Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

8.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Семейство	естественно наделяется	структурой
категории. Преобразование
	Ф: и .-*■и (%) 13%
переводит £/х^ в П ^ и является морфизмом		категории
£/х^ в категорию	Пх^.

Согласно теореме 12, ядром преобразования Ф яв

ляется идеал	UJy..
Положим Ux^ = UW/UJp.
Т е о р е м а	17. Отображение Ф индуцирует изо
морфизм Ux^	на Пх*\	Для каждого а 6Е Е х су
Д о к а з а т е л ь с т в о .
ществует элемент еа 6Е U (fG),		который является орто

гональным проектором на Со. (действительно, U (Iе)!J\ — полная матричная алгебра). Положим

	U $ =	eaU ^ e b,		а £ Е Е х,	ЬЕЕЕ^,
где еь — аналогичный проектор в Е^. Если						и GE £/Хь»
то его коэффициенты Фурье имеют вид
	и0'Ь' = (а', а) (b, Ь') и,
где и = иаЬ (I а ! =		\|\|Ь\|=	1)	пробегает FX^ = J^ .			Соот
ветственно,	Ф	отображает Uab			на П^ь" =		eaUKlxeb
(х (£ 0 ц) =	хЪ, (§) т)	в	a:eC/(SG)).		Остается	заметить,

что Пх^ — сумма подпространств Поь •Теорема доказана.


Заметим, что	Uxlx является			правым	модулем над
алгеброй IIIх = ЦИ\		Из теоремы		17 получаем
С л е д с т в и е		24.3.	Отображение		Ф является
изоморфизмом алгебры Цх на алгебру
		Пх =	Лк <8>/ х\		(2)
где положено .М\	=	Н о т (£’х, Е к).

Алгебру Ux назовем алгеброй Хариш-Чандры. (Сог ласно предложению 3.6, эта алгебра содержит инфор мацию о неприводимых модулях Хариш-Чандры, со держащих лх.)

Следствие 24.3 позволяет исследовать структуру алгебры Хариш-Чандры.

140

III.	И д е а л Uq.				Положим			в (1)		е = Я = р.
Для краткости введем					обозначение
				/Vх = /Vxx (Я).
Элементы		/	-/Vх	выделяются				в	/ хх условием
/ (v, а) =	Onpnv+ =			X. Следовательно, N х — двусторон
ний идеал в / хх. Из теоремы						16	получаем
С л е д с т в и е			24.4.		/Vх =	2	F™Fb>-.
						5<Х
Соответственно, рассмотрим алгебру Хариш-Чанд-
ры Цх =	£/хх/17/х и положим
			Uo =	S	U™(Usx/UJi).					(3)
				8<Х
Ясно, что		Uq — двусторонний					идеал		в	Ux.

Т е о р е м а 18. Образом идеала Ux при отобра жении Ф: Ux —>•Пх является идеал

		Пх =	Лх ®	/Vх.
Доказательство		очевидно.
С л е д с т в и е		24.5. Факторалгебра UX/UJ изо
морфна	(3) Vx,	где /х — узловая			алгебра класса X:
		h	= P(tc)Wx-
Действительно,		/ xx/iVx ~		1\.
З а м е ч а н и е		3. Указанная конструкция подска
зана автору	работой Наймарка [80].
З а м е ч а н и е		4.	Аналогично		рассматривается
пространство		= J^/NXv-,		где	положено

7Vxlx = iVxlX(min (\, р)).

Согласно теореме			16,
		=	^ ^ Х5й 6(\ г =	min (х , р).
			5 < е
Если X >	р,	то	изоморфно	идеальному модулю
/£, если	Я	р,	то R ^ — Я .

141

	IV. Х а р а к т е р ы				U°. Пусть				U° — централиза
тор f в U. Из			однократности					rcv+	в Lv„		следует ска-
лярность		операторов		г е ( / ° в				L
		2ф = 2(-з)ф,				cpe2v+.					(4)
Пусть i?v — множество						всех		полиномов z (о) =
= z<,0<,0(v, a), z е			Е/°,	где		е0	— нормированный век
тор	Ev+ (v)	(z (а)	— характер				алгебры			£/°	при каждом
о).	Имеем		Rv CI 1<\=				/,.

	Т е о р е м а		19.	-ffv	=	Tv			(а) — элемент / v.
	Д о к а з а т е л ь с т в о .					Пусть /
Фиксируем		базис	ег,	г =	1,	2,. . . , «х,				в	А = v +.
Согласно теореме			13,	существует элемент и ёе £/хх та
кой, что
		иеi = f (о) ег + 2						ci(p)ei-
						з+1

Ввиду неприводимости f-модуля Х\, существуют элементы p tj е U (fG), г, j = 1 , 2 , . . . , «х, такие, что

РгЗ^к

С /) ^ 4, 2, . . ., /2-х,

где бг; — символ Кронекера. Полагая и0 = 2 P ii“Pi;>

находим, что и0ек = / (о) еК, к = 1 , 2, ..., «х> т. е.

ио1 = / (о) S Для всех I е 5'v •

Пусть z0 — усреднение н0 по группе К (относительно присоединенного представления в t/xx). Тогда z0 £ f/°, и мы имеем

zoS = /(3)6,

т. е. / (а) — элемент i?v. Теорема доказана.

За м е ч а н и е 5. Для индексов общего положения теорема 19 доказана в [89J(см. также § 22). Авторы [89]

утверждают, что	равенство	= /v проверено ими
для всех простых	алгебр Ли.

142

§ 25. Классификация неприводимых модулей Хариш-Чандры

1. Начнем с рассмотрения неприводимых модулей £,“ ,п, введенных в § 19. Напомним, что

L f n = N-,/Nl	Nx = U L t,				(1)
где N x — максимальный подмодуль			N x, не содержа
щий Lx+. (Если % е 2°,	то	L“ ln = Lx.)
Согласно предложению	19.9,
	при	х — Ф*			(2)
Т е о р е м а 20.	Z,“ ln		тогда	и только
тогда, когда % ~ ф .
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Если		L™in ~	L™ln,	то
индексы х> Ф лежат на одной орбите относительно					W.

Используя (2), можем считать, не теряя общности, что

индекс х равняется индексу ф. Положим

% = v ® а,

ф = v ®

т,

ст, т е

(>с- Согласно (4) §

24,

имеем

z (а) = z (т),

z е

U°,

где z (а) =

2eoe„ (v,

о) — коэффициент

Фурье элемента

z (= If0.

Согласно

теореме

19, z (ст).

пробегает

= Р (fc)w.

Как

известно

(см., например,

[23],

стр.

222), алгебра

I v разделяет

точки

|)с,

принадлежащие

разным

орбитам W 4. Следовательно,

нашем случае

т = wo,

iv G

ф = w%.

Теорема

доказана.

дока

З а м е ч а н и е

1. Вместо теоремы 19 в

этом

зательстве

можно

было бы

использовать

теорему 13

(равенство

Fv =

/„).

Рассмотрим

также неприводимые

G-модули £™tn,

введенные в §

19. Напомним,

что

d T r =

дх/дг,

где Rx — максимальный

замкнутый

подмодуль

R x,

Г V +

не содержащий Ьх .

19.9,

Согласно

предложению

d T

~ d T r

при

х — Ф-

143

Из теоремы 20

получаем

С л е д с т в и е

25.1. D'£in ~

Z)™in тогда

толь

ко

тогда,

когда %

2. Результаты, полученные в § 24, позволяют те

перь доказать, что имеет место

Т е о р е м а

21. Всякий

неприводимый модуль Ха-

риш-Чандры изоморфен одному из модулей L™ln.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть V — неприводимый

модуль Хариш-Чандры,

А,0 — минимальный

из

стар

ших весов

А,

Л,

для

которых

Fx ф (0).

Согласно

предложению 3.6,

пространство

Fx° неприводимо

от

носительно

алгебры Хариш-Чандры

U*0= U^°/UJia.

Ввиду минимальности

Ап,

идеал

tlo",

введенный

(3)

§ 24, содержится в аннуляторе F 4

Следовательно,

Fx°

является

неприводимым

модулем

относительно

алгебры

gx„ =

Согласно следствию 24.5,

ща х

где

—

полная матричная

алгебра

п>0.

Всякое

непри

водимое представление этой алгебры имеет вид тен зорного произведения


					я0 =		. «>.0(g) d0,
где	d0 — неприводимое представление								(характер) 1\0.
Поскольку			/х0 =		Р (0c)Wxo — полная				алгебра	поли
номов (§ 4),			всякий ее характер d0 определяется значе
нием функции в точке
				do (/)		= /	(з0),	б„ ^ По
следовательно,				существует				сигнатура	(х0 =	А0 ®
0	сг0) такая, что л0 эквивалентно представлению алгеб
ры	5х0	в	Lxl ~		(LIxtl0in)>1».			Согласно	предложению
3.6, F ~		L™0ln.		Теорема			доказана.
	С л е д с т в и е				25.2.		Пусть т\ (F) — кратность
вхождения ях в модуль V. Если V — неприводимый мо
дуль Хариш-Чандры,						А0 = min X: Fx Ф (0), то
			т\ (F) <			«х (К),		шх0(F) =	1.

144

С л е д с т в и е 25.3. Пусть у — характер Ъ (дс), ЗС (у) — множество всех классов эквивалентности не приводимых модулей Хариш-Чандры, принадлежащих характеру у. Тогда

card ЗС(т) card W.

Действительно, сигнатуры %, для которых L“ ln содержится в одном из классов ЗС (т), лежат на одной орбите относительно W X W (следствие 11.6). В то

же время из теоремы 20 следует, что изоморфизм L“ in ~

~	Z f n определяет		разбиение этих сигнатур на классы
эквивалентности		относительно W.
<7а	З а м е ч а н и е		2. Если ни одна из проекций ра,
	в сигнатуре	% =	р \|q не является целой (а ЕЕ А),
то	card ЗС (у) =	1.	Если, напротив, все проекции ра,

qa являются целыми и отличны от 0, то card ЗС (у) =

=card W.

За м е ч а н и е 3. Доказательство теоремы 21 мо жет быть интерпретировано в терминах алгебры U0

(U0 — централизатор ! в U). Положим

95х = г/о/г7о р| с//х )

sgx= jgX р цХ

(определение идеала Но см. на стр. 141). Согласно следствию 24.3 (см. также предложение 3.7), алгебра 35х изоморфна Се 0 / хх, где е — единица в .//*. Соответственно из следствия 24.5 находим, что факторалгебра (£х = 95х/93о изоморфна Се 0 1\ ~ Д . Далее, пусть V — неприводимый модуль Хариш-Чан- дры,

	Fi =	а ее F x: пЛ = (0)}.
Согласно предложению 3.7, F+ неприводимо относи
тельно 95х. Если		Я0 — минимальный из старших			ве
сов,	для которых	F x Ф (0),	то Э5о°	аннулирует	F+0,
т. е.	F+0 неприводимо относительно			©Ч Ввиду ком
мутативности ©х°,		находим,	что F +0 одномерно.		Ос

тается повторить финал доказательства теоремы 21. При этом характер d0, введенный при доказатель

стве	теоремы 21, интерпретируется как		характер
алгебры U0.		G - м о д у л и .	Теорема 21
2.	Н е п р и в о д и м ы е
может	быть использована	для классификации непри

145

водимых представлений группы G в банаховых прост ранствах.

О п р е д е л е н и е	25.4.	Непрерывный	банахов
G-модуль Е назовем неприводимым, если он то
пологически’’ неприводим и		операторы Z (gG)	кратны
единице в пространстве	Е°°.

Примером неприводимого G-модуля является модуль

н ? а = « ж ,

где 91х — замыкание	N x = ULVX	в топологии Нх,
— максимальный	подмодуль	в SRX, не содержа-

щии L/х .

Для каждого непрерывного G-модуля Е пусть Е # — множество всех бесконечно дифференцируемых Х-фи- нитных векторов.

О п р е д е л е н и е 25.5. G-модули Е, F называют ся инфинитезимально эквивалентными, если G-модули

Е*, F* изоформны.

Вчастности, из теоремы 20 вытекает

С л е д с т в и е 25.6. Модули Hxin, /7™1п ин финитезимально эквивалентны тогда и только тогда, когда % ~ Ф-

Действительно,	(# “ “) = L™tn.
Т е о р е м а 22.	Всякий неприводимый G-модулъ ин

финитезимально эквивалентен одному из модулей H'xin.

Д о к а з а т е л ь с т в о	( с х е м а ) * ) .	Пусть Е—
неприводимый G-модуль, Еш— множество		всех слабо
аналитических векторов Е.	Согласно теореме Нельсона
[88], Еш=j= (0) (£ “ плотно	в Е). Пространство Еш

полно относительно естественной топологии (инду цированной пространством A (G, Е) всех слабо ана литических функций на G со значениями в Е, относи тельно вложения I I-*- 5 (g) = g% пространства Еш в Л (G, Е)). Следовательно, Еш инвариантно относитель

но .М- (G),	в частности, относительно проекторов
введенных	в § 7. Следовательно, Еа содержит хотя бы
один ненулевой Х-финитный вектор £0. Положим V0 =
= и%й. Из	следствия 3.5 находим, что V0 — модуль

Хариш-Чандры. Из предложения 3.8 вытекает (ввиду скалярности элементов Z (cjc), что F0 — финитный

*) Это доказательство следует идеям Хариш-Чандры [96J.

146


модуль Хариш-Чандры. Из аналитичности					векторов.
F0 следует,	что	F0 всюду плотно в Е. В			частности,
F0f~)(^#)x всюду		плотно в (£'#)Л, откуда следует,				ввиду
финитности	F0,	что		Fo = (Е*)х CZ F0. Следователь
но, Е* = F0CI Еш.			Из	предложения 8.13 следует те
перь неприводимость Е*. Согласно теореме 21,						Е* ~
~ L“ in при	некотором %. Теорема доказана.					сох
З а м е ч а н и е			4.	Доказательство теоремы

раняет силу для любого квазиполного локально выпук

лого G-модуля с		условиями определения 25.4 *) и
добавочным условием ЕшФ (0).
Более подробно вопросы классификации неприво
димых G-модулей будут рассмотрены в гл.							9.
				*	* *
Первоначальная		схема		операционного исчисления [60}
была основана на расширении алгебры U с помощью проекторов
ех (порожденных	группой			К)	таких,	что	— U^e ^,
7», ц, 6= Л. Рассмотрения			этих проекторов можно избежать благо
даря теореме 12	§ 20	(см.	[47],		[74]) об	описании	ядра отобра

жения Ф |U ^ .

Остальное содержание этой главы соответствует работе [60], с добавлением § 25, результаты которого независимо получены в [13], [47^ —Отдельные фрагменты операционного исчисления встречаются в работе [89j, где рассматриваются характеры ал

гебры U0 (см. замечание	5 в	§ 24).	Частично построения [89]
использованы в § 22 при	доказательстве теоремы 13 (об описа
нии узловых алгебр FJ.	В целом		доказательство теоремы 13
является технически наиболее сложным моментом нашего				изло
жения (однако есть надежда,		что	это доказательство	может
быть упрощено).

Как отмечалось в конце главы 5, построения работы [60] корректировались и упрощались в [13], [47], [63]. В частности, упрощения, найденные в [47], были использованы нами в §§ 13, 19, 20. С другой стороны, теорема 13 содержится в [47] в ка честве гипотезы (соответственно результаты § 24 излагаются,

в[47] при условии выполнения этой гипотезы). Таким образом,

вэтой книге впервые дается полное и систематическое изложе ние операционного исчисления (для полупростых комплексных алгебр Ли).

*) Достаточно требовать скалярность элементов Z (jj)x.

Ч А С Т Ь III

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Налагаемая ниже схема гармонического анализа позволяет свести описание образа Фурье для того или иного естественного класса функций на G к аналогичной задаче для классического ин теграла Фурье. Эта схема приложима к классам функций, кото рые являются (левыми) U-модулями и двусторонними К-модуля- ми, и основана на результатах главы 6.

При этом, в отличие от главы 6, условие односвязности G является излишним, т. е. G — произвольная полупростая ком плексная связная группа Ли.

Наиболее подробно, для иллюстрации метода, мы рассмат риваем алгебры X = С“ (G), ЭЁ — 2) (G), которые играют суще

ственную роль в теории представлений. (В § 32 рассматриваются также другие классы функций.) Научение алгебры X является ос новой для исследования обобщенных функций. В главе 9 получен ные результаты применяются к решению задачи о классификации неприводимых представлений группы G.

Г л а в а	7. ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Существенной частью теории двойственности для алгебры
X = С™ (G) является	описание образа Фурье подалгебры X * ,

составленной из А-финитных векторов двустороннего А-модуля X . Эта задача имеет прямую апалогию с операционным исчисле нием, с той разницей, что вместо полиномиальных матричных функций рассматриваются целые матричные функции экспо

ненциального типа.

Интегральное преобразование Фурье (§ 26) позволяет сопо

ставить алгебре X * категорию Фурье		по ана
логии с включениями Ах^ d	С.	гл. 6. Существенную

роль при изучении этих включений (§§ 27—29) играет тот факт, что (у -^ ) является модулем над полиномиальной категорией jW (ухР) гл. 6. Основные результаты главы собраны в § 29 и являются функциональными аналогами операционного исчис ления. В частности, теорема полноты (§ 29) дает эффективное

148

описание алгебры .<4#, двойственной к X * относительно преобра зования Фурье.

Существенно отметить, что при доказательстве этих теорем мы не пользуемся формулой обращения для интеграла Фурье

на	G.
	§ 26. Преобразование		Фурье
	Мы будем рассматривать X =			(G) как алгебру
относительно свертки
	(ХУ) (g) =	^ (gh-1) У(h) dh,
с естественной топологией и с инволюцией
	х	(g) =
	1°. П р е о б р а з о в а н и е		Ф у р ь е .		Преобра
зованием Фурье элемента х GE X называется оператор
ная функция
	*(Х) ~ е х (х) =		(g)dg
со	значениями в Н о т (©v, 2\)>		где	ех =	ет — эле
ментарное представление группы G с				сигнатурой		% =
=	v 0 <т.	26.1. Каждый элемент х				X
	П р е д л о ж е н и е	26.1. Каждый элемент х				X

однозначно определяется своим преобразованием Фурье

(х = 0 х (%) = 0).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если х (х) = 0, то функ ция х (g) ортогональна (в L2 (supp я)) матричным эле ментам всех неприводимых конечномерных представ лений группы G (предложение 12.1). Согласно теореме Стоуна — Вейерштрасса, линейные комбинации этих

элементов	образуют	всюду плотное множество в С (G).
Отсюда х (g) = 0 для всех			g ЕЕ G. Предложение	до
казано.			Рассмотрим X как дву
2°. К а т е г о р и я
сторонний АГ-модуль. Соответственно, X является дву
сторонним	Л (А')-модулем,		относительно свертки	с
элементами М (К) с		Л (G).	Рассмотрим, в частности,
центральные проекторы в Л- (К):
	=	п\%\ (к) dk, к G! А,

149

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ