книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

норов elj (о))

такая,

что

Yкant (а) еЬ (о)

= d (a)

8rJ.

Отсюда

2

a w< (3 ) ftk ( з ) =

d (а) со-г ( з ) е 2

,

(7 )

/£

для

всех

б е= A, i,

г — 1, 2,. . . ,

щ.

Заметим,

что

d (а) ф 0.

Используя лемму 27.1, находим в результа­

те,

что

coy

Z =4 coy ЕЕ Оо для

всех

б £5 А,

г,

/ =

1 ,2 ,..., пъ. Разложение (6) означает,

что / €Е J 0£ .

С л е д с т в и е

27.8.

Z = О0Р.

Рассмотрим теперь

как модуль над О0.

С л е д с т в и е

27.9.

= J 0/ v.

Действительно,

J v CZ О0Р =4 Оv d O0! v,

и об­

ратное включение очевидно.

6.

Т о п о л о г и я в п р о с т р а н с т в е Z.

Пространство Zr при фиксированном г снабжается ло­

кально выпуклой топологией, определяемой полунор­

мами

тл (/) =

sup |я (a) / (а) |

(8)

а

I.

С ф е р и ч е с к о е

п р е о б р а з о в а н и е

Ф у р ь е .

Заметим, что f й является

образом Фурье

алгебры

Х° = {х е X: х (к^к2) = х (g), ки к2 е К)

(Х° — X 00 в обозначениях

§ 26).

Преобразование

Фурье в классе X й называется сферическим преобразо­

ванием Фурье.

Положим

ео(о, g) = (еоа (g) фо, ф о),

где фо — нормированный вектор Ж?. Функция е0 (a, g)

называется зональной сферической функцией.

Сфериче­

ское преобразование Фурье имеет вид

f(s) = j>x(g<

)e0(a,g)dg, х<= Х °.

(1)

Л е м м а

28.1. Отображение (к1г к%, а) >-*- к^к^1

яв­

ляется взаимно

однозначным отображением -

(К

х

X К)/М0 х

А +

на G,

где М 0 — диагональ в М

X М.

При этом.

dg =

у (a^dkydkzda,

(2)

Т («) = Т (ехР *) = П 2 sh 1 (т, а).

(3)

аед+

(б» 8)

(о, k±ak2 ) =

е$ (<т, а).

Положим со(а)=

(а,а), o

e f c Положим

а е Д +

S (о, т) = (о (б)-1

2 (det w) ехр <а, мгг>, а, т е Ь (4)

6 Д. П. Желобенко

161

е0 (о*» бхр т) =

S (о, x)/S (б, т),

т ЕЕ Or»

(5)

где б — полусумма

положительных

корней в ал1ебре

например, в [29], стр.

361. Заметим, что

S (б, т) =

со (б)'1 y (ехр т),

странстве

Or-

— В и н е р а

д л я а л

II.

Т е о р е м а П э л и

г е б р ы

X й. Напомним, что

У0 = Z (0c)w .

Следую­

щий результат

является аналогом классической тео­

ремы

Пэли — Винера для алгебры Х°.

П р е д л о ж е н и е

28.2.

Сферическое

преобразо­

вание

Фурье

является

топологическим

изоморфиз­

мом

Х° на J 0.

(В частности,

f 0 = J 0.)

следует,

что

х (g)

= х (k-pak^1)

= ф (т), где ф (т) =

=

х (ехр т) — функция

на

Or»

инвариантная

отно­

сительно W. Подставляя (2), (3), (5) в интеграл (1),

запишем этот

интеграл

в виде

/

(а) = и-1 $ ф(т) S (о, т) я|(т) dx,

(6)

где

положено

п =

card W ,

я (т) = у (ехр т),

dx —

евклидова

мера

на

Or, нормированная так, что da =

=

со (б) dx

при

а =

ехр т.

(Действительно, интеграл

метричности подынтегральной функции по W .)

Из

(4) имеем

со (а) / (а) = ^ ф(т) я (т) ехр <а, т> dx.

(7)

П р е д л о ж е н и е

28.3.

Сферическое

преобразо­

вание

Фурье

является

изоморфизмом Х° =

Х° f"|

Х г

на Уо? — Уо П Z r.

Из следствия

26.12

вы­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

текает,

что

Х° —> Уor-

Из

классической

теоремы

Ф„: X ^

У ^ -> Уч,

индуцированное

преобразованием

Фурье X v+ —»

где Уv+ — *

Уч — сужение на индекс V. Положим

КегФ*.

Л е м м а 28.4. Отображение Ф г является тополо­

гическим

изоморфизмом

на Уv.

и за­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Фиксируем х 0 Е Х°

метим, что функция

* (g) = Zo(g)(5.Pi).

(10)

является

элементом

X v+.

(Здесь

Ел — пространство

голоморфного представления ях.)

2,. . .

Фиксируем ортонормированный б а з и с i — 1,

.. . , nv+ в Еv+

и положим

еИ(v, б, g) =

(evo (g) (ej 0 e0), (e{ 0 e0)),

(11)

где e0 — нормированный

вектор Ev+ (v). Для

каждой

пары индексов i, / функция

хи (у,о) = §x(g)eij(v,a,g)dg

(12)

является элементом f v.

Заметим, что ® VX V+ =

по определению $ГУ.

Ввиду соотношений симметрии ( f ttV =

v)> доста­

точно рассматривать

индекс v =

w0v+.

Положим

в

(10) | =

т) = еи где

— базисный

вектор лЛ, X =

v+.

Полагая

в (12) г =

/ = 1, получаем функцию

f(o) = ^x0(g)JTien(v,a,g)dg,

(13)

где f>ij =

(gej, et) — матричный элемент представления

лЛ Заметим, что при к

К

/ (а) = ^х0(а) 5 (а) у (а)а da,

(15)

= S 2

5uuaiivnuipepq(v, G>a) yi? du dv = 2 е д (V, <3, a).

i,3P,q

it)

ричных

элементов

в L2 (# ).) Полагая

в (11) g =

а,

заметим,

что

(ег ®

е0)

(fe) = (е*, fee0) =

(к~х)ы , где

ин­

декс

г0

соответствует

младшему

вектору е0 =

ег„ еЕ

G; i?v+ (v). Отсюда имеем

S (а) =

Р(ко)цс (к \ ^ к =

=

^<Zo°"P (fe_1afe0)i0i0dfe =

^aoЯ_Р (« Д о Ч . e0) dfe,

где

a0 EH A,

k0 £= К определяются разложением

Ива-

савы: a-1A =

fe0a0n0.

Заметим теперь, что (иоЧЧ *

е0) =

Д о к а з а т е л ь с т в о . (1) Положим

= ; f Xv

f) = Flf, = lift = /v Jv = Jv •

(2)

Следовательно, также

^ x = #-x = $-Xv+

(поскольку

J x). (Равенство (2) — аналог теоремы 14.)

(2) . Положим fv =

Применяя инволюцию к

(2), находим <^х =

Из леммы 27.6

находим

ar^ = i*fj* = T№-

(3)

Теорема доказана.

29.1.

для всех 1,

ц е

А,

С л е д с т в и е

С л е д с т в и е

29.2. Положим Ж х^ =

Ж 1*1(е), е =

= min (К, ц). Тогда

ж** =

2 j xbf ^ .

6<е

С л е д с т в и е

29.3. Положим Ж х =

Ж**.

Тогда

Ж х =

2 / X5f 8Х-

8<К

II.

Т е о р е м а

п о л н о т ы .

Пусть

Л х** — мно­

жество всех операторных функций класса Z со значе­

ниями в Н от

<3?v)j

удовлетворяющих условиям

симметрии § 16:

Лх!" =

Jtx* ®

где Мщ =

Н о т (Е?, £’х). Пусть Л *

— прямая сумма

всех ЛХ|А,

[I е

Л. Определим преобразование Фурье

Ф: X * —> А * как прямую сумму преобразований

Ф:

Т е о р е м а

24.

П реобразование Ф урье является

алгебраическим

изоморфизмом Х * н а А * , В частности,

Ф Х ^ =

для всех X, р ё ЕЛ.

са Zr,

г ее ()+, Л г1*

=

П A f.

Введем

топологию

в А ?

при помощи системы полунорм

Рп (/)

=

sup II а Г I / (v, о) I е-Re <г,•>,

« = 0

,1 ,2 ,...

О

Введем

топологию

в

П Х1А как

индуктивный предел

топологий

г 6Е (>+.

Заметим,

что

И?* — простран­

Т е о р е м а

25. Преобразование Фурье

является

топологическим

изоморфизмом X * на А *, X * на A f -

Д о к а з а т е л ь с т в о . Непрерывность

преобра­

зательстве

теоремы

23 можно заменить

tyW на

(функции

класса

ZT), X х^ на X ? 1 = X х1*

П Х г. Соот­

ветственно, Ф Х *

=

A f . Теорема доказана.

Равенство Ф Х ?

— A f устанавливает

связь меж­

/ =

Фх Ё А #.

III.

П о д п р о с т р а н с т в о УХ(А. Рассмотрим

Х х,х

подпространство

У*Iх = 2 и к&Х &Р,

е = min (К, р).

8<е

Напомним,

что Ф ХХ^ =

(g) #-х^ (теорема 24).

Т е о р е м а 26.

П реобразование Ф урье индуцирует

изоморфизм F X|J’

на подпрост ранст во

где Ж х1* = Ж Н Д т т ^ , р))

в формуле (10).

Доказательство непосредственно вытекает из след­

ствия 29.2.

С л е д с т в и е

29.4.

X W M * ~

Л ч>. <g> № .

при

Действительно,

Ж х^ =

{/

ее

/

(v,

е) = 0

v+ =

6, е =

min (X, р)},

откуда находим

^ Р /Ж ^

=

gW

И\\=

Уу. при X >

р,

3 t =

f t

при X<

р.

В

частности,

F x =

Ухх — двусторонний идеал

в

X х. Частным случаем теоремы 26

является

С л е д с т в и е

29.5. Преобразование Фурье инду-

цирхует изоморфизм

F x на идеал

33х = Ж х ® Ж \

гдеЯ х =

Н от (Е \ Ех), Ж х =

Ж хх =

{ / S .7х: /(v, а) =

0

wjw v+ =

X}.

29.6. Х х/У х ~ Л х ® Jx.

С л е д с т в и е

Послед­

IV.

П о д а л г е б р ы

Н а й м а р к а .

ние результаты удобно сформулировать в терминах

подалгебр Наймарка

Х„х = x£u = e l X e t

(см. § 26). Пусть щ — элемент U (f°)

такой,

что щЕ* =

= ех„Ех.

Положим

С/0Х,А =

u0UXli

и

рассмотрим

в

X х

двусторонний

идеал

F x = S с/о8х„8Х/

Заметим,

что

8<Х

ФХх - С

где положено f

x =

$-хх.

Т е о р е м а

27.

Преобразование Фурье индуцирует

изоморфизм

Yо

на

Ж х>

{ / 'е f x- / (v, б) = 0

ири

v+ = Х } .