книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

С л е д с т в и е

29.7.

Факторалгебра

X\lY\

изо­

морфна

узловой

алгебре

^ = Z(bc)wK

С л е д с т в и е

29.8.

Факторалгебра

X\lYо

ком­

мутативна.

V.

В заключение этой главы приведем описание мно­

жества

всех

характеров

алгебры С/\ (ненулевых гомо­

морфизмов

—> С).

29.9.

П р е д л о ж е н и е

Всякий

характер

ал­

гебры

определяется

значением

функции в

точке:

м- (/) — / (6o)i

<з0е ()с-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Фиксируем функцию /0 ЕЕ

е

h -к,

ДЛЯ

которой

р (/о)

=

1, и

для

каждого

р е

е

/х =

Р (Hc)Wx положим

р (р)

=

р (p/о).

Тогда

имеем

^ (ру)

=

р (pgfo) = р (pqfl) =

И- (Р) F (?)>

т. е. р >-> р (р)

— характер

алгебры

/х .

Поскольку

/х — свободная алгебра полиномов,

мы имеем

М- (pf) — Н-

(р / / о) = р (р)

Н- (/) =

Р (ог0) р (/)•

Пусть

zi,z2,

..., гг — образующие

алгебры

/ х.

Положим x t — Zi — Zi (ао), i =

1, 2, ...,

Z. Каждая фун­

кция / S . j x

является целой

функцией от х ь i =

1,

где /о (а)

не зависит от x t (в

переменных хг,

i =

1,

2 . . . .. /) .

Заметим,

что /0 ее (У^. (Действительно,

если

|/0 (а) |е-Ее<г>а> неограниченно

растет на

последо­

вательности точек

оп ЕЕ (>С) то

это же верно для то­

чек "ой,

получаемых из оп проектированием

на плос­

кость

xi

= 0 в пространстве

переменных х и

i =

1,

2.. . .,

I,

что невозможно при /

£Е Zr.) Отсюда имеем

/о €= (Ух

^1/ г

ных ж2,

х а,. . .

, xh находим, что всякая функция / £Е

е

С/х, /

(о0) =

0,

имеет

вид

i

/ ( 3) = 2 *<Л(в). A e J x ,

i = 1» 2 , . . . , Z.

i= l

Отсюда р, (/) =

0, т. е. р =

0 на гиперплоскости /

(0О) =

=

0.

Так как

р — линейный функционал, отсюда сле­

дует, что р (/) =

с/ (<з0), с

— const. Поскольку р (1)

= 1,

мы находим, что с =

1.

Предложение доказано.

С л е д с т в и е

29.10.

Всякий характер

алгебры

Cfx непрерывен.

Результаты, полученные в этой главе, можно непо­

средственно применить к

решению задачи о классифи­

кации

неприводимых

представлений группы

G.

Мы

отложим рассмотрение этого вопроса до гл. 9.

Изложение в этой главе следует работе [61].

Для G

= SL

(2, С) результаты этой главы были получены

в [48],

[49]

(подробное изложение см.

в [54]).

Г л а в а

8. ГЛОБАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Теорема двойственности, доказанная в § 29 для алгебры Х # ,

всюду

плотной в

X ,

обобщается на

X стандартным процессом

шем вначале

более широкую] операторную алгебру,

к элементам

которой применима формула обра­

щения.

метрики L2 (К).

в (©)

для

алгебры всех

эндо­

Введем

обозначение

морфизмов

пространства

© с ограниченными нормами

р (а) = 16п,аб,1*||1

щ, Bs e N ,

(1)

где

I а I — норма оператора

а

в пространстве ©,

б =

=

1 + р, р — оператор Лапласа — Бельтрами (§ 7) *).

Пусть

S0(®) — подалгебра

всех элементов

а £=

€Е S (©),

диагональных

в

сумме

© = 0 ©„ (а©„ =

операторных функций

а

(о),

о €Е Ьс, со значениями в

S 0(SO), класса Z

по

о,

удовлетворяющих

оценкам

la Inp (a (a ))< C npeRe<r,0>,

и е

N,

(2)

где ^о — система

норм

(1)

в S0 (©). Пусть

Лт—

щих (2) при

фиксированном г €Е (>+.

Мы

будем

рассматривать S (©) как топологическую

алгебру

относительно норм (1). Введем топологию в

.Лтпосредством системы норм

подпространств Лг.

положим

х (a)

=

© х (v, а),

Для

каждого

i £ X

где х (v, а) =

V

eva (х) — образ Фурье элемента х.

П р е д л о ж е н и е

30.2.

Отображение х н-»- х (о)

является

топологическим

гомоморфизмом

алгебры X

в алгебру Л,

причем Х г —> Лг.

х (о)

может

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Оператор

быть

записан

в

виде

] х (g) g (о)

dg,

где

положено

g (a) ф(k) = aoa-p ф (к0),

a0=

a (g_1fc),

к0 =

к (g_1&).

*) Заметим, что операторы

a e S (©)

непрерывны

в топо­

логии

С °°

( К ) (см. предложение 7.7).

Спр = Спр (я) = max |znx (g) |,

z „ e 2 Ы ,

g

— непрерывная

полунорма в Х г.

Остается заменить

х ЕЕ X на 8n,x&nt ЕЕ X .

Предложение доказано.

Введем обозначение Л = Л0 (S).

что

З а м е ч а н и е

1. Из дальнейшего будет ясно,

0(©)<8>Z

(алгебраический

и

топологический

изоморфизм).

реа­

2°. А л г е б р a

SB. Опишем функциональную

лизацию алгебры Л. Отметим вначале

П р е д л о ж е н и е

30.3. Элементы а Е ® (Щ яв­

q (а) = 18п‘а8п*|н,

пъ n , e N ,

(4)

где |а |н = {sp (а*а)}'’2— норма

Гильберта — Шмид­

та оператора а. След sp а является

линейным

непре­

рывным функционалом в © (©).

ег, i = 1, 2,..., —

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

ортонормированный базис в

JD, составленный из мат­

ричных элементов группы К ,

6г — собственное

значе­

ние оператора б на векторе е*. Нормы

г (а) = sup |a{j |бГ'б"1,

щ, п2е N,

(5)

и

с »

(к х А).

Интегральный

оператор

Д о к а з а т е л ь с т в о .

6п,абПг е

© (©) имеет

ядро

б?*б£’а (ки к2),

где

6Ь

62 — действие б по переменным kt, к2. Нормы (4)

при­

нимают вид

q (а)2=

J |б?‘б2*а (къ к2) |2dkxdк2.

Заметим, что 6i +

б2 — 2 — оператор Лапласа — Бель-

трами на К X К . Согласно

предложению

7.7,

нормы

<7(а) определяют топологию в С°° (К

X К).

Предложе­

ние доказано.

©0 (©) при

указанном отоб­

Пусть

©о (А) — образ

ражении. Заметим, что С°° ( К X К) — замкнутая пря­

мая сумма подпространств ©^„,

(i, v e T , где ©jxv выде­

ляется условием

/ (&i> &г) —

{k-jn, к2) = т -7 (къ к2т~г),

т ^ М .

Легко проверить, что ©0 (А)

— диагональ в этой сум­

ме,

т. е.

сумма

©vv,

v €Е Г.

Следовательно,

©0 (А)

замкнуто в

С00(К X К).

Мы наделяем ©0 (К )

тополо­

гией С°° (К X

К).

30.5.

Пусть

93 — множество

О п р е д е л е н и е

всех функций Ь(а) со значениями в ©0 (А), класса Z

по а, удовлетворяющих оценкам (2),

где

р0 — произ­

вольная

базисная

норма ©0 (А).

ум­

Множество

93 является алгеброй относительно

ножения

(6iб2) (fei, к2, о) = ^ bi (А'|, к2, о) Ъ2 (kg, к2, о) dk$,

где

b (kt, к2, а) — значение

функции

b (о)

в

точке

(*i,

*«)■

93 — объединение подпространств 93,., удов­

Алгебра

летворяющих

(2)

при

фиксированном г £Е Ь+-

Нормы

(3)

определяют топологию

в 93Т. Алгебра 93 наделяется

топологией

индуктивного

предела подпространств

93г.

мом алгебры Л на алгебру 33,

причем

Лг

33г.

Доказательство

очевидно.

З а м е ч а н и е

2.

53 ~

(£0 (К)

®

Z.

(Действи­

тельно,

(£0 (К ) — ядерное

пространство.)

позволяет

3е.

А л г е б р а

Предложение

30.6

гебры Л.

33 в виде

Запишем каждую функцию b

(6)

и пусть с (ки к2, а) — значение

функции с (а) в точке

в б 4 .

30.7.

Пусть

% — множество

О п р е д е л е н и е

всех

функций

с (kt, к2, а) из

(Р ),

Р = К X К X

X А ,

принадлежащих

(£„ (К)

при каждом а ЕЕ А .

Множество % является алгеброй относительно ум­

ножения

(С1 С2) (k i, к%, а ) —- ^ Cj (к\, к$, аЪ

) с%(к$, к%, b) clk^db .

Алгебра % является замкнутым подпространством

в С~(Р). Мы

наделяем <§ топологией

(Р).

f~] Gr.

Положим

Р г = К

х К х А

г,

где

A r = A

Положим Сг = {с ЕЕ С: supp с CZ Р г}.

с (а)

П р е д л о ж е н и е

30.8. Отображение Ь(а) >

З а м е ч а н и е

3.

$ =

(£„ (К) (g)

(А).

4е. А л г е б р а

Л

к а к

G-м о д у л ь. Положим

еа (g) == ф eva (g),

g e G .

Определим

операции

ga и

V

ag при а Е= Л следующим образом:

(ga) (а) = еа(g) a (a),

(ag) (а) =

а (а) еа (g).

(7)

умножений (7).

Ввиду симметричности А

Д о к а з а т е л ь с т в о .

относительно

инволюции

а*(о) = а (— а)*,

доста­

точно рассмотреть

умножение

ga.

Операция

ga

в

терминах

функций

b (к1у k2, а)

имеет

вид

(gb) (kx, k2, а) = a ^ b

(kQ, k2, а),

где к0 =

к (g^ki), а0 = a (g-1^ ) определяются из раз­

ложения

Ивасавы

g~lkx =

к0а0п0. Соответствующая

операция в алгебре

имеет вид

(gc) (ки к2, а) =

с (А0>к2, а0а).

Заметим,

что

|а0 |г = а1г < |g - 1 |г,

г = 1, 2, . ..,

/

вектор г (g) ЕЕ ()+ с

координатами In |g -1 |г в ба­

зисе, дуальном к ег,

находим отсюда

(иа) (а) = и (а) а (а),

(аи) (а) — а (о) и (о),

где и (а) = ® и (v,

о),

и е

U.

V

4.

Отображение

Ф: X —;►Л

яв­

З а м е ч а н и е

ляется гомоморфизмом G-модулей X, А-

[9]

5°. Ф о р м у л а

о б р а щ е н и я .

В работах

[40], [99] установлена

формула обращения для интег­

рала Фурье на G, справедливая, властности, для функ­

ций класса X . Эта формула имеет вид *)

*(?) = $ SP ix (v, б) еча (g)*j dp (v, a),

(8)

*) Краткое доказательство

этой формулы найдено в рабо­

те [46J.

§ 31. Групповые алгебры

X и Ж

В этом параграфе будут доказаны теоремы двойствен­

ности для групповых алгебр X =

(G),

Ж=

3) (G).

Заметим, что X является двусторонним идеалом, всю­

ду плотным в Ж.

д в о й с т в е н н о с т и

д л я

I. Т е о р е м а

X. Пусть А — алгебра всех элементов

а Ег A q (2),

сительно W и W).

Положим А г =

А П Л , г £= &+•

Фурье

Т е о р е м а 28.

Преобразование

X >-+ х (о) — ® х (v,

сг)

V

х (g) содержится в

(G)

(предложение

30.11).

Следо­

вательно, х (g) является суммой

ряда,

составленного

из

элементов

хх!х (g) = {ey'xeV-) (g),

Я,, р е Л.

Функция xX(1 (g) является

прообразом Фурье элемента

хХ!А=

еххе^ G

где

положено

= егА ге^ d

С

А г.

Согласно теореме 25, х ^

(g)

содержится

в Х г

для всех 1, (I Е А. Следовательно,

х (g) содержится

в

Х г.

Обратно,

Ф : Х Г- ^ Л Г

(предложение

30.2).

Непрерывность Ф,

Ф- 1 доказана в предложениях 30.2,

30.11.

Теорема доказана.

Эта теорема является аналогом классической теоре­

мы Пэли — Винера для алгебры

С“

(R).

З а м е ч а н и е

1. При доказательстве мы не поль­

II. П р е о б р а з о в а н и е

Ф у р ь е

о б о б ­

щ е н н ы х

ф у н к ц и й .

Пусть А ’ — линейное про­

странство,

сопряженное к

А =

(2)w,

О п р е д е л е н и е

31.1

Преобразованием

Фурье

обобщенной

функции

у ЕЕ X '

называется

функционал

/ G

i ' ,

определяемый

по

правилу

(а,Ьу — (х,уУ,

а ^ А ,

х = Ф- 1а,

где скобка в левой (правой) части означает канони­

ческую

билинейную

форму на

паре

А,

А '

(на

паре

X,

X').

Согласно теореме 28, это определение корректно.

Определим вложение X

-> X ', сопоставляя каждой

функции

у €= X

функционал

<х,у) = \x(g)y(g)dg.

(1)

Определим

вложение

А

А ' ,

сопоставляя

каждой

функции

Ь ЕЕ А

функционал

<а, Ь} =

^ sp (а (v, а) Ъ(v, а)) d\i (v, б),

(2)

где

b (v, а)

=

b (— v, — а)',

Ь <->- Ъ' — транспониро­

вание в © (©)

относительно формы

<ф, ф >, ф, ip е

0 .

П р е д л о ж е н и е

31.2.

Преобразование

Фурье

X ' —> А '

является продолжением преобразования Фурье

Х - > А .

Заметим,

что

(ху)

(е) =

Д о к а з а т е л ь с т в о .

= <х, у >

для элементов

х,

у ЕЕ X , где

i

(g)

=

х

(g_1).

Заменяя в формуле обращения х на ху, получаем тож­

дество

[ x ( g ) y (g) dg = $ sp {x (v, a) у (v, a)) d\i (v, a),

(3)

т. e. (1) совпадает c (2) при a = Фх, b = Фу.

Иначе

говоря, образ Фурье b — Фу элемента у Е X совпадает

с образом Фурье элемента у е

X ' .

Предложение до­

казано.

мы

также

будем

Преобразование Фурье

X ' —> А'

обозначать символом Ф.

2) (G).

В

частности, пусть

III.

А л г е б р а

X =

X =

2 ( G ) — подпространство

всех

обобщенных функ­

ций из А ' с компактными носителями вС. Как извест­

но,

X является

алгеброй

относительно

свертки

обоб­

щенных функций (§ 6),

X является идеалом в X.