидно. В дальнейшем мы рас

сматриваем

представление ех =

evo в пространстве

П р е д л о ж е н и е

11.3. Оператор eva {и), и ЕЕ U,

является операторным полиномом от а ее фс

степени

не выше deg и.

Достаточно

рассмотреть

Д о к а з а т е л ь с т в о .

случай

и е

й (deg и =

1).

Дифференцируя

формулу

g ф) (к)

а~”~рф (к),

— exp Ш, при t

0, находим

(иф) (к) = — 2

(Pi + Pi) «г (*) ф (А) +

(ивф) (А),

i=i

где положено и0 = eV)_p (и),

a t {к) — производная

а'*

при t =

е* — фундаментальные веса йс (§ 1), * =

1»

2, . .

I (и0, ocj — эндоморфизмы £ ч). Предложение до

казано.

(и) не зависит от ст при

Заметим, что оператор

и ЕЕ U (fc).

Действительно,

ечо (к) ф (х)

ф (к~гх) при

к ^ К .

Д в о й с т в е н н о с т ь

м е ж д у

Lx,

-М-х

Положим Мх = Ufx,

где / х — старший вектор модуля

2)х, определенный в конце § 10.

Аннулятор вектора

/ х

содержит

идеал / х = Ub (—%),

где

Ь (— %) — линей

ная оболочка элементов вида х — % (х)

р (ж), х ЕЕ Ь.

Следовательно, М х

является

фактормодулем

М х (см.

§ 2) **).

11.4.

Билинейная форма

<ф,

П р е д л о ж е н и е

ф> определяет двойственность между Lx, М -х-

Д ‘о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду соотношения двой

ственности

между D x,

Зд~х,

билинейная форма <ф, ф>

*) То есть антиавтоморфизм. Соответственно, инволюция —

антилинейный антиавтоморфизм.

**)

В действительности

можно

показать,

что

М х =

М %,

определена на паре Ьх, М -х. Невырожденность этой формы на Ьх следует из плотности Lx в D x. С другой


стороны, если <ср, ф> =						О	для всех		ф ЕЕ М -х, то все
производные			функции			<р	обращаются в нуль в точке
е,	откуда <р		= 0, ввиду аналитичности <р							(предложение
11.1). Предложение доказано.
	Пусть Z — центр алгебры U. Скажем, что [/-модуль
Е	принадлежит характеру у алгебры Z, если z£ =
=	у (z)	\|, £ €Е Е.		Из предложения					11.4	вытекает
	С л е д с т в и е			11.5.			Модуль		33х	принадлежит
характеру у (z) = у (%,						z)	(§ 2).			где и ь». и' —
	Действительно,			если z e Z, т о г ' е Z,
антиавтоморфизм алгебры U, определенный в предло
жении 11.2. Действие z' скалярно в М~х, откуда, ввиду
дуальности Ьх, М~х,					действие z скалярно в Ьх. Следо
вательно, также z скалярно в 3)х. Поскольку 25х со
держит М х,			отсюда следует, что z£					=	у (х, z) \| на 3)х.
	С л е д с т в и е			11.6.			Всякий	вес алгебры			Ь в 33х
имеет вид (wp \w'q) — р,							w, w' ЕЕ W.			что	ни один
	З а м е ч а н и е .				Нетрудно показать,
из векторов			не является f-финитным. Отсюда следует
также, что подмодули Ьх не совпадают, вообще говоря,
со своими биортогональными дополнениями относи
тельно М~х.					G =		SL (2, С).		В этом случае X яв
	5.	С л у ч а й
ляется алгеброй с четырьмя образующими xlt хг, s lt
и соотношением х ^						х2Я2 = 1. Эти образующие мож
но	интерпретировать				как		элементы		матрицы		г Е б :

х = (

Неприводимое представление тсе группы К со старшим весом е *) есть е-я симметрическая степень фундамен тального представления jtj, которое порождается ле выми сдвигами в линейной оболочке j элементов хг, х2.

П р е д л о ж е н и е 11.7. Пусть — линейная оболочка матричных элементов ле, 0 ^ е ^ п. Тогда

Жп= S г*? t+Kn

*) Заметим, что я ~ я*.

3* 67

Д о к а з а т е л ь с т в о . 3£п содержится в этой сумме. С другой стороны, согласно известному правилу Клебша — Гордана, $к£1, к -|- I ^ п, содержит только представления тсЕ, е ^ п. Предложение доказано.

Заметим, что nt имеет размерность е -f 1, веса пг совпадают с целыми числами отрезка [—е, е] одинако вой четности с е. Отсюда имеем

Хч = ф 7 Хм, dim Хм = в -f- 1,

е=Е0

где штрих означает суммирование по целым числам оди

наковой

четности с е0 =

|v |. Подпространство

Vn =

X v f|

совпадает с суммой Х\,

е0 ^

п.

Л е м м а

11.8*). Пусть

ф0 Ф 0 — фиксированный

вектор из X\°,

ф — произвольный вектор

из Хм.

Тог

да

существует элемент и (ЕЕ U (зависящий от ф0, ф)

такой, что

е ( и ) ф0 =

рг (о) ф,

(*)

где р £ (о)

{о + е0 + 2)

(о

+ е 0+

4) . . . (а

е)

при

е > е 0, р£„(сг) =

Равенство (*)

остается в силе,

если

v заменяется на — v,

ф0, ср —

на когредиентные (отно

сительно Е)

векторы

Ввиду

неприводимости

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Х\, каждый вектор ф Ф 0 является

циклическим в Х\

относительно U (Ес). Поэтому достаточно доказать (*)

хотя бы для одной фиксированной пары ф0 ф 0,

Воспользуемся

реализацией ev0 в классе С°° (X ),

X =

С2 \

{0} (§ 10). Положим при v

е„ )> 0

Фо =

(|Х\ |2 +

|2)т4°,

т =

—

Va (<з +

е0 +

2).

Легко

проверить,

что ф0 ЕЕ Х%°-

Применим к вектору

<р0 преобразование

подгруппы

А: хх >->- хге~(,

хг >-»-

к». х2е(, ( £

Пусть ип — касательный

вектор

под

группы А. Вычисляя к-ю

производную по t при t

= 0,

находим

eva (и*) Фо =

Ре (а) ф (m od V ^ ),

е =

е0+

2к,

где

ф — ортогон ал ьн ая

п роекц и я

на

вектора

|х |аО-»>а:$21,+\

|х

|2 =

|хг |3 +

|х2 |2

(при

вычис

Эта лемма будет использована в § 14.

лении используется тождество \х |= 1, х ЕЕ К). Далее, пусть ct £Е U (fG) — проектор на лЕ в прямой сумме ях, 0 ^ Y ^ е. Элемент и — ctu0 удовлетворяет (*). Наконец, заметим, что вектор

Фо =	(I*i \|а + 1хъ \г)тх\° е Ж1“
когредиентен ф0 (действительно,		х2 еЕ £ когредиентно
е j). Применяя	предыдущие	преобразования к cpq,

получаем (*) с заменой ср когредиентным вектором ф' ее

ЕЕ 3LV. Лемма доказана.

Пусть N — натуральный ряд, N* = N \ {0}. Если

(1) р, ? e - N * , то Lp\q содержит собственный подмо дуль Rp|q, порожденный однородными полиномами сте

пени	\|р \|— 1 по х, степени \q\ — 1 по X(dim Rp \q < оо).
Если	(2) р, q ЕЕ N*, то Lv \q содержит собственный под

модуль Fp |q — ортогональное дополнение к i?_p |_а. Из леммы 11.8 легко получить.

Сл е д с т в и е 11.9. Модуль Lp\q приводим только

вслучаях (1), (2).

Доказательство предоставляется читателю в каче стве упражнения (см. также общий критерий неприво димости в § 18). Наконец, нетрудно показать, что R Р\ч №р\ч) — единственный собственный подмодуль Lp\q. Тем самым полностью описываются подмодули Lp\q

при G = SL (2, С).

§12. Конечномерные подмодули

Вэтом параграфе будут описаны все конечномерные подмодули модулей Z>x. Ясно, что каждый такой под

модуль является также	подмодулем Lx.
П р е д л о ж е н и е	12.1.	всякий	неприводимый
конечномерный G-модуль	V вкладывается		в D x посред
ством отображения
£>-»■ \{х) = (х~Ч, />,		? e F ,

где / — старший вектор контрагредиентного модуляУ.

При этом X + Р = — Х'. где %' = Л,||Х — вес вектора /. {Соответственно, V имеет старший вес — w0K|— д>0р,.)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ясно, что £ (х) е С°° (G) и преобразованный вектор g£ переходит в (g £) (х) —

= I (Г"1*)- Если £0 (х) = 0, то Gl0 J_ /

£0 = 0, т. е.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 257 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ