книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

доказана.

19.4.

Если

% ЕЕ

тпо модуль

С л е д с т в и е

N x неприводим.

аннулятор всякого подмодуля V С

Действительно,

d

N x,

V Ф N x,

содержит

N -x

и потому

совпадает

с

L_x.

Отсюда V = (0).

2 +, то

в условиях

С л е д с т в и е

19.5. Если

del (A, U ,.

fry) (v, а) ф 0.

С л е д с т в и е 19.6.

Если % ЕЕ 2 + (л Е 2"), то

проверяется

неприводимость

Z)™in.

О п р е д е л е н и е

19.7.

Неприводимый G-модуль

D ? a назовем

минимальным

G-модулем

с сигнатурой

X (см. [60]).

Заметим,

что,

согласно

следствию

19.4, L™ln =

= N x, D f a =

В х

при

19.8. Билинейная форма <ф, tj)>

П р е д л о ж е н и е

П р е д л о ж е н и е

19.9.

Если

Xi — Ул

(Xi =

= w%2), то D Xt

~ D Xi .

Поскольку

на

орбите

Хь Ул

Д о к а з а т е л ь с т в о .

существует сигнатура

х Е ^ * >

т° можем считать, не

ограничивая общности, что х “

ХгСогласно теореме 4,

оператор В (т ,

х) определен

на

D x.

Имеем

B (m ,x)B x d R Xi,

B(m,%)BtACZR+Xl.

Следовательно,

В (т, %)

индуцирует

оператор

33 ЕЕ Ж (Z)™ln, D™*n).

Из

условия нормировки (§ 14)

Поскольку 33 — топологический

гомоморфизм *), то

33Dx in

замкнуто

в

откуда 33Dx in =

£>“ in-

Отсюда

следует,

согласно

теореме

Банаха, что

S3 —

С л е д с т в и е 19.10.

Если х е 2 ‘ ,

то Rx явля­

ется функциональной

реализацией Z)rynln,

w ЕЕ W .

При этом, если

% =

w%0> Х о £ ^ +,

шЕИ ^, то

имеем при т ё к

З а м е ч а н и е .

Если

х Е=

то N x — единст­

венный неприводимый подмодуль

Ьх. Соответственно,

В х — единственный

замкнутый неприводимый подмо­

дуль D x.

*

•

*

результат

был получен с помощью теоремы

Костанта

[59J

(см. также

[55]). Независимое доказательство

(основанное

на

структуру

тензорного

произведения

<g> .FX|A, где

,М Хр =

= Нош

(# \

Е х), F X{X — полиномиальная

матричная

катего­

рия, называемая категорией Фурье алгебры

U.

В §§ 21—24 исследуются

включения й’х*Аd

CZ / х^,

где

7ХР

— множества

всех

полиномиальных

инвариантов

со

значениями

в

Н от (Е^ (v),

Ех (v)), удовлетворяющих

уравне­

теореме

17 (теорема

полноты), й’х'А = / Х'А для

всех X, ц е А.

Последний результат дает эффективное описание категории

Фурье.

Теорема 18

§ 24 позволяет исследовать

алгебру 21х =

ния Фурье для элементов алгебры U =

U (дс).

I. Пусть G — односвязная группа

Ли с алгеброй

Ли з, Lx —система tX-модулей, порожденная

эле­

ментарными представлениями группы

G (§ И).

Для

предложению

16.9, пространство

не

зависит от

индексов а, Ь.

Согласно

предложению

16.10,

рЦь

j\\>-

(X,

Элементы

/

ЕЕ F Х>А называются переходами

типа

р) — см.

[60].

X,

П р е д л о ж е н и е

20.3. Если и е

U

v е

U^,

р, v ЕЕ Л,

то

M ac(X) =

2

“ «b(X)«>bc(X),

(4)

ь

(т. е.

элемент е (v, о)

= l v, где l v — единичный опе­

ратор

в Ех (v)).

Семейство F

=

{F }\x, X, р ее А }

назовем категорией

Фурье

алгебры

U.

в / х^,

полагая /*(у) =

/ (X*)*

Введем

инволюцию

для операторной

функции / е = / Х1\ При этом

/*

е

е 1^ ,

т. е.

(/ъ у = р>\ х , р е Л .

П р е д л о ж е н и е

20.5. Для

элементов

и ЕЕ

U

имеет

место

равенство

(»аьУ (X) =

(“ *)ba (X),

l l ^ e A ,

(5)

где и i->- и*

— инволюция алгебры U, введенная

в § 11

{предложение 11.2).

Доказательство

очевидно.

=

С л е д с т в и е

20.6. (Е ^)*

Пусть

— множество всех сужений операторных

функций / (у) = / (v,

а) ЕЕ

на фиксированный ин­

декс V . Аналогично, с заменой / х^ на F XP определяется

множество Fv1*. При этом

Е ^ а т ^ .

Элементы

/

ЕЕ f I>x

называются

переходами

типа

(X, р)

в классе v

(см. [60]).

Из предложения 20.3 имеем также

С л е д с т в и е

20.7. F ^ F t*d

F^\

В частности,

Fz

— алгебра

с единицей

и с инво­

люцией при

я*, (е)

Ф 0.

Пространство

является

левым (правым)

модулем

над F *х {Ft'*').

Из нормировки операторов симметрии (§ 14) сле­

дует, что, в частности, при

р =

v+ уравнения (3)

принимают вид

Ь}■(т, v, а) / (v, а) =

/ {wv, wz) т.

(G)

При этом элементы / (v,

а)

принимают

значения в

Horn (Еv+ (v),

Е* (v)) ~ Ех (v).

При

Я =

v+

элементы

которых ,

(v,

о) = f (wv,

wo), w EE W.

(7)

/

Положим для

краткости

Fv = F F 4f.

Согласно

(7),

имеем

FvCZ I v =

Р (f)c)Wv-

(8)

Zaa (X) = Z (X)-Iv,

где z (х) =

у (%, z) — характер Z (дс)

(следствие 11.5).

Числовую функцию z (%) условимся называть пре­

образованием Фурье элемента z E Z

(йс)-

д л я

II.

П р е о б р а з о в а н и е

Ф у р ь е

UIUJх,. Естественность введенного выше преобразова­

ния Фурье для алгебры U основана на свойстве пол­

ноты модулей Ьх. Покажем, что модули Lx обладают

также свойством «локальной полноты» относительно

подалгебры f CZ 9.

Пусть и%(х) — сужение операторной функции и {%)

на

(v — индекс %). Напомним,

что J x = Кег

в

U (fc).

T o o

p 0 м a 12. Если ux (%) — О для всех %ее 2, то

и d U jk.

=

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду разложения gG ■=

Ес @

ас ®

пс ,

имеем

U = U' ©

ttc U,

где

поло­

жено

U' =

U (fc) (g) U (ас).

Пусть

и' — проекция

элемента

и, Е= U на

U'

параллельно nGU.

=

=

Для каждого подмножества Е CZ U положим Е'

{и':

и е

Е ).

Если

Е — 1-подмодуль

U

(относи­

Л е м м а

20.8.

тельно присоединенного представления),

Е ’

CZ

то

Е Cl UJX.

л е м м ы .

Положим U =

=

Д о к а з а т е л ь с т в о

UIUJх-

Пусть

р — ортогональное

дополнение

f

в д. Тогда имеем

U

= nS (рс) ® U Дс) //?.,

(9)

где

а — отображение симметризации (§

2).

Соответст­

венно,

всякий

элемент

в ё

Ч

записывается

в

виде

и =

2

(aPi) h,

Pi^-S ())с),

h <=U (?с)//х.

i

Пусть

р *->- р — проекция S (рс)

па

S (ас)

параллель­

но

дс£(рс), где

g — ортогональное

дополнение а в р.

Положим

и =

^ (a Pi) kj-

Заметим,

что

(| = п ф !

(действительно,

п 0

I —

ортогональное дополнение а в д).

Пусть Sm — фильт­

рация

S (рс)

(по степеням полиномов).

Заметим, что

а (д^т-Д С пс<х (£т _Д +

aSm^tG (mod Uт _Д,

где

Um — фильтрация

U (§2). Следовательно,

если

и е

Um,

где

Um — фильтрация

U,

индуцированная

фильтрацией Sm относительно (9),

то мы имеем

Следовательно также,

если и *-+• и' — проекция U на

aS (ас) (g) U (lc)/J\,

индуцированная одноименной

проекцией алгебры U, то мы имеем

и' =

и (mod Um_x).

Предположим теперь,

что

и'

= 0. Тогда

й

Um_lt

т. е. pi ЕЕ ■S'm-i Для всех

г. Заметим, что р — сужение

полинома

р ЕЕ S (PG) ^

Р (Рс)

на

подалгебру

ас.

Отсюда находим

Pi |йс = 0 для всех i,

где р — старшая компонента однородности

полинома

р €Е S (рс).

Предположим,

наконец,

что (Ки)'

=

(0),

тогда

Pi = 0 на

орбите

Кл = р *). В

результате

Pi — 0 для

всех

i =)> и ее Um-i-

Однако, по

условию,

u £ l t m.

Отсюда следует,

что

и = 0.

Лемма доказана.

Продолжим доказательство теоремы. Заметим вна­

чале,

что

и (х)

ф (е)

= и' (х)

ф (е) для всех ф е

£•>■

Действительно,

если и е

пс, то (шр) (е) =

<иф, 6> =

= 0 (предложение 10.8).

Далее, заметим, что

_(яф) (е) = а (и + р) Ф (е)

(предложение 10.8) для всех а ЕЕ S (ас) ~

Р (ас). Полагая

и' = 2

{,

алЕЕ S (aG),

kiEzU (fc), находим отсюда

i

и ' (х) ф (е) = 2

«i (3 +

р) (**Ф) (*)•

i

(А^ф)(е) = 0

для всех i,

ф Е ^ ,

v e T .

Отсюда (kt ф)

(е) =

0

для

всех

ф ЕЕ X х.

Полагая,

в частности, ф (х)

= (£ , ж т)),

£,

ц е

Ех,

х ЕЕ К, на­

ходим

(/ед) (е) =

(k\i, ц) =

0

для всех

Е,т] Е Ех,

*) Действительно,

если

i Е

р,

то

х — эрмитов

оператор в

9С (относительно

присоединенного

представления)

=> х содер­

(ки)->. (х) = ки-к(х) йг1 = О, к ^ К ,

откуда (Ки)' d

UJ%. Согласно лемме 20.8,

заключаем

отсюда, что u

U

J Теорема доказана.

З а м е ч а н и е

2.

В условиях леммы 20.8 (теоре­

мы 12) можно заменить J %произвольным пересечением

идеалов J х. (Отсюда также следует доказанное ранее

свойство полноты системы модулей Lx.)

функция

О п р е д е л е н и е

20.9. Операторная

»чХ

_ riX\l+ ---- rX v +

__ тХ

Г v

г v (_1v

— i v .

ляет изучить строение фундаментальных модулей

F v

и сопряженных модулей

= ( ^ v ) * C ( / v r = ^v.

I. О с н о в н а я

л е м м а .

Следующая лемма ле­

жит в основе дальнейшего исследования.

Л е м м а 21.1.

Модуль Ft

содержит систему

об­

разующих 1Ч:

bx (w, v, 3)/(v, б) =

f(wv, wd),

w e e W,

( 1)

где /

(wv, шз) EE / i v Пусть Ф — квадратная матрица,

составленная

из

столбцов

/ г ЕЕ

i

= 1,

2, . . .,

г\,

гк =

п\ (v) (относительно

некоторого базиса в Ех (v)).

Если

det Ф Ф 0,

то всякое решение (1) может быть

представлено

в

виде

/ (v, о) = Ф (v, о)

г (v,

о)

(2)

с рациональной

вектор-функцией г (v, о).

При этом

г (v,

а) = г (wv,

wo), w е

W, и det Ф (v,

а) — знаме­

натель г (v, о). Положим г (v, о)

= р (v, a)/det Ф (v, о),

где р (v, ст) — полиномиальная

вектор-функция от

а,

и напомним,

что, согласно предложению 16.12,

det Ф (v, о) = я* (Д+, — б) ю, (б),

находим,

что р (v, о) удовлетворяет

системе уравне­

ний

р (v, б) яу (б) = р (wv, wo) яу (wz),

где для

краткости положено

n v (а)

= itj (Д+,

—а).

Полагая,

в

частности, w — w0,

находим,

как и в до­

казательстве

предложения

16.12,

что

р (v,

а) =

— q (v,

о) л v (а), где q (v, о)

— полином от о. Соответ­

ственно,

(2)

запишем в виде

/

(v, от) о)v (о) = .Ф

(v, о) q (v, о).

(3)

порождаются

всевозможными

наборами / г ЕЕ F Для

вычисления нулей

идеала Qv положим

Ь =

оо

= — |ve |— 2 /}.

U U

{ 1 Ё ( с :

«еЛ+ j—j