книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

идеалов. Другим критерием полупростоты является равенство д§ = д, где dg = [9, g] — производная под­ алгебра алгебры д.

Ясно также, что всякая простая алгебра Ли являет­ ся полупростой. Структура комплексных полупростых алгебр Ли хорошо известна — см., например [11], [12], [23], [25]. Мы ограничимся сводкой основных резуль­ татов и обозначений.

1°. Пусть g — полупростая комплексная алгебра Ли, § — ее картановская подалгебра (максимальная расщепимая коммутативная подалгебра в д), Д — система всех ненулевых корней относительно (>. Алгеб­ ра g имеет вид прямой суммы

3 — О0 2

аед

где еа — корневой вектор, отвечающий корню а (опре­ деляемый однозначно с точностью до скалярного мно­

пространство, дуальное к ф). В частности, Л вклады­ вается в (). Если а е Д, то па Е А только при п = + 1 . Соотношения коммутации в алгебре g имеют следующий вид:

при а -[- р ее Д. Система Д порождает (j. Форма Кил­ линга — Картана положительно определена и прини­ мает вещественные значения на вещественной линей­ ной оболочке (щ системы Д.

2*. Фиксируем в Д лексикографическую упорядо­ ченность (относительно некоторого базиса в Or). Пусть Д+— система всех положительных корней относитель­

10

подалгеброй в g. Подалгебры

Ь _ = Ъ ® п _ , 6+ = ^ф п+

являются максимальными разрешимыми (борелевскими) подалгебрами в д. При этом дЬ_ — п_, db+ = «+. Иногда для краткости мы будем использовать обозна­ чения п, Ь вместо п+, Ь+.

3°. Корень а 0 называется простым, если его нельзя представить в виде суммы двух простых корней.

гебры g. Система S определяет алгебру g с точностью до изоморфизма. Положим

§а — гиперплоскость в ф, ортогональная корню ос, wa—

ется камерой Вейля. Примером камеры Вейля является

С+ = {х Е ^ : ^ > 0 , i = 1, 2, . . ., /}.

Замыкание С+ обозначим ф+. Векторы х ЕЕ f)+ называ­ ются доминантными. Камера С+ называется доминант­ ной камерой Вейля. Группа W просто транзитивна на

11

Вектор р £= t) называется весом алгебры д, если он яв­ ляется весом некоторого конечномерного д-модуля. Множество Г всех весов является целочисленной ре» теткой в (щ с образующими е;, < — 1 , 2, . . . , / , где ег— дуальный базис к векторам

сц = 2а4/<сц, а;), i = 1, 2,К . I.

6°. Всякий неприводимый конечномерный д-модуль определяется с точностью до изоморфизма своим стар­

п\ = dim Ех =dim Ех, щ, (р) = dim Ех (р )= dim Ex (—р).

весами алегбры д. Образующие ег (представления л**)

называются фундаментальными весами (представления­ ми) алгебры д.

7°. Корневые векторы еа можно нормировать таким образом, чтобы структурные константы N aр удовлетво­ ряли тождеству

N-«,-a = — Nae, а, р е А.

Определим транспонирование х *-*■ х в алгебре g по правилу h’ = h при h ЕЕ Ь, б-а при а ЕЕ А. Это транспонирование (при указанной нормировке) являет­ ся антиавтоморфизмом алегбры д. Определим эрмитово сопряжение х ь* х* в алгебре д, полагая х* = х' •> где черта — комплексное сопряжение относительно ве­

! = ( г £ g: х* = — х}

всех косоэрмитовых элементов из g является компактной

12

вещественной формой алгебры 3. Форма <х, у >, х, у ЕЕ !,

9°. В дальнейшем мы рассматриваем алгебру 9 как алгебру Ли над полем R. Комплексную структуру ал­ гебры 9 обозначим 9с, либо тем же символом 9, если это не вызывает недоразумения. С другой стороны, комплексификация gG алгебры 9 изоморфна 9с ® 9сМы ус­

Соответственно, алгебра fGотождествляется с множест­

9е по линейности. Представление л называется анали­

10°. Пусть G = ехр л (9) — аналитическая линейная группа, порожденная присоединенным представлением л алгебры 9. Группа G называется присоединенной группой алгебры 9, она совпадает со связной компо­ нентой единицы в группе Aut (9) всех автоморфизмов

k £Е G и является максимальной компактной подгруп­ пой в G. Положим М = ехр л (ш), Ш = Г) £> и пусть М '— нормализатор алгебры й = (щ в группе К . Груп­ па МЧМ изоморфна группе Вейля W . Все компактные вещественные формы алгебры 9 сопряжены алгебре f относительно группы G. Все максимальные разреши­ мые (борелевские) подалгберы в 9 сопряжены одной из алгебр Ь_, Ь+ относительно группы G. Подалгебры Ь_, Ь+ сопряжены друг другу относительно группы W .

13

алгебр Картана Е й,Еч, Е 6, Fi, G2(индекс внизу обозна­ чает ранг). Классические алгебры являются алгебрами

обозначаются также соответствующими строчными сим­

12°. В частности, существует единственная, с точ­ ностью до изоморфизма, простая комплексная алгебра Ли ранга 1 (Л4). В этой алгебре существует базис из

А ! (со старшим весом б) является матричное представ­

U (д) — ассоциативная оболочка алгебры g над полем Ф. Алгебра U (д) является факторалгеброй тензорной алгебры над g по идеалу, порожденному элементами вида ху — ух — [х, у], х, у д. Алгебра U (д) назы­

факторалгеброй тензорной алгебры по идеалу, порож­

14

я (х) аЬ = (я (х) а) b + а (я (х) Ь), г Е д .

Пусть а — линейный изоморфизм S (g) —>•U (9), полу­ чаемый путем симметризации одночленов (*) по всем перестановкам индексов г-!, г2, . . ., ik *). Отображение а является g-модульным изоморфизмом (относительно присоединенных представлений в S (g), U (g)). При этом

а'- Sk($)—>Uk(e)’ к = 0, 1, 2, . . . ,

где Sk (g), Uk (g) — фильтрация в S (g), U (g), индуци­ рованная фильтрацией по степеням в тензорной ал­ гебре над g. Пусть е = а-1 — обратное отображение, и для каждого и £Е U (g) пусть со (и) — старшая компо­ нента однородности элемента ей £= S (g). Легко про­ верить, что

со (uv) — со (и) со (г;), и, v ЕЕ U (g),

и со (ах) = х для всех однородных элементов х GE S (g). Отсюда ясно, что алгебра S (g) изоморфна градуиро­ ванной алгебре gr U (g), ассоциированной с U (g).

Пусть G — присоединенная группа, действующая в g. Определим ее действие %>-»- \g, g ЕЕ G, в дуайьном пространстве g' как операцию, сопряженную к я (g).

G-инвариантных элементов S (g). Иначе говоря, I (g) — множество всех элементов S (g), которые аннулируются

15

операторами л (х), г Е (| . Отсюда вытекает извест­ ный результат, принадлежащий Гельфанду [36]:

a /( 8) = Z ( 0)

(изоморфизм векторных пространств), где Z (9) — центр

U( 8 ) .

II.Т е о р е м а Ш е в а л л е . В дальнейшем мы

считаем, что 3 — полупростая комплексная алгебра Ли. Пространство 9' отождествляется с 9 при помощи

щая теорема, принадлежащая Шевалле (см. [12], [24]), дает конструктивное описание алгебры / (3):

A. (Теорема Шевалле). Всякий полином над §, ин­ вариантный относительно группы Вейля W , продол­ жается единственным образом до полинома над 9, ин­ вариантного относительно G.

рождается отражениями, то, согласно другой теореме Шевалле [103], имеем также:

B. Алгебра I (()) порождается I однородными об­ разующими (I = dim (> = rank 9). При этом I (()) изо­ морфна алгебре всех полиномов от этих образующих.

Числа Hi называются экспонентами (примарными эк­ спонентами) алгебры 9 *). Укажем список экспонент для простых комплексных алгебр Ли:

*) Эти числа связады также с числами Бетти группы G,

III. Т е о р е м а К о с т а н т а . Пусть 3s (3) — алгебра всех дифференциальных операторов с постоян­ ными коэффициентами на 3. Алгебра S5 (3) естественно изоморфна S (3). Пусть О (3) — образ I (3) относитель­

но этого изоморфизма. Полином р ЕЕ Р (3) называется гармоническим, если up = 0 для всех однородных эле­ ментов « 6 J (3), deg и Ф 0.

Пусть Н (3) — множество всех гармонических эле­ ментов. Следующая теорема, принадлежащая Костанту [70], описывает алгебру S (3) ~ Р (3) как модуль над

/(9) .

С. (Теорема Костанта.) Алгебра Р (3) является сво­ бодным I (3)-модулем, базисом которого является линей­ ный базис Н (з):

Р (3) = / (3)tf(3) ~ / < e ) ® ff(e).

Всякий гармонический полином однозначно определяется своими значениями на орбите общего положения в 3.

С л е д с т в и е . Н (q) ~ Р (Ох), где Ох — орбита общего положения, Р (Ох) — множество всех регуляр­ ных функций на Ох.

где положено Е (3) = аН (з).

Поскольку присоединенное представление сохра­ няет фильтрацию в S (3) (U (3)), то оно вполне приво­

17

d(V : Е) = dim Hom3(.E, V).

Следующий результат, принадлежащий Костанту [70], является уточнением теоремы С:

D. Пусть пк (ц) — кратность веса р, в неприводи мом д-модуле Е к. Тогда

d(H (д)х :Я х) = их(0).

Пространство Н (д)х содержит базис из однородных

вариантных элементов U (д) (коммутант подалгебры 0). Легко проверить, что

Р: Я(д)н ->Я(^),

где U (()) отождествляется с U ((0) 0 (>). Отождествляя также U (f)) с £ (I)) ~ P(lj), заметим, что р: Z (д) —>

—*■!($) = Р {b)w. При этом имеет место (см. [23]):

18

Е. (Теорема Хариш-Чандры.) Отображение (3 яв­ ляется алгебраическим изоморфизмом Z (д) на I (()).

Отметим] иллюстрацию теоремы Е в терминах тео­ рии представлений (из которой также легко получить доказательство этой теоремы). Пусть б — полусумма положительных корней в алгебре 1). Длн каждого ) , £ ^ определим левый идеал 1\ в U (д):

/ х = £/(дЖ Я ) + г/(д)п+,

чить, что всякий центральный элемент z E Z ( g) являет­ ся скалярным оператором в М х:

z = у (X, z) е0 (mod / х).

Здесь у (X, z) при каждом X — характер алгебры Z (д) (ненулевой гомоморфизм в поле С). Нетрудно видеть,

что z (X) — полином от X, причем его старшая компо­ нента однородности z0 (Я) имеет вид

Применяя индукцию по степени и теорему Шевалле,

Вдальнейшем мы будем рассматривать также

алгебру U = U (дс), где gG — комплексификация

1Я