книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

х = lim Ьпх — lim 8пх8п,

/^ч

Ц П

' '

(ху)(е) = (х, у), i £ X , s e i '

(5)

y(v,a)=- em(y),

у<= Ж.

(6)

П р е д л о ж е н и е

31.3.

Для

элементов у ЕЕ Ж

преобразование Фурье

определяется

по

формуле

<х,У> =$ sp(x(v, a) y(v, o))d\i(v, а),

г е Х .

(7)

Действительно, это равенство, согласно (5), совпа­

дает с

формулой

обращения

для

элемента ху ЕЕ X.

Операторную функцию (6)

мы будем называть пре­

образованием Фурье элемента у ЕЕ Ж.

Положим также

у (с)

= 0 у (v,

а).

IV.

А л г е б р а

® =

V

Для

описания

ал­

Ш0 (2).

гебры,

двойственной

к Ж, опишем вначале более ши­

вкладывается

в

Л'.

Пусть

g (©) — множе­

О п р е д е л е н и е 31.4.

ство всех эндоморфизмов

пространства ©, для которых

ограничена хотя

бы одна из норм

я (а) = 18~пщ8~пг|,

Ri,n2E N .

(8)

Пусть g0(©) — подпространство

всех

элементов

а ЕЕ g (©),

диагональных

в сумме

©

= 0

© v (т. е.

a©v СЕ ©v.

v е

Г).

V

для

всех

а ЕЕ © (©),

Заметим,

что

aba ЕЕ & (©)

П р е д л о ж е н и е 31.5.

© (©)— двусторонний

идеал в

Ъ{Щ-

Полагая х — ab, а ЕЕ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ЕЕ © (Э),

(S), заметим,

что хх* — abb*а* ЕЕ

ЕЕ © (S),

откуда

эрет*

оо,

и то же верно для б'Чсб” *.

Аналогично рассматривает

ся у = 6а.

Предложение

доказано.

Соответственно, билинейная форма

<а, Ь) = sp ab’,

а ЕЕ ©(S),

f c e S ( S )

определяет

двойственность между

© (£)) и

$

(©).

О п р е д е л е н и е

31.6. Пусть 3 =

3

((>с) —

| / ( a ) K C ( l +

|eD»e*e<r..>f

n e N ,

Г Е ^ ,

(9)

при фиксированных С,

п, г (зависящих от /).

Пусть

3г, — подпространство

всех

элементов

/ ЕЕ 3,

удов­

летворяющих (9)

при

г --

7*0

е, с

произвольным

рье устанавливает

двойственность

между

3) ((щ),

3 (см. [15]).

говорить,

что

операторная

функция

Условимся

а (а) со

значениями в Н от (Е,

F) является функцией

класса

3 (класса

Зг), если <а (а)|,

т)> содержится в

3 (в Зг) для всех

^ е £ ,

Т1 е

F'.

О п р е д е л е н и е

31.7. Пусть <Щ— алгебра всех

операторных функций а (а) со

значениями в g0(©),

класса

3 по а,

для которых ограничена хотя бы одна

из

норм

II« llpnr =

sup р (а (о)) (1 +

II аIIP e_Re<r>°>,

(10)

О

при

фиксированных

р ЕЕ SPo,

п E N ,

?• е

(j+,

где

9>0 определяется формулой (8).

Пусть

@ Го _

подпро­

странство всех

элементов

а Е ®

класса 3 Г(> по

о.

Заметим,

что

aba ЕЕ А

для

всех

я е Я

Отсюда также

вытекает

31.8. А является двусторон­

П р е д л о ж е н и е

ним

идеалом в алгебре ©■

Полагая

— ab,

а ЕЕ А,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

х

6ЕЕ ©, заметим, что

хх* ЕЕ А

и полунормы ра (а) —

—

|sp а {а) |,

р (а) =

max ра (а)

непрерывны

в

А.

Отсюда находим,

что

а

да (х) = Iх (<з)||н= sp х (а) х (а)*

удовлетворяет оценкам (2)

§ 20,

и то же верно с заме­

ной х на б^хб"2. Следовательно,

Аналогично

рассматривается у =

Ьа. Предложение доказано.

Соответственно, билинейная

форма

<о, b) = ^a (v, а) Ъ(v, а) d\i (v, а),

а ^ А ,

Ъ ^ © ,

(11)

определяет

двойственность

между

А

и

©.

Положим Жг =

{ у Е

Ж: supp х е

Gr}.

Фурье

П р е д л о ж е н и е

31.9.

Преобразование

Ф: у ь* у (а) =

®

у (v, а) является гомоморфизмом ал-

гебры Ж е

V

причем

Жг ->■ © Т-

алгебру

напомнить

(§

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

6),

что Ж=

UC0 (G).

Вложение ФС0 (G)

СИ ©

про­

веряется так же, как

и

вложение

ФХ d

А

(§ 30).

Умножение на Фк, и ЕЕ U, не меняет типа целой функ­

ции.

Предложение доказано.

© 0 (2).

Введем

обозначение

© =

V. Т е о р е м а д в о й с т в е н н о с т и д л я Ж.

Пусть 51 — алгебра всех

элементов

а ЕЕ ©,

удовлетво­

ряющих соотношениям

симметрии

§ 16

(относительно

W

и W).

51 Q

@ г.

Положим 5tr =

V

St, причем Жг <-> Str.

алгебру

Пусть

ЪЕЕ Str. Заметим,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

что (11) определяет вложение

@

в А ', и положим у —

= Ф~гб,

где b рассматривается

как

элемент А ’.

По­

ложим

Уп — бпг/бпЕЕ X ,

где бп определяется

формулой (4),

supp бпЕ (? е)

е =

= е (п)

0. Тогда сп = Ф6Пе

A t =$>Ьп =

Фуп = спЬсп е

^ А г\й)

откуда заключаем (теорема 28),

что г/пЕЕ Х г+2е.

Следовательно,

У ^ Н т упЕЕ

П

(предел

в т о п о л о г и и

X'), т.

е.

Ф-1:

Str -> Жг.

Об­

мы Пэли — Винера — Шварца (см. [15]).

З а м е ч а н и е

2.

Соответствие между Ж, St яв­

ляется

топологическим

изоморфизмом

относительно

слабых

топологий

сг (Ж,

X),

a (St,

А).

(То же верно и

для сильных

топологий.)

т е о р е м ы . Изложение бу­

VI.

Л о к а л ь н ы е

дет неполным, если не отметить более глубокие ло­

кальные теоремы для Ж, которые являются аналогами

результатов

§ 29.

е^Же^, X,

р ее Л.

Положим

=

Из

теоремы 29

получаем

Stx>\

С л е д с т в и е

31.10. ФЖХ(А =

Этот результат является аналогом теоремы полно­

ты § 29.

всех

функций / (v,

а)

Пусть 3х** — множество

со значениями в Н от (Е^(v), Е* (v)), класса 3 по а, удов­

летворяющих

уравнениям симметрии §

16.

Из опреде­

ления 3(Х1А ясно, что

St^ =

Jf-ф 0 3xl\

где Му#. — Н от (Е

Е х). Множество

Зх^

совпадает

с категорией Фурье

для

определяемой для

алгебры

Ж

по аналогии с

X-

Т е о р е м а

30

(редукционная

теорема). Пусть

31Х[А(е) — множество всех

элементов

/

ЕЕ 3Х(Х таких,

что / (v, cr) = 0 при v+ >

е.

Тогда

3 l^ (e )=

2

Sxsg81".

(12)

6 < €

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

g*1 — множест­

во всех сужений

/

е= gX|i на индекс

v.

Положим

ж* _

5

ж _ CEV+

O v

--- Ov

Ov --- Ov •

С л е д с т в и е

31.11.

31х^ = 2

5x8g8l\

В частности,

пусть 31х =

8<t

91хх.

С л е д с т в и е

31.12. 91х =

2 gx8g8x-

5<Х

Из определения 91х следует

также, что Зх/91х~ Г х ,

где положено 3х = Зхх.

Соответственно, для алгебры Xх имеем

Ях/§>х~

. / ^

0 Гх,

где положено §)х = Ф-1 (

® 31х).

Отметим симметричность полученных формул (срав­

нительно с локальными

теоремами для X).

классы

функций на

G:

финитные

функции

класса

L2 (G),

быстро убывающие гладкие

функции

на G,

обобщенные функции

с

носителями

в К.

Полагая

х — у,

получаем

формулу Лланшереля

$ \х (g) 12dg = ^ sp |x (v, з) |2dp (v, з),

где

положено

|х (v, cr)

|2 =

х (v,

а) х (v,

o')*).

Соответственно, преобразование Фурье продолжа­

ется

до

изометрического

преобразования

L2 (G) на

З2 (2 ),

где

22 (2 ) — множество

всех

операторных

функций х (v,

ct) ( © v —>-©v), квадратично

интегри­

руемых

относительно dp (v,

а) (см. (81]).

В частности,

пусть

Ж — Lq(G) — пространство

та)

функций

из

L2 (G)

*).

ф = § (2 ) — простран­

С другой

стороны,

пусть

ство всех функций из

S2 (2 ),

класса 3 по а,

удовлет­

воряющих

равномерным оценкам

||a;(3)|KCeR e<r-°>,

(1)

где

х (а)

=

® х (у,

а)

— норма

оператора

х в

уни-

V

© v.

тарном пространстве

функций

из

рав­

Пусть

Ж г — множество всех

Ж,

ных нулю (почти всюду) вне компакта Gr.

из (Q,

удов­

Пусть § г — множество всех

функций

летворяющих

(1) при

фиксированном г £Е (>+.

Т е о р е м а

31.

Преобразование Фурье

устанавли­

ранствами Ж

и

Ж г и $ г.

х ее Ж по­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для каждого

ложим

я О3) =

$ * (8) 8 (в) dg,

где g (о) = Ф ev0 (g).

Если

х е= Ж г, то

мы имеем

V

IIх (б) II <

$ Iх (8) IeRe <г’ а> dg = II х fa** <r' °>,

I * I! <

$

dg$ |ж(g) \4g =

CrI х |||,

G T

где Ст=

mes Gr,

|x ||2 — норма

x

в L? (G).

Следова­

тельно,

x

(а)

содержится

в §.

§ г,

С

другой

стороны,

пусть

х (а) — элемент

x(g) — его

прообраз

Фурье

в L2 (G).

Производя,

как и в § 31,

операцию сглаживания, получаем элемент

хп(g) =

(бпа:6„) (g),

х п^ Х ,

образ Фурье которого содержится в А г+2е, е =

е (/г)->-0.

При этом хп (g)

х (g)

почти всюду,

откуда заклю­

чаем,

что

x(g) — элемент Ж т.

Теорема

доказана.

З а м е ч а н и е

1.

Теорему

31 удобно

выразить

также в терминах ядер х (к:, /с2,

V,

а)

(см.

§

30) таких,

что

5 1х (Al к„ v, а) 14\i (v, з) <

оо.

2.

А л г е б р а

«2? = СГ (G).

Положим

|g |=

= max I g |г для элементов

g ЕЕ G.

Функция х (g)

на

1< i< l

группе G называется быстро убывающей, если

| * (г )| < с »| * Г . « = 0, 1 , 2, . . .

(2)

Пусть

ЗС — СТ (G) — пространство

всех

функций

на

G, быстро убывающих вместе со всеми производными,

с топологией,

определяемой полунормами

р (х) — max |(их) (g) |•|g Ц",

b £ N ,

u ^ U .

Заметим,

что ЗС — полное монтелевское пространство.

но свертки.

стороны, пусть

Е (Ос) — пространство

С

другой

всех

целых

функций / (о),

о е

Ос»

с ограниченными

полунормами

p(f) =

max |я (а)/(б) |,

c e R ,

л е Р (Ос)-'

Re а—с

(Достаточно'

рассматривать c e N и заменить я (а) на

I о-р, к О,

1, 2, . . .) Положим

Я = Яо(2) = ® о (© )0 Я ($ с).

но IT и W).

Фурье

устанавли­

Т е о р е м а 32. Преобразование

вает топологический изоморфизм

между

алгебрами

при достаточно большом

n E N ,

и

то же

верно

для

6п'х8п> Е

37, пх,

п2, Е N,

т. е.

х (а) принимает зна­

чения в

(£0 (©).

Кроме

того,

при

ф Е

ф Е

ЗУ

функция

=

Е \

К, \i <= Л,

где ,27х'1 =

е ^ е 1",

=

еХЛ

\

Л,, р G

Л.

(3) Повторяя рассуждения, проведенные при дока­

зательстве

теоремы

28,

находим,

что

ФЗЗ = Ew

(топологический изоморфизм).

Теорема доказана *).

3.

А л г е б р а

& =

33 (G,

К).

Пусть

5? — алгеб­

ра всех обобщенных функций с носителями в подгруп­

пе

К.

стороны,

пусть П — алгебра

всех поли­

С другой

номиальных

функций

из

Т е о р е м а 33. Преобразование

Фурье

определяет

взаимно

однозначное

соответствие

между

алгебрами

Я,

П.

(схема).

Из

разложения

Д о к а з а т е л ь с т в о

G — КЛ+К и равенства

|kxak2 fl

= 1 а |

находим, что

& = Х0( —

%г при г =

0).

Согласно

теореме

8,

ФЯ =

ФХо =

Э1„.

Г:

% -*&<^33{Р), Р =

К х К х А .

При этом у:

3tr

(£г =

{/ £= (£:

supp / d

£>>}• В част­

ности, &0 =

U (р),

где

р — алгебра Ли

группы Р, от­

где

— весовая

категория

алгебры U (§ 3). Отсю­

да,

ввиду теоремы

полноты §

24,

находим

С л е д с т в и е

32.2. ф й ^

=

ф £/Х!\

Полученный

результат

можно

сформулировать

следующим

образом.

Пусть

,

U#, П* — прямые

суммы

подяространств

&xw, £/х,1е,х,

Пх5\

С л е д с т в и е

32.3.

Ф й # =

Ф и*

=

П*.

в

В

этих

терминах

(Ф и # =

П#)

формулируется

[60] теорема полноты операционного исчисления.

4. П р о с т р а н с т в о

X'.

Теорема

двойственно­

сти для алгебры X позволяет также описать простран­

ство

X',

сопряженное

к

X.

элемент /

ЕЕ X'

П р е д л о ж е н и е

32.4.

Каждый,

может

быть

представлен

в виде

/

=

шр,

U £

U,

ф £ : С (G).

Доказательство

опускается

(см. [61]).

5.

Ц е н т р

а л г е б р ы

25 (G). Теорема двойствен­

ности для алгебры Ж =

3) {G)

позволяет также

опи­

сать центр 8 = 8 (G) алгебры

25 (G).

J

Заметим, что 8 — множество

всех элементов i

e

таких, что xg — gx для всех

g E G .

функций

Пусть

© — алгебра

всех

скалярных

a (v,

а)

=

s (v,

сг) 1 v, где s

(v,

or) — числовая

функция

класса

3

по

а

такая,

что

s (v,

а)

=

/

(р,

q)

=

/

(wp,

w'q),

w,

IV е

И',

при

р =

V2 (от +

v), q =

V2 (о

— v).

Из теоремы

29

вытекает

Фурье

явля­

С л е д с т в и е

32.5.

Преобразование

ется изоморфизмом 8 на ©.

Действительно,

из теоремы о неприводимости (§ 18)

вытекает скалярность а (%) =

a (v,

а)

при

%6Е 2 °,

но тогда,

по

непрерывности,

и

для

всех

х е

2 .

6. П р о с т р а н с т в о

ЖХ|А.

Рассмотрим

ЖХ[А как

модуль

над 8-

Т е о р е м а 34. Жх>х — модуль конечного типа над 8.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

проверить,

что $tx^ — модуль

конечного типа над ©.

©, =■

(1)

Заметим,

что

©

содержит

подалгебру

= (/

(п +

v):

/

что

Г„}

~

Г 0.

По

аналогии

с

леммой

27.7,

находим,

T v — модуль

конечного

типа над