книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

где / (v\ ст') — полином

от а' = inpj". Положим v' =

= wv,

w е

W,

и пусть

wtw = wwa, а €= Д+.

Если

ша £Е ИД,,

то порядок

v" равен

порядку

v', поэтому

будем

считать,

что

а е А + \

Д<>>

где А0 — система

корней, порожденная

S0. Заметим, что

еаЕх (у) = (0)

при а е

А+\ А 0.

Действительно, v =

X — е, е — сумма простых корней

из S0.

Отсюда

заключаем,

что v + а = А, — е +

а,

а €= А+, является весом

только при а ЕЕ Д0. Соот­

ветственно,

из

равенства

е±рп =

теа

следует,

что

Ех (у') удовлетворяет

одному из уравнений

e±iEHv') = (0).

Согласно

предложению

14.5,

отсюда

следует,

что

(mt, v',

o') = иг,-,

т. е.

/

(v",

а") — полином

от

а".

Соотношения (6) § 20 вытекают из определения (11).

Лемма

доказана.

Если выполняются условия 1°,

С л е д с т в и е 22.8.

2°, то отображение /„

>-*■/, /

(v', o') =

/ (иг, v',

o'),

является

вложением

l\\ —> /^.

т е о р е м ы

13. Вос­

3.

Д о к а з а т е л ь с т в о

пользуемся обозначениями, введенными в начале параг­

рафа. В

частности,

положим

S0 =

{а е

S: (v,

а)

= 0}.

Пусть

/ “ — примерный

модуль

алгебры

д0 =

9 ($о)-

Положим

Л е м м а 22.9 (правило индукции). Если v +

П0с

CZ Л,

то включение (2)„ш выполняется для всех со ЕЕ Й0-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Условие 1° будет

выпол­

нено,

если положим X = v -f-

© (в этом случае v 0 = 0,

Х0 =

со). Согласно следствию

22.8,

существует

вложе­

ние

собЕЙо-

В частности, I * содержит элемент

fx степени

1

(см.

предложение 21.9). Из равенства

= F^I4

(лем­

ма 21.1) следует, что Д е F*. Соответственно,

/,/, CZ

CZ F „

т. е. алебра F v содержит квадратичную образую­

щую

V o-

А н о м а л и я

BJAm. Образующие алгебры / 0име­

ют вид

i

s/t (з) =

S

,

з4 = (з,

е,),

i , k

=

1 ,2 ,..., I,

i—1

где

ег — ортонормированный базис

в

такой,

что

S

^i+i»

i

=

1 ,

2, . . . ,

I

1 , ^г}*

содержит

Согласно

лемме

21.4,

алгебра

F v

sk (а + v),

к =

1, 2,

. . .,

I.

Нетрудно видеть,

что

сужения

этих

полиномов

на

|j00)

=

f)0 f]

9ош поро­

ждают V0a). Предполагая,

что

образующие

V0w>,

со'

Ф (о,

степени

п содержатся

в F v,

находим отсюда,

мы

Соответственно видоизменяется доказательство лем­

22.9. В результате F 4 =

I v.

аналогично.

А н о м а л и я

Сг/Ст рассматривается

А н о м а л и и

FJA2,

FJB3. Образующие У0ш со­

держатся среди (2). Детали вычисления

опускаются.

ры

С л у ч а й

о>а = — 3

возможен

только для алгеб­

G2:

а

п

СО

Алгебра I v

при

vM= 0,

va

0

имеет

образующие

В качестве

этой

образующей можно взять z {о

+ v),

2 Ё /„•

Теорема доказана.

§

23.

Тензорные модули

Перейдем к изучению произвольных переходов типа

(X,

р,), X, р. ее Л .

23.1. Пусть

_

множество

О п р е д е л е н и е

всех элементов /

е

/ х^, удовлетворяющих уравнениям

ci (v,

з) / (V, б) =

/ (v — а сц, б + р*сц) ct(v, о),

Ci (V,

б) / (v,

б) -

/ (v + qtаи а -

а сц) с4(v, а),

* —

1 >2,

••., I,

где

с4(v, а),с4(v,

а) —

операторы

дискретнойсимметрии,

введенные в §

16. (Здесь,

соот­

ветственно,

A S

— N*, Qi £Е — N*.)

Согласно предложению 16.11, Fx^ CZ

О п р е д е л е н и е

23.2. Пусть

— множество

всех элементов /

ее

удовлетворяющих уравнениям

Сг (V,

б ) /( у ,

а)

= 0,

(2)

Cj (V, а) / (v,

i = 1, 2,.. ., Z,

а) = О,

где одновременно р г, qt е

— N*, т. е. ст, = —

|v* |—

— 2/, / G= N* (см. сноску на стр. 95).

Очевидно,

щ /

х^.

Г пусть

О п р е д е л е н и е

23.3. Для каждого v е

но независимое уравнение.

З а м е ч а н и е 2. Множество

состоит из по­

О п р е д е л е н и е

23.4.

Пусть v+ <; X,

v+

р.

Положим

= pW pfv- =

Пространство

называется

тензорным

модулем

типа (X, р) над алгеброй

F„ =

/„* ).

Т е о р е м а

15.

Т Г =

K f .

Fl'J+c i

K Aj+

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Включение

вытекает

из

равенства

сг (v,

ст) Е*+ (v)

= (0),

i =

= 1 , 2 , . . . ,

Z, поскольку с< (v,

ст) — сплетающий опе­

ратор. Отсюда также следует включение

Докажем обратное включение. Пусть

Ф (v,

сг) —

квадратная матрица из столбцов фг ЕЕ F),

i — 1 ,

2, . . .

. .., г*,,

Т

(v, ст) —

квадратная матриц

из

строк фг ее

ЕЕ Fv, г =-

1,

2,

. . ., Гц.

Предположим,

что

детер­

минанты

этих

матриц

не1 равны

тождественно

ну­

лю, тогда] произвольный

элемент

/ ЕЕ

может быть

*) Мы рассматриваем Fx

как двусторонний модуль над F •

представлен

в

виде

/(v ,

сг) =

Ф (v, 0) r(v ,6)'T

(v,

cr),

(3)

где г (v,

и) — рациональная матричная функция r%X Гц

со

знаменателем

d (v,

cr) =

[d*, (v, 0)Fx [dil(v,

0)]rt\

где

положено

dx (v,

cr) =

det Ф (v,

0),

d^.(v,

cr) =

= det Y (v, а).

Из предложения 16.12 имеем:

dx (v, d) — лл (v,

d) rp (v, a),

где

для

краткости

положено

n x (v, 0) =

я* (А+,

—сг),

ф (v, 0) — числовой

полином от а

такой, что ф (v, cr) =

= ф (wv,

wo), w <= W . Применяя инволюцию F?

F „,

находим также,

что

^ (v ,

a) =

a) ф (v, a),

где

я,Л(v, о) — Я(х (v, —a) =

я;х (v, —a), a|r"(v, 0) — чи­

словой полином от о такой,

что ф (v,

0) = ф (wv, wo),

w f= W . Записывая

уравнения"-(3)' §

20

в

матричной

форме

(относительно согласованных

базисов Ех (wv),

Е\х (wv),

w (Ег 'W) и подставляя (3) в этиуравнения, нахо­

дим

г (v,

— г (wv,

wo),

w ЕЕ W .

(4)

о)

Положим

г (v,

о) = р (v, o)!d (v,

о),

где

р (v,

о) —

ношений симметрии

для

функций

ф (v, 0), ф (v,

0),

уравнения (4)

переписываются в виде!

,р (v, о)/п (v,

о) = р (wv, wo)/tc (wv, wo),'

(5)

где положено для краткости я (v, 0)

=

[я^, (v, 0)ГХх

X [% (v, 0)ft\

Л е м м а

23.5.

Если

/ ЕЕ К ^ ,

то

функция

(5)

является полиномом от о.

Д о к а з а т е л ь с т в о

л е м м ы . Пусть Е\ ( v )

—

градуировка

El (v)

относительно простой! подалгеб­

ры д;, порожденной’

корнем а г, а г ее S. Выберем базис

п

/(V, с) =

21

«)«*•

к=1

Применяя "оператор

сг (v, а),

положим

сг (v, а)

ек =

= е'л. Согласно лемме 15.2,

е'к =

О

при

е (к)

<;|

at

и векторы е,[- линейно независимы

при

е (к)

|о г

|.

Напомним, что о г =

— |v*| — 2/,

/ GE N*.

Уравнения

(2) принимают вид

/* (v- б) =

0

при

Oi = — |Vi |— 2],

|Vj |>

2/ <

e(A).

Следовательно,

fk (v,

а)

делится

нао г +

ra.

и =

= |vj

|+

2;

^

e (&),

т.

e.

делится

на

произведение

т* (v,

а)

этих

биномов.

Положим

тЛ(v,

a)

=

1

при

е (к)

<

|о г |,

и

пусть

т (v, a)

— диагональная

матри­

ца в базисе ек с

собственными числами тк (v, о),

к =

= 1,

2, . . .,

г*,. В результате имеем

/(v,

a) =

t(v,

a)f(v, а),

где

/

(v,

а ) —‘ полином от

а.

Соответственно,

фунда­

ментальная матрица Ф (v, о) в (3) представляется в виде

Ф (v,

a) =

х (v, а) Ф (v, a),

где

Ф (v, сг) — квадратная

матрица

из

столбцов

U (у, о),

г =

1,

2,

. . ., Г),.

Вычисляя

детерминант

т (v,

а),

находим,

что

он

имеет вид

Лк («г, V,

6) =

П (6j +

n f la* ,

т (сц) = -у- 2

(е),

£

t

4

где nit (е)

— кратность,

с

которой

представление

яЕ

алгебры

дг

содержится

в

U (g*)

(v).

При

этом

xij, (a*,

v,

а)

является делителем

(v, о),

содержащим

все линейные множители л;*, (v, а) вида aj -f- «.

Поло­

жим

-

d (v, б) = d (v, б)/ [ях(a,, v, s)]rx.

ках

<хг =

—

|Vj |— 2/, / е

N*. Поскольку эта функ­

ция симметрична относительно W , мы находим также,

что

она

не

имеет полюсов

в точках аа = — |va |—

ку я (v, а)

содержит множители я (a,

v, о)

для всех

(не только

положительных) а ее А.

Дальнейшее доказательство теоремы следует схеме

доказательства

леммы

21.1.

Положим

z (v, a)

=

= р (v, а)/я (v,

а), тогда

r (v,

a) =

z(v,

a)/to(v,

a),

где обозначено

ция

со (v, a) €= I v.

Равенство (3)

перепишем

в виде

(о (v, о) f (v, a)

— Ф (v,

a) z (v,

a) Y (v, a).

(6)

Пусть fiv — идеал

в / v,

порожденный элементами

to (v,

a), которые соответствуют всевозможным

фунда­

из

алгебры / v. Полученное

равенство

означает, что

/€Е

Теорема

доказана.

С л е д с т в и е

23.6. К ^

— модуль конечного типа

над

алгеброй

I v.

З а м е ч а н и е

4. Если

— свободный

модуль

ранга

(v),

то

— свободный

модуль

ранга

Ф гТ, где Ф, XF — фундаментальные матрицы /J,

1^,

ъ — квадратная матрица с элементами из алгебры

/ v.

Суммируя эти результаты, получим полное

описание

категории Фурье FW.

I. Р е д у к ц и о н н а я

т е о р е м а .

Напомним,

что

— множество. всех

операторных

функций

/ (v, а) со

значениями в Н от

(№ (v), Ех (v)), удовлет­

кографической

упорядоченностью

пространства

^R.

Следующая теорема содержит основную информацию

о свойствах полноты категории Фурье.

Т е о р е м а

16.

Пусть jVX|A(е) — множество

всех

элементов / (v, в) из

/'-I1,

равных

нулю при v +

е.

Тогда

N4 (е) =

2 FX5F51\

(1)

Ь<е

Д о к а з а

т е л ь с т в о .

Элементы /

(v, а) из Fxb

обращаются

в нуль

при v+

б (действительно,

v+

не является

весом

Еъ). Следовательно,

/ (v, ст) =

О

при v+ > е >

б, т.

е. правая пасть (1)

содержится

произвольный

элемент из N x'x (е):

/

(v,

ст) =

0 при v + > е.

Заметим,

что

/ (v,

сг)

является

элементом

при

v+ =

е'.

Действительно,

если

CTj =

— |v ^ |— 2/,

/ е

N*,

то Pi,

qt <= — N* для сигнатуры X =

Р I Ч =

= v ® ст. В этом случае

(v — р гоц)+ >

v + (см. лемму

обращается в

нуль:

ci (v, сг) / (v,

а) = 0, i = l , 2 , . . ., I, v + = е'.

/ ( V , о ) = f

(у, е) (mod N^(e')).

(Действительно, /' (v, ст) = 0 при

v + > е'.) Полагая

z(v,

ст) =

/ (v, ст) — /'

(v, ст), мы

можем считать, ис­

ходя

из

соображений

индукции,

что

z (v ,0)(= 2

5<е'

Отсюда,

ввиду определения f (у,

ст), следует также,

доченность

по^

длине

I К |=

(л, Л),/2,

) i £ А.

Дейст­

вительно, имеет

место

24.1. Если

v — вес

Е\

П р е д л о ж е н и е

то

II v К

I к ||,

причем |v I =

1 А I ^ v е

W%.

то

Действительно,

положим v £Е Л. Если v — вес 2?х,

[} =

% — v

0.

Отсюда имеем

М 2— II v f = (А. + V, К — V) > 0.

В

случае

равенства

нулю

имеем

|Р |а =

(А — V,

А. — v)

= — 2 (v, |3) ^

0,

откуда Р =

U, т. е.

К =

v.

Используя это замечание, можно придать теореме 16

следующую формулировку (см. [47]):

Пусть Nr^ — множество

всех элементов /

(v, о) из

JAiXтаких,

что

/ (v, о) — 0 при |v |>

г, где г >

0—

вещественное число.

Тогда

N }; {X=

2 j

W<r

ности, е >

s > ( 1. Тогда N ^ (е) =

и равенство

ной

форме.

Отождествляя, как и прежде,

с про­

странством

Е А(g) Е к (v),

положим

где .Мху. =

Horn (Е

Е А).

Элементы р ЕЕ ПХ1Аявляют­

ся

операторными

полиномами

со

значениями

в

Н о т (S& ^v),

перестановочными

с

операторами

сим­

метрии В {т,

v, a),

Ci (v,

а),

(v,

о),

т е

М',

i

=

1, 2,. . . ,

I.