книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

Вещественной

алгебры 3

(9°, §

1). Ввиду разложения

9е = 3 1 0 92

в прямую

сумму

двух идеалов,

имеем

U — UiUt, где каждая из алгебр U\ — Ui (зг), г =

1,2,

изоморфна Uо = U (зс)-

ассоциированная

с полупростой подалгеброй g0CZ &.

В случае g0 = f

эта категория тесно связана с катего­

дулями

Хариш-Чапдры *).

м о д у л и .

Пусть

1. Г р а д у и р о в а н н ы е

3 — полупростая комплексная

алгебра Ли, Л — мно­

жество

всех старших весов алгебры 3. Для

каждого

Я е А

пусть /х = Кег лх — двусторонний

идеал в

всех векторов ^ e F таких, что J =

(0),

П р е д л о ж е н и е 3.1. Fx — максимальный под­

модуль V, представление в котором кратно л.х.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду

конечной кораз­

мерности /х , подмодуль

F 0 = U (з)

£ конечномерен

матричная алгебра**).

В то же время J

0=

(0)=4>Fj =

= (0). Следовательно,

представление в Fx

кратно ях.

Максимальность Fx очевидна. Предложение

доказано.

Модуль V называется градуированным, если он яв­

ляется прямой суммой своих подмодулей Fx:

F = 0

F\

(нс)

х

П р е д л о ж е н и е

3.2. Всякий подмодуль F 0 гра­

дуированного модуля градуирован (т. е.

F 0 f] Fx d F0

для всех Я).

Для каждого £ ЕЕ V под­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

модуль

F 0 = U {9) |

конечномерен.

Поэтому

F 0 —

*) Результаты этого параграфа будут использованы,

глав­

ным образом, в гл. 4.

2 добавления I.

**)

Это легко вывести из предложений 1,

рованы.

К а т е г о р и я £/х'\

Пусть

д0

— полупростая

2.

подалгебра в д,

А0 — множество

всех

старших

весов

алгебры д0. Для краткости положим U =

U (д).

весов

О п р е д е л е н и е 3.3. Для

каждой

пары

X, р ЕЕ Л0 пусть

U}'P — множество всех

элементов

CZ. t / Xv

для всех X,

р, v е= Л0. В

частности,

f /xx — подалгебра

с единицей,

содержащая

идеал UJ

Подпространство

является левым (правым) модулем над £/хх (£/W).

Заметим также, что

(_ у х

(,*)

для каждого g-модуля F.

Действительно,

CZ

С UJ^V^ = (0). Семейство

условимся

называть

весовой категорией алгебры U относительно д».

П р е д л о ж е н и е 3.4.

Для каждого фиксирован­

ного Хй ЕЕ А0 имеем

[7 =

3

Ux\

х

X

где положено Ux =

(При этом Ux — правый

модуль

над алгеброй UA°.)

Пусть

р — ортогональ­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ное дополнение к

д0 в алгебре

g (относительно формы

Киллинга — Картана).

Согласно теореме Биркгофа —

Витта,

имеем д0-модульный изоморфизм

U ~ S ( 9) ~ S Q > ) ® U ( 6o),

откуда

следует

также,

что

U ас S (р) ® U (д0)//По­

следовательно,

U— градуированный

д0-модуль. Под­

пространство Ux =

{ н е

U: J ^и = (0)} является обра­

Р7^, откуда следует, что [/XX<>FX» =

и

эта

сумма является прямой.

совпадает с

со­

З а м е ч а н и е 1. Множество

вокупностью всех элементов u€EU таких, что uV^ d

Fx

для всех g-модулей F. (Действительно,

полагая V = U

при р = Я0, находим, что J\u CZ UJy.,

т. е.

и е Uх^.)

Пусть £Сх — множество всех классов эквивалентно­

сти неприводимых [/-модулей V, для которых

Vхф

(0).

мых П ^-модулей, где

положено А х = UXXIUJ^.

П р е д л о ж е н и

е 3.6. Отображение V ь->- Vх ус­

У*.-

(1) Пусть

V — непри­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

водимый g-модуль,

|о— ненулевой вектор из Fx°, | —

произвольный вектор из F 4 Ввиду неприводимости,

| =

о при некотором и GE U, откуда также £ = н0£о

при

некотором и0

ЕЕ С/х°х°

(см. (**)). Следовательно,

| 0 — циклический

вектор

Fx°, откуда,

ввиду произ­

предложению 3.2,

8 = LIUJи — градуированный под­

модуль U с компонентами 8х = 8 Г) Йх. ®

частности,

8 х» — максимальный левый

идеал в

А ^0,

содержа­

щий / 0:

/0С

SX° d

Ат,0.

Если 8 х" =

А Яо, то

Ux =

ЦХЛ Яо =

UX8 X" = 8 х для всех

\ е

Ло,

откуда

8 =

U

L =

U.

Следовательно,

если

L — собственный

идеал, то

8Хо =

/ 0.

С другой

стороны, для каждого элемента

и Ez U

пусть и0 —

образ и в U, 4 — проекция и0 на Ux. Положим

L0 =

{ x e = U :

(u x^ E ilo

для

всех

u ^ U ).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если

алгебра

А содер­

жит полную матричную

алгебру М, то А ~

В (g) М,

где В — коммутант М

в А. (Действительно, А как

двусторонний М -модуль — прямая

сумма подмодулей

Чандре (см. [75]), который рассматривал случай

g0=

f

(максимальная компактная подалгебра в д).

Мы

огра­

3.

М о д у л и Х а р и ш - Ч а н д р ы .

если

dim Fx <С °°

для

Я, е= Л, где

А — множество

всех старших весов алгебры ?с.

Примером

модуля

Хариш-Чандры является U =

= U/UJU (см.

предложение 3.4):

U = 0 U\

х

Пусть 3j— аналитический идеал в gG, Z (g,) — центр

алгебры U (gi). Отметим, что имеет место

Z (д,)-мо­

П р е д л о ж е н и е

3.8.

Ux — конечный

дуль для каждого Я ЕЕ А.

gG = 9i © fG на­

Действительно,

из

разложения

ходим

и =

и (з,)

и (?а) ^

и (3)) ®

и (fG),

откуда

также вытекает f-модульный изоморфизм

Ux = f/(g1),//Xo^ C /(g 1)(g).//x0,

где

— f/(fG)//^ .

Остается

заметить, что,

согласно

теореме Костанта (§2),

U (gx) = Z (дД Е (дх) ~

Z (gi) ®

® Е{§^) и dim Е (дД* <

оо для всех Я £= Л.

Из предложения

3.8

вытекает

П р е д л о ж е н и е

3.9. Всякий неприводимый мо­

дуль

Хариш-Чандры t-финитен.

Действительно,

Z (дД Cl Z (д), и злемонты Z (д) дей­

ствуют скалярно

на

любом неприводимом U (д)-мо-

дуле (см., например, [16], стр. 133).

*)

Это замечание в дальнейшем не используется.

З а м е ч а н и е 4.

Пусть G — связная группа

Ли

с алгеброй Ли д. В дальнейшем мы увидим (гл. 9),

что

неприводимые модули

Хариш-Чандры тесно связаны

порождается

образующими wt,

i = 1, 2, . .

I, где

Wi — отражение

по направлению корня он е

S.

I. Следующая лемма хорошо известна (111], стр. 263).

Л е м м а

4.1.

Отражение wt переводит at в — аг и

оставляет инвариантным Д+ \

^аг}.

Пусть

Наименьшее из чисел п, для которых

обозначается I (w)

и называется длиной элемента w ЕЕ W.

В частности,

1(e)

= 0 , где е — единица группы W.

Положим

Aw = {а ЕЕ А+:

wa ЕЕ А- }.

Л е м м а

4.2. I (w) = card Дw.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть е (w) = card Aw.

вательно, если

w Ф е, то Aw содержит он €ЕЕ£.

При

этом

Awwj =

wiAw\ {a t}.

Действительно,

wwtai — — ipat

0,

т.

е. а г 6j£ Агтщ.

С другой стороны,' если

0 < а Ф аг,

то

а ЕЕ A ^ ,-^

4Ф wtа ЕЕ Aw. В

результате e (wwt)

=

е (w) — 1.

Про­

должая этот процесс, получаем:

е (wwh . . . win) = 0,

т. е. w = win. . . wit

для некоторой

последовательности

ilt

г2,

. . ., гп,

п =

= е (w). Отсюда I (w) ^

е (w). В то же время из леммы

4.1 очевидно, что е (w)

I (w).

В результате

I (w) =

= е (w). Лемма доказана.

I (w)

10, где l0 =

card Д+,

С л е д с т в и е 4.3

.0

причем

(1)

Если 1{ ш) фО ,

=

то

существует

а г,

o i

е

АМ1

для которого I (wwt)

I (w) — 1 .

аг

Ду,,

для

(2)

Если I (w) Ф 1 0, то существует аг,

которого I (wwi) =

I (w)

-f- 1.

Действительно, (1) получено при доказательстве

леммы 4.2 (для е (w)), (2) проверяется аналогично.

С л е д с т в и е

4.4.

Существует

единственный

элемент w0E= W, отображающий Д+ на А- (I (w0)

=

10).

Ясно, что I (ww') ^

I (w)

+

I (w'). Следующая лемма

полезна для проведения индукции по I (w).

+

Л е м м а

4.5.

Равенство

I (ww')

=

I (w)

l (w')

имеет место тогда и только тогда, когда

АШ1Р' =

Ау/ U » ' - 1Aw.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

а е Д

то

либо

м/а <

0 (т.

е. а е д » ' ) ,

ww'а <;

0,

либо

w'a >

О,

ш 'а <

0 (т. е. w'a G A » ) .

Следовательно, Ay,„/ являет­

ся объединением своих дизъюнктных пересечений с Д w-,

и>'_1Д„,. Утверждение леммы вытекает теперь из срав­

нения кардинальных чисел. Лемма доказана.

Разложение w =

wijvu. . . wtn называется приведен­

ным, если п = Z(г/;).

Пусть

wa — отражение в

()с по

З а м е ч а н и е

1.

направлению корня а. Из транзитивности W на каме­

рах Вейля следует, что ИЛ5 = Д , откуда

Wa = UWi и-1,

и е= W.

Пусть

и е= W — элемент

наименьшей длины,

для

ко­

торого. и~г a

= 0|G S.

Тогда

wa =

uw(u~x — приве­

денное

разложение

элемента

wa.

Д №-1 =

— wAw.

Заметим также, что I (w-1) =

l (w),

II.

С каждым элементом w е= W связано

разложе­

ние алгебры tt в прямую

сумму подпространств

tty,

^

Cea,

tty, =

Cga .

а>0,г»а< 0

а>о,и)а>о

Очевидно, каждое из этих подпространств является

подалгеброй в tt. Из леммы 4.5 получаем

=

I (w) +

С л е д с т в и е

4.6.

Равенство I (ww')

+ l (w') имеет место

тогда

и

только

тогда,

когда

tty,u/

—

tty/

ф

W

^tty,.

Действительно,

wea

cewa,

с Ф 0.

Пусть N — односвязная связная группа Ли с алгеб­

рой Ли n, Nw, Nw — аналитические

подгруппы

в N,

порожденные tt,„, пш. В гл. 4 нам понадобится

Пр е д л о ж е н и е

4.7. Отображение Nw X Nw -*•

-*■ NWNW является

аналитическим

гомеоморфизмом

на N.

Заметим вначале,

что

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ским гомеоморфизмом

п на N. В частности, все анали­

тические подгруппы в N односвязны и замкнуты. Если

п — прямая сумма

идеала tt0 и

подалгебры ttj, то

N — N^Ni — N 0 X

Nj_ (аналитический гомеоморфизм),

где N 0 — exp n0,

JVj

=

exp «!*).

по

I (w)

Доказательство

будем вести индукцией

(если w — е, то

утверждение тривиально).

Положим

w — wtw',

I (w) =

1 +

I (и/). Согласно следствию

4.6,

имеем

к = пш©

= п,„- ®

® пш,

откуда

=

Согласно

определению

пш,

и шС Я .

Поскольку

а{ — простой

корень, то Сеа. —

идеал в w'nw’ = пЮ{

®

w'вш. Отсюда получаем

‘

NW’ =

Nw

Действительно,

Nw =

Nw-P, где

P = Nw (") Nw> =

= w'^Nw, согласно следствию 4.6

(с заменой w на wi)

Предложение доказано.

Используя

инверсию, находим

З а м е ч а н и е

2.

также, что Nw X Nw

NWNWявляется аналитическим

гомеоморфизмом на

N.

подгруппа точки

III. Пусть

И \ — стационарная

П р е д л о ж е н и е

4.8.

Если

X ЕЕ 0+,

то

W х

порождается отражениями wt такими, что

X _[_а*.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

е

w (ЕЕ W ь,

а ( е

Ав. Полагая а = шог Е

А ' и пользуясь

ортого­

нальностью w в Or, находим

О

<

(X, аг> = <wX, шсц> =

<Х, а> <

О,

откуда Я, _Lai =*■ шг ЕЕ Wx> причем Z(д;шг)

=

I (w) — 1

(следствие 4.3). Рассуждая индуктивно,

находим

wilc е

Wx, /с = 1, 2,

. . .,

re,

Z (шшг1. . . win) = 0=$w =

= и>гп . . . и;*,. Предложение доказано.

Пусть /х

= P(0c)Wx— алгебра всех

И\-инвариант-

ных полиномов над ОсСогласно теореме Шевалле [103],

из предложения 4.8 вытекает

С л е д с т в и е

4.9. Алгебра I х изоморфна алгебре

полиномов от I однородных образующих.

З а м е ч а н и е

3.

Аналогично

рассматривается

стационарная подгруппа любого

семейства

векторов

ИЗ &R.

—

Пусть S\ — система всех корней а ЕЕ S, a J_ X,

полупростая

подалгебра

в

с образующими

еа, е~а,

а Е

SxТогда W ^ изоморфна группе Вейля алгебры 8х

относительно картановской подалгебры

^

=

|с П

С л е д с т в и е

4.10. Пусть 0х — ортогональное до­

полнение в Ос к Ох.

Тогда

Действительно,

из ортогональности 0х к S x следует

неподвижность 0х относительно W%.

IV.

в

Фиксируем в (>с ортонормированный базис и по

ставим

соответствие

каждому

полиному

р (х) =

=

р (хх, . . .,

хп) дифференциальный оператор р (д) =

=

р (dv

. . .,

дп),

di = dldxt, i — 1,

2,

. . .,

I.

Пусть

F x — пространство

всех

решений

системы

уравнений

р (д) f {х)

= р (X) f

(х),

р

е

/ о\

(*)

при

фиксированном

Х(ЕЕ Or , где I q — множество

всех

полиномов из / 0 = P ( 0c)w c нулевым свободным членом.

В частности,

элементы из F 0полиномиальны (см. [107]).

П р е д л о ж е н и е

4.11 [107].

Пусть Н >, — мно­

жество всех W ^-гармонических полиномов. Тогда

Ь \ =

^

е<и>х, *>#„>..

(**)

«6 IV

Размерность F\ не зависит от 'К и

совпадает с поряд­

ком группы Вейля W.

Билинейная

форма

<р , g > =

З а м е ч а н и е

4.

П р е д л о ж е н и е 4.12.

Алгебра

I % порождается

полиномами вида р (х + Л),

р 6Е / 0, £ ЕЕ R.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

R\ — множество

к условию

ортогональности с R xP(l)с)- Следовательно,

R%P (f)c)

=

U p

(&с). в

частности, It CZ R\P (fjc). Ус­

редняя по W x, находим,

что It d

R^I*. Отсюда заклю­

чаем, что It порождается однородными компонентами

элементов R x. Предложение

доказано.

V.

В заключение опишем естественную упорядочен­

ность в группе W (см. [28], [107]).

и/

w,

если

О п р е д е л е н и е

4.13.

Положим

приведенное разложение w' получается вычеркиванием

некоторого набора сомножителей из приведенного раз­

ложения

w.

5. Нетрудно показать,

что всякий

З а м е ч а н и е

элемент

w'

w получается

указанной

операцией из

фиксированного

разложения

w.

Напомним, что wa — отражение в [)с по направлению

корня ос.

4.14

[28]. Элемент w' непос­

П р е д л о ж е н и е

редственно

меньше

w тогда

и

только

тогда,

когда

w = waw ', a S

А,

I (w)

= I (w') -j- 1.