книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

Согласно теореме о цикличности (следствие

19.5),

нули

12 v

содержатся

в

Согласно уравнениям сим­

метрии для

образующих

wv,

нули 12v содержатся в

Ьо =

П

w\)■

«ew

Для

каждого

z £

jlс пусть

z+ — элемент орбиты Wz,

для

которого

Re z+ е

1>+.

Если z £:

0о, то

Wz е

().

В частности,

z+ ЕЕ (>,

что

невозможно, ввиду опреде­

ления f). В результате

0о =

0 . Используя

теорему

Гильберта

о нулях для

полиномиальной алгебры

7 V

(следствие

4.9), находим

Qv =

7V.

В

частности,

имеем

разложение

единицы:

1

=

= 2

(а)

Фг (ст)>

Фг €= /v ,

с

образующими

toi ЕЕ 12v-

i

Пусть Ф* — соответствующие матрицы в (3). Умножая

обе части (3) на фг и суммируя по t, находим равенство

вида

/ (v, <з) =

2

ф1 (v- а) я ( ъ 3)>

г

где

q, (v,

о) — столбец

с

элементами

из алгебры

7V.

Полученное равенство означает, что /

ЕЕ T't 7 V.

В

ре­

зультате

= F*IV. Лемма доказана.

Применяя инволюцию, получаем также

С л е д с т в и е

21.2.

/ i

=

7V/'J.

Попутно было доказано, что имеет место

П р е д л о ж е н и е

21.3.'

7i — модуль

конечного

типа.

Г и п о т е з а .

7i — свободный модуль ранга п\ (v).

II.

С л у ч а й

v

= 0. Указанная выше гипотеза

легко проверяется при v = 0.

Л е м м а

21.4.

Алгебра F v содержит все полиномы

вида

ф (а +

v), ф 6 70.

В частности,

F0 =

/ 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Z — образ

Фурье

центра

Z (gG),

Z v — его

сушение на

индекс V,

Ясно,

что

Z v С F v-

Полагая,

в

частности,

г е 2

(0Д,

заметим,

что

z (v,

о)

=

(3 z (р ) =- р z (V, (а +

v)),

где

Р: Z (дс)

1 Ы

~~ отображение,

определенное

в § 2, р = V2 (ст +

v) для сигнатуры х =

Р I ? =

v ©

® ст. Согласно

теореме Хариш-Чандры (§ 2), имеем

№(6c) =

P $ c )w =

Io-

Заменяя 8с на дх,

напомним (§ 4),

что /„

порождается

однородными

образующими.

Отсюда

ip(ff +

v ) E

f v

для

всех

ф ЕЕ 10. Лемма доказана.

(с заменой 8i

на

З а м е ч а н и е

1.

Аналогично

02)

проверяется,

что F v содержит все

полиномы вида

Ф (<т — V), ф Ё / 0.

П р е д л о ж е н и е

21.5.

/о

— свободный

мо­

дуль ранга п\ (0), над алгеброй / 0 =

F0. При этом для

всех

к Е

А

/о

= ^ о -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

предложению

17.5, существует, фундаментальная матрица Ф

модуля

/о,

для

которой

det

Ф (0,

ст) = По (А+,

—ст),

т.

е.

“ о (°) .=

1- Равенство (3)

принимает вид

/

(0,

ст) =

Ф (0, а)

q (0,

а),

(4)

где q (0, а) — столбец

с

элементами из

алгебры

/ 0 =

= F 0. При этом /

=

0

q =

0 (поскольку det Ф

0).

Следовательно, l\ = Fo F0 =

F о — свободный

модуль

ранга «х (0).

Предложение доказано.

С л е д с т в и е

21.6. Io =

F о — свободный

модуль

ранга п\ (0).

Ф (0,

ст) в формуле

Положим для краткости Ф (ст) =

(4).

Из (4) вытекает

С л е д с т в и е

21.7.

Элементы матрицы

ф* (а) =

ф* (о) ф (а)

(5)

* =

2 “ ( О Р ( * ) е 2 (в1),

(6)

е

где a Е

Н от( ( £ ь

U j ) ,

р е

Honis ( £ х,

U x)

и

пара

е*, е пробегает биортогональную систему в Е х X

Ех *).

В частности,

пусть а ,, Ру, Z, / = 1, 2, . .

гь —

образующие

Костанта в

Ноше {Е^,

Е (g^),

Ноше {Ех,

Е (й!)). Положим

=

Z, / =

1, 2 , . . . , Гх,

(7)

где zaP определяется формулой (6).

Для каждого z £Е

€Е Z (gG)

пусть

z (а) =

z (0,

а) — образ

Фурье при

v = 0. Положим

z

(<з) =

(Zij (6)),

i , ;

= 1 ,2 ,

... ,7 - х .

(8)

П р е д л о ж е н и е

21.8.

Существует, константа

с0 Ф 0 такая, что

Z (a) = c0vF (о).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

С/х — градуиров­

ка f-модуля

U (относительно присоединенного,

пред­

ставления).

Заметим, что Ux CZ С/ло

(см.

предложение

го р (ЕЕ Н оше {Ех,

17х)

имеем

(К)*ч(0,а) =

(£,т1)ц(з),

<=Е\

(9)

где

и (а) — элемент

(е0 — нормированный

вектор

Е° (0)).

Применяя

инволюцию

к старшим векторам

[7х,

находим, что

(U})* = С/х,

где С/х — подмодуль

в С/,

дуальный к Ux. Отсюда

при а £Е Н оше {Ех,

17х)

а (Г)* =

o*(TD,

5 е = я \

(10)

где

а*

£Е Ноше (i?x,

С7х), у е= Н оше (C?x, £ л).

(Ясно,

что у

не зависит от ос и определяется с

точностью

до

*)

Отображение

£ >->-

— антилинейный

изоморфизм

Е х

на E h

такой, что <£, ц*> = (|, тр,

Е х .

а (б*)** (О, а) = а*

(0, — а) =

(т?, р) v* (з),

(И)

где у (о)

— элемент /о- Подставляя (9), (И ) в (6) и при­

меняя правило суммирования для матричных элемен­

тов (предложение 20.3), находим

образ Фурье z (а) —

в=

(0,

а)

элемента

(6):

z (а) =

(sp y) v* (а) и (а).

Полагая

в

этой формуле v (a) = f i ( o ) ,

и (a)

= f j ( o ) ,

где

fi (о),

i =

1, 2, . . ., Гь,— столбцы

Ф (ст), полу­

чаем элементы матрицы (7).

В результате

Z (о) = с0 Т (а), с0 = sp у.

Заметим,

что

элементы (7)

порождают Z (9^

(действи­

тельно, элементы (6) образуют линейный базис в Z (jh)).

Равенство с0 =

0 влечет Z (ст) н= 0,z £

Z (9j), что невоз­

можно. Следовательно, с0 Ф 0. Предложение доказано.

Следовательно,

модуль

Vx порождается

образами

Фурье центральных элементов z е

Е (дх)х Е (д^*.

З а м е ч а н и е

2. Из теоремы 7 и общего критерия

неприводимости

(§

18)

вытекает

следующее

свойство

матрицы

Z (a):

det Z (о)

ф 0 тогда

и только тогда,

когда модуль Ьоа неприводим.

IV.

П р и м е р н ы й

м о д у л ь .

Пусть 9с —

простая

алгебра Ли ранга I. Пусть

ш — старший

корень go (старший вес

присоединенного представле­

ния в 9с).

Заметим, что

3 iC l£ (9 i)“ .

Действительно,

включение

f a d Е (9Х)

следует

из

гармоничности

линейных форм над

9Х.

Соответствен­

но,

матрица Ф содержит столбец fx степени 1.

f\ Ф

П р е д л о ж е н и е

21.9. Элементы строки

являются

образующими

алгебры

/ 0.

ах (Еш) = 9Х

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

(представление я“ самоконтрагредиентно). Поскольку

9i порождает U (дх), элементы (7) при i = 1 порож­

дают Z (9t).

Как мы видели

при доказательстве леммы

21.4, образ

Фурье Z (дх)

накрывает / 0. Следовательно,

С л е д с т в и е

21.10.

VM= I 0.

21.9 следует,

З а м е ч а н и е

3. Из

предложения

что

степенями образующих

Костанта в

Е (g j10я в л я ­

ю т с я

примерные экспоненты

алгебры дх.

Прямое дока­

зательство этого факта имеется в работе

Костанта [70].

В общем случае

пусть

Q — множество всех

стар­

ших корней алгебры дс,

— простой

идеал,

содер­

жащий со Er Q. Алгебра

дс — прямая сумма идеалов

дш. Следовательно,

где положено /0ш=

Р (M W(w)>

=

(>сП 9о>, W (со) — груп­

па Вейля алгебры ди.

VM=

/ оа1,

о> EE Й.

С л е д с т в и е

21.11.

Доказательство очевидно.

Модуль

/ “

назовем примарным

модулем

веса

со.

Соответствующая

фундаментальная матрица Фш назы­

вается примаркой

матрицей веса

со (см. [60]).

§

22.

Узловые алгебры

Следующим шагом в нашем построении является

исследование узловых

алгебр

F v Cl / v (§ 20).

В §

21

было показано (лемма 21.4), что F0 =

/ 0.

Покажем теперь, что имеет место

v e T .

Т е о р е м а

13.

F ч =

I v

для

всех

Отсюда, в силу леммы 21.1, непосредственно выте­

кает также

Т е о р е м а

14.

F* — I*

для

всех

К EH A,

v ее Г.

П л а н д о к а з а т е л ь с т в а

состоит в следую­

щем.

Ввиду

соотношений

Fwv =

wFv, w ЕЕ W, доста­

точно

рассматривать

доминантные

индексы

v £

Л.

Положим

Уо

■

Е

S\ (v, cl) =

0).

Пусть

g0 — полупростая

подалгебра в дс, порожден­

ная

системой

S0,

f)0 = Ос р) д0,

— ортогональное

дополнение

(>0в (jc, W 0 — группа

Вейля алгебры

д0.

Согласно

следствию

4.10,

имеем

/ v =

Х 0 X

Го,

Х 0=

Р ( П

У0= Р (*о)"\

значительно сложней.

Положим

9о = 0 Зои,

со (ЕЕ й 0,

Ы

где

Q0 — множество

всех

старших

корней

алгебры

д0,

9о“ — простой

идеал,

содержащий

со.

Алгебра

У0 изоморфна

алгебре /„ для д0.

Согласно следствию

21.11 , имеем

^0 =

0^00)5

w g Q0,

СО

где

положено

V0O1 =

/o’/о

(относительно д0).

Заме­

тим, что

V0a>СI / 0 (относительно естественного вложе­

ния). Теорема 13 будет доказана, если проверить вклю­

чения

(2) *.. Vo. С Л.

для всех

(о ЕЕ. Q0. При этом (для некоторых особых зна­

чений v,

м) придется рассматривать

отдельно простые

алгебры Ли над полем С.

Положим

4 *

1.

Л и н е й н ы е о б р а з у ю щ и е .

= Н о т е (Ях, UJ,

Cx =

Homt (£ \ U (Iе)).

Для

каждой

пары

элементов

у Е С 1

рассмотрим

свертку

вида

z =

2

a (OT(e),

е е [3 ,

(1)

е

Для

каждого | е

Е х (0)

пусть

а (£) — проекция

а (£) на

U ((^)

параллельно

%

с (|) — проекция

7 (|) на

U (^с)

параллельно

U (tG) Кс-

Поло­

Пусть е0 — нормированный вектор Еv+ (v).

жим v е

— А.

Образ

Фурье

z (а)

= ге^

(v,

а)

Л е м м а

22.1.

элемента (1) имеет вид

z(б) = 2

а(Г) С/2 (а + v) -

6) •с (|) (V),

|ЕЕР0,

(2)

£

где ро =

р П Е* (0),

б — полусумма положительных

корней.

Поскольку

z ее U0,

мы

Д о к а з а т е л ь с т в о .

3%+).

Для

вычисления

z (а)

положим

ф =

е0 0

е0

и вычислим гф (х)

при х

=

е. Заметим, что

nif/i<p(e) =

0,

U (fc) ПсФ =

0

(3)

(последнее

равенство вытекает

из v E — А).

Пусть

а (|*),

с (1) — проекции

сс (£*),

7 (Е),

соответственно,

на U (ас) 0

U (Iе)

параллельно

п+t/,

UnG *).

Тог­

да

из

(3) имеем

гф =

2

а ( П с Шф.

(4)

Если

| ЕЕ Е^ (р),

то а (£*)

= 0

при

р >

0,

с (I)

=

0

при р < 0.

Следовательно,

сумма

в

(4)

берется

по

£ ЕЕ р0. Остается заметить, что вф (е) =

a (V2 (а +

v) —

— б) ф (е) при S E P

(§х), сф =

с (v) ф при

с е

U ((>с).

Лемма доказана.

алгебра

F v содержит элементы ви­

Следовательно,

да (2).

22.2.

Равенство с (|) (v) = 0 ,

| ЕЕ Ех (0),

Л е м м а

имеет

место тогда и только тогда,

когда

у (Е*)

(Z

С

Кег лч+.

Заметим,

что

Е 0 =

=

Д о к а з а т е л ь с т в о .

7 (Ех) е0 инвариантно

относительно

6_,

откуда

сле­

дует,

ввиду теоремы Ли, что

е0 GE Е 0 при

Е 0 Ф (0).

*)

Заметим, что а (£*), у

(|) е U (йс ) ®

V

(£с) =

U (fjc) при

£ S Ех (0).

Равенство

с (| )(v)

— 0,

| G

Ех (0),

означает,

что

Y (£Л (0)) е0 — 0,

откуда

е0 ф Е 0,

т. е.

Е0 = (0).

Из

цикличности е0 и инвариантности

у (Ек)

относительно

присоединенного

представления

следует

теперь,

что

V (Ех) d

Ker nv+.

Обратное

утверждение

очевидно.

Лемма

доказана.

1, 2,

. . ., rx,—

базис С\ как модуля

Пусть ct, i

=

над Z (fc),

е}, j

— 1,

2,

. . ., гх,—

элементы

р0.

Поло­

жим

СЦ =

ci (о) (V)-

(5)

Для каждой пары векторов к, р. €Е А пусть Ех (0,

ц) —

множество всех векторов £ €Е

(0), удовлетворяющих

уравнениям

* x ( e « / i+1? =

°>

* =

1 , 2, . . . ,г.

(6)

Положим

га (X, р.)

=

dim Е ж(0,

ц).

v+).

Л е м м а 22.3.

Ранг матрицы (5)

равен

т (к,

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно лемме 22.2,

ранг

матрицы (5) равняется

г =

d(L (Е'+) : Е*),

г = d (£ х (g) Е * <g> £ v+ : Е°) — d (tfx <g>

: Е *).

простой

идеал

в 9с, содержащий к.

Отождествляя

Е х с 9*,,

мы отождествляем Е х (0) с $х =

(»с П Йх,- Фор­

мула (2)

принимает вид

z (а) = 2

(Г. V* (а + v) - б) •с (|) (v),

Г е= Ь°,

z

ц =

v+, находим, что

dim 1)° =

т(Х, v*).

(7)

Действительно, el | = 0

для

всех

а Е А ,

| £Е fyc-

Поэтому условие (6) нетривиально

лишь

при v4 =

О

и сводится к условию ортогональности

(а*, |) = 0.

Число

линейно независимых

условий

совпадает

с

card

(So

П &х)> гДе положено

St =

(a d S :(v +,a) =

0}.

Это

число не

изменится,

если заменить

St

на S0 =

= {а е

S: (v,

а ) =

0}.

Отсюда

следует

(7). В ре­

зультате

находим,

согласно лемме 22.3,

что F v содер­

жит все линейные формы (£*,

а), £* е

§°.

Поскольку

это верно для всех ^ Е Й , мы имеем

С л е д с т в и е

22.4. Х 0 CZ F v для всех

v

e T.

С л е д с т в и е

22.5. Если

v — индекс

общего

по­

ложения (S0 — 0 ),

то F v = /

у.

результат

был

по­

З а м е ч а н и е

1. Последний

2.

В л о ж е н и я и д е а л ь н ы х м о д у л е й .

Пусть

30 = 9 (*50), Sо — произвольная подсистема S.

Опишем естественные вложения вида

где

Х0,

v0 — ортогональные

проекции

X,

v

на

&о(— Ь П

9о)>

1*1 — идеальный модуль, определенный

для

алгебры

9„.

дополнение

в

[).

Пусть

— ортогональное

[)0

2°. Стационарная подгруппа точки

v содержится

в W 0 = W (S0).

| 0 — старший

П р е д л о ж е н и е 22.6. Пусть

изоморфен Ех>, причем

У** К ) Ех (v).

(8)

£ — е-<ч,е-ч 2- ••e-«ifc £о>

(9)

где а и +

а и +

. . .

+ a lk =

X — v =

Х0

v0

(>о,

откуда a is е

f)0 для

всех s

=

l,

2,

. . .,

к,

т. е.

1 е

GEEVХо (v0).

В

то

же

время

векторы

|

порождают

FA° (v0). Предложение доказано.

Отождествим Е

(v0), Е х (v)

относительно (8). Для

каждого /0€=

положим

/(v , а) = / (v0,

н0).

(Ю)

где v0, а0 — проекции V, а на ф0.

Далее,

при v' =

цл>,

а' = wo, тЧ= w,

положим

/ (rai, v', а') =

ЬА(m, v, с) / (v, а) то-1.

(11)

Л е м м а

22.7.

Функция /

(т,

v',

а') полиномиальна

по о', не зависит от т (тга ЕЕ w, wv

= v')

и удовлетво­

ряет системе уравнений (6) § 20.

m Е

w\ =

v'.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

w,

Положим

о' =

wo =

wx и заметим,

что

w~lw

W 0

(условие 2°). Отсюда имеем

/ (v, з) =

bx {т~хт, V, т)/ (v, т) т~1т.

(12)

Действительно,

т~хт = m0fo,

т 0ё

М '

П

(&о —

= ехр з0),

fo ЕЕ М ,

и

т~хт можно заменить на

т0

включения /0 в /^°.

Подставляя (12) в (11), находим

/ (т, v', o') =

bx (m, v, б) Ьх (тггт, v, т) / (v, т) m_1 =

= Ъх (Ш, v, т) / (v, Т) m' 1 =

/ (т , v', б').

Покажем,

что

функция / (v\ o') = /

(лг, v', o')

Пусть v"

— индекс порядка

га + 1,

v" =

wtv', где

v' — индекс

порядка га. Тогда

имеем

/ (v", б") = bx (ти v', б') / (v\ б') mi1,

т{ е

wu

5 Д. П. Желобенко

129