книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

двумя отражениями ipx, w2и содержит 6 элементов (сим­ метрическая группа S3):

* *

*

Содержание § § 1 , 2 относится к классической теории, хотя отдельные результаты изложены только в журнальной литера­ туре (ссылки даются в тексте). Относительно модулей Хариш-

Чандры см. также [23]. Категория (§ 3) рассматривалась в [75] (для более общего случая) в связи с работами Хариш-Чанд- ры. Результаты § 4 выполняются для всех конечных групп, по­ рожденных отражениями. См. по этому поводу [2], [103], [104J, [107].

[ Г л а в а [2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МОДУЛИ

В этой главе излагаются основы теории представлений топо­ логических групп в локально выпуклых векторных простран­ ствах. Читатель, интересующийся только классификацией мо­ дулей Хариш-Чандры, может пропустить чтение этой главы, за исключением предложения 7.5.

§ 5. Представления, модули

Пусть G — топологическая группа, Е — топологи­ ческое векторное пространство над полем С. Представ­ лением группы G в пространстве Е называется всякий гомоморфизм группы G в группу всех автоморфизмов векторного пространства Е.

Имея в виду теорему Хана — Банаха, мы будем предполагать, что Е локально выпукло и отделимо (хаусдорфово). Пусть З5 — базисная система полунорм,

30

определяющая топологию в Е. Условие отделимости оз­ начает, что для всякого £ ЕЕ Е, £ ф О, существует полунорма р Е SE такая, что р (£) Ф 0. Пусть L (Е) — алгебра всех эндоморфизмов векторного пространства Е. Полунормы тр\ (а) = р (а £), Р е SP, £ е Е, опре­

деляют в L (Е) топологию простой сходимости (сходи­ мость на каждом векторе £ £Е Е). Из отделимости Е следует отделимость L (Е). В дальнейшем, если нет специальных оговорок, мы рассматриваем L (Е) как топологическое векторное пространство с топологией простой сходимости.

Следуя терминологии Бурбаки [3], введем

О п р е д е л е н и е 5.1. Представление я группы G называется непрерывным, если вектор-функция я (g) |, g е= G, £ ЕЕ Е, непрерывна на G х Е.

Если вектор-функция я (g) £ раздельно непрерывна на G X Е, то представление я называется раздельно непрерывным. Иначе говоря, в этом случае отображе­ ние g я (g) является непрерывным гомоморфизмом группы G в группу всех обратимых элементов С (Е), где С (Е) — алгебра всех непрерывных эндоморфизмов

ставление я называется равностепенно непрерывным,

если (б) выполняется при U = G.

Если G локально компактна, то (а), (б) =4- (б) для всякого компакта U d G. В частности, если G ком­ пактна, то всякое ее непрерывное представление рав­ ностепенно непрерывно.

П р е д л о ж е н и е 5.2. Если G локально компакт­ на и Е бочечно (в частности, если Е — пространство Фреше), то всякое раздельно непрерывное представле­ ние группы G в пространстве Е непрерывно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку Е бочечно, то всякое ограниченное подмножество в С (Е) равносте­ пенно непрерывно ([4], гл. III, § 5). Поэтому (а)=ф-(б) для всякого компакта U CZ G. Предложение доказано.

31

Иногда удобно писать (или |g-1) вместо я (g) Соответственно, пространство Е наделяется структу­ рой левого (правого) G-модуля. G-модуль Е называется

группа, С (G) — пространство всех непрерывных функ­ ций на G с топологией равномерной сходимости на компактах в G. Положим для / £ С (G):

определяют непрерывное левое (правое) регулярное представление в L2(G).

Оп р е д е л е н и е 5.3. Пусть G — группа Ли, я —

еенепрерывное представление в пространстве Е. Пред­ ставление я называется дифференцируемым, если опе­ раторная функция я (g) дифференцируема в С (Е).

З а м е ч а н и е 2. Достаточно предполагать диф­ ференцируемость в единичной точке e e G . Дифферен­ цируемость в точке е равносильна существованию ин­

32

где з — алгебра Ли группы G. При этом, если я диффе­ ренцируемо, то л ( з : ) е С (Е), х ЕЕ 3, и функция я (g) бесконечно дифференцируема. Отображение х ►-*- я (х)— представление алгебры 9 в пространстве Е.

Соответственно, G-модуль Е мы будем называть дифференцируемым, если представление в Е дифферен­ цируемо.

П р и м е р 3. Пространство С°° (G) с топологией равномерной сходимости всех производных на компак­

где 0>о — базисная система полунорм пространства V, К — произвольный компакт в G, действие U (з) опреде­ ляется левыми сдвигами на G. Правые сдвиги порож­ дают ту же топологию в С°° (G, V) *).

Пусть я*, я2 — два представления группы G в про­

называются эквивалентными (изоморфными), если суще­ ствует сплетающий оператор для пары Яь я2, который яв­

му представлению в С (G) (С°° (G), A2 (G)). Соответствую­ щий изоморфизм задается инверсией: / (ж) ь* f (х _1),

ге б .

Оп р е д е л е н и е 5.5. Представления я^ я2 (мо­ дули Ех, Е2) называются дуальными друг другу относи­

*) Предлагается проверить это в качестве упражнения.

пот]), то представления ях, я2и модули Ег, ^называют­ ся (эрмитово) дуальными относительно формы (£, г)).

О п р е д е л е н и е 5.6. Представление я в пред­ гильбертовом пространстве Е называется унитарным, если оно дуально самому себе относительно скалярного

а: Е —>•Е слабо непрерывен (непрерывен в топологии

находится в двойственности относительно формы <|, тр. Топология а (Е , Е ') называется слабой или ослаблен­ ной топологией в Е. Топология а (Е ', Е) называется слабой топологией в Е' . Сильная топология в Е' опре­ деляется как топология равномерной сходимости на всех ограниченных множествах из Е *). Компактная

*) Заметим, что С (Е) С S (Е ), но С (Е ') I} S (Е ') (см. [3J).

34

топология в Е' определяется как топология равномер­ ной сходимости на всех компактных множествах из Е.

Заметим, что если я, я — дуальные представления

слабой топологии в Е ' . Если G локально компактна и л непрерывно, то я непрерывно относительно компакт­ ной топологии в Е '.

раически (топологически) неприводимым, если множест­

определяет взаимно однозначное соответствие между замкнутыми подмодулями в Е и F.

Действительно, согласно теореме Хана — Банаха, F-L-L — замыкание V (в топологии о (Е, F)).

Говорят, что топология в Е согласуется с двойствен­ ностью Е, F, если F — Е' по запасу элементов, т. е. если всякий непрерывный линейный функционал над

2* 35

сильная топология в Е' согласуется с двойственностью Е, Е ' , то Е называется полурефлексивным. Согласно предложению 5.10, в этом случае существует взаимно однозначное соответствие между замкнутыми подмоду­ лями в Е и Е '.

Пространство Е называется рефлексивным, если Е изоморфно Е" (относительно сильной топологии Е"). Всякое рефлексивное пространство квазиполно и бочеч-

§6. Групповые алгебры

Всовременной математике нет общепринятого опре­ деления групповой алгебры для произвольной тополо­ гической (даже локально компактной) группы. Однако для важнейших классов групп, встречающихся в лите­ ратуре, хорошо известны «естественные» групповые алгебры. Все эти алгебры состоят из функций, основ­ ных или обобщенных, на группе G, и роль умножения

вних играет свертка на G.

1°. А л г е б р а M(G). Пусть G — локально ком­ пактная группа, С (G) — пространство всех непрерыв­ ных функций на G с топологией равномерной сходимо­ сти на компактах из G. Сопряженное пространство

.// (G) состоит из всех Комплексных мер Радона с ком­ пактными носителями на G. Свертка мер р, V E Л (G) определяется по правилу

§ ф (z) d (р * v) (z) = ^ Ф (*У) dp (х) dv (у), <р е С(С). (1)

Условимся в дальнейшем заменять стандартный символ свертки р * v символом умножения pv. Пространство

.М (G) является ассоциативной алгеброй относительно этого умножения. Умножение в Ji(G) непрерывно отно­ сительно сильной топологии М (G) и раздельно непре­ рывно относительно слабой топологии Л (G) — см. [76].

Пространство С (G) естественно наделяется струк­ турой двустороннего Л (С)-модуля. Действительно,

36

где d, (g) — левоинвариантная мера Хаара на G, являет­ ся вложением С0 (G) —►М (G), причем умножение pqp, р Е J (G), совпадает со сверткой мер р, ф(g)dtg. Анало­ гично, отображение

4>(g)^4>(g)drg, cpeGo(G), (5)

где drg — правоинвариантная мера Хаара на G, пере­

гласно теореме Фубини, равенство (1) может быть запи­ сано в виде

жение F ь-»- V1- определяет взаимно однозначное соот­ ветствие между замкнутыми левыми (правыми) подмо­ дулями F d С (G) и слабо замкнутыми левыми (правы­ ми) идеалами в М (G).

Действительно, это следует из предложения 5.10 при наделении С (G), .№■ (G) слабыми топологиями. То же верно для сильной топологии в С (G) (см. § 5).

| 37

П р е д л о ж е н и е 6.1 [4]. Пусть я — непрерыв­ ное представление группы G в квазиполном отделимом локально выпуклом пространстве Е. Формула

ми в С (Е). Это представление непрерывно относитель­

руемых функций на G с естественной топологией (§ 5). Сопряженное пространство 30 (G) состоит из всех фи­ нитных обобщенных функций (распределений Шварца) на G. Свертка аЪ элементов а, ЪЕЕ 30 (G) определяется

3D (G) непрерывно относительно сильной топологии 30(G) и раздельно непрерывно относительно слабой тополо­ гии 3D (G) — см. [76].

38

З а м е ч а н и е 5. Отображение V >->- V-1 опреде­ ляет взаимно однозначное соответствие между замкну­ тыми левыми (правыми) подмодулями С°° (G) и замкну­ тыми *) левыми (правыми) идеалами 25 (G).

Пусть з — алгебра Ли группы G, U — U (9е) — ее

стр. 166. Далее, пусть d g — левоинвариантная мера Хаара на G. Рассматривая, как и выше, отображение ф (g) »-+■

*->■ ф(g)dg, получаем вложения СГ (G) *-►С0 (G) -*■ М (G) —>

нием операции дифференцирования на обобщенные функции. Наше утверждение означает при этом, что

Это утверждение, хорошо известное для евклидовых пространств, легко обобщается на группы Ли путем рассмотрения канонических координат II рода. Предло­ жение доказано.

*) Безразлично, в сильной или слабой топологии (С °° (G) рефлексивно).

39