книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

dx (а) = Ло (Д+, — а ) рх (о),

(5)

однородных образующих Костанта у*| (х)>

х £= S)c-

Положим

mt (а) = dim Н о т 9а (Я*, ЯаЯх (0)), е е

N,

т (а) =

2 zrru (а)

(6)

г

что тг (ос) = 0 при нечетном е (поскольку все

непри­

водимые компоненты

Ua Е х (0)

содержат вес

0).

Пусть d{ = d e

g

(ж),

s = 2

d«-

i

Л е м м а 17.4.

s — 2

m (a)-

Я (х) =

del (hjj (х)),

(7)

где положено htj =

у7- eui = 1 ,

2,. . .,

г\. Для вычис­

ления этой степени достаточно положить

х £Е Ос-

(1)

Фиксируем

х €Е f)c-

Если

Я (х) = 0, то суще­

ствует линейная комбинация

Т = S СД? такая> что

3

уе4(х) =

0,

i =

1 , 2, ... ,

гх,

т. е. у | (х)

— 0 для

всех

| GE Я х (0).

Поскольку

х —

веса 0,

то

у I (х) =

0 также

для

всех

£ Е

Е х (р),

р Ф 0.

Следовательно,

t S ( * ) * o ,

\ s e e x .

Отсюда

у

I 0 Я = 0,

где

Ох — орбита

точки

х

от­

носительно

присоединенной

группы

G.

В

частности,

нах

базиса, мы

может

считать,

что et ЕЕ Е*{, i =

= 1,

2,

В этом

случае

@1 =

с_а Vjy

i z=z 1 , 2 , . .

., т*х,

Тf-i —

п { е ! а г) ijV i,

#, 7 =

1 , 2 , . . . ,

т\.

Для

каждого

pEES (gc)

пусть

р0— проекция

р на

S (*с +

9*)

параллельно

S (дс) 0,

ГД°

0 — сумма

всех

Ор,

р ф +

а.

Из перестановочности

этой

проекции с

я ( д а) имеем

(ТА)о *= л (е!£'1) ( Г ф ) о ,

h 7=

1,2,.. ., п .

Из

разложения &с + д* =

()0©

д*,

где ()° — ортогональ­

ное дополнение |)сП9а в Ъс> ясно,

что всякий старший

вектор

да

в

S (^с + да) веса

s

имеет

вид

e'^z,

г е 2 ( | с +

9а)- Отсюда

(Tjei)o =

(Я (e-t1) el*') zijt

i, j

— 1, 2, . . . , rx,

где

ги е

2 (|с +

За)-

В

результате

матрица

h0 —

—

((htj)о)

является произведением

вида

£z,

где

z =

=

(zij), t

— диагональная матрица

с

элементами

VzEj.

=

с{а

‘/lEj

.

«

я (е_а ) еа

l,

с4= const =f= 0.

Следовательно,

также

Н (х) =

Z (х) Г (ж),

Z (я) =

=

det z (х),

Т (х)

=

det t (х),

х ЕЕ Ос +

За-

Пола­

гая

х £Е 0с>

заметим,

что

Т (х)

= сх™(а) (в

обозначе­

нии

(6)) с константой

с Ф 0.

В

результате

Н (х) = cZ (х) х™

с ф О,

где

положено

х ЕЕ Ос-

(Следовательно,

га > тп (а).)

(3)

Пусть х ЕЕ 0с> ха =

0,

хц Ф 0 для

всех

корней

Р =/= + а. Положим у = х +

еа и заметим, что х принад­

лежит замыканию орбиты Ga у *), где

Ga =

ехря ^ а ).

Из инвариантности Z(x) относительно Ga заключаем,

что

Z (х)

= const на Gai/. Отсюда

Z (х) =

О =*>Z |Gay =

0 =» Я |Gay =

0.

Следовательно, существует линейная комбинация у =

=

^

с} у,

такая,

что

у£| Gay =

0

для

всех

£ ЕЕ

е

Ех (0).

Поэтому у| (у) =

0

для всех £ G ^ a Ех (0).

Заметим,

что

UaEh{0) -

0 Ех (па).

nez

Если

| е

Ех (Р),

Р Ф па,

п

Z,

то

у £ (у)

=

0,

поскольку у ортогонален Сер. В результате у g (у)

=

0

для всех

g ЕЕ Ях. Остается

заметить, что Оу — орбита

общего положения (см., например, [70]), откуда,

согласно теореме Костанта, у = 0. Полученное про­

тиворечие

показывает, что Z (х)

0.

Следовательно,

ra =

пг (а),

а е А * .

Лемма

доказана.

следующий ре­

5.

Из

доказанной леммы

вытекает

зультат.

П р е д л о ж е н и е

17.5. dx (а)

=

с0я* (Д+,

—от),

с0 ф

0 -

*)

Действительно, х =

t

lim

я (exp ta) у.

* -оо]

Действительно,

deg dx (о)

s (по определению s),

deg Яо (A+, a)

= s

(по

лемме

17.4). Отсюда

p x (о) =

= c„ = const,

причем

c0 ф 0,

поскольку

CL Ф*о

fij (<з) = иуфо (е),

i, / =

1, 2 ,..., г*.

Отсюда

легко

получить

(см.

[47]),

что /у (о) =

= и% (V2 о),

где для каждого u Е

(7 (9с). веса 0 относи­

тельно фс.

означает проекцию и на U (^с) параллельно

ttc £7 (9с).

(Отсюда

также следует

доказательство

предложения 17.5.)

2. Еще

один

вариант

вычисления

З а м е ч а н и е

dx (о)

можно

получить,

заменяя S (дс)

на U (дс)

существу, приведено

в [89], хотя детерминанты dx (о)

и модули N x в этой работе явно не рассматриваются.

Теорема 7 будет

обобщена в § 19.

ложим N x =

ULVX, где v — индекс %.

Л е м м а

18.1. Неприводимость Lx равносильна вы­

полнению двух условий: N x — L x, N~x = L -x.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть V — подмодуль Lx,

либо

V^ ZD N-x =D> V =

(0). Ясно, что

условия

леммы

также необходимы. Лемма доказана.

что сигнатура % =

=

2.

М о д у л ь

Lx. Напомним,

р

|(] называется вырожденной по

корню

а,

если

I», Ё

N*,

N*,

(N*

N \

{0}). Сигнатура % на­

зывается невырожденной,

если

она не вырождена

ни

но одному корню и ё Д.

L x

неприводим

тогда и

Т е о р е м а

8. Модуль

только тогда, когда сигнатура % невырождена.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно следствию 16.14,

условие % ЕЕ 2°

необходимо.

Докажем его

достаточ­

ность. Пусть v — индекс %•

N x = Lx

Л е м м а

18.2. Если

v e A ,

то

тогда

и только тогда, когда % ЕЕ

2 +.

То же верно, если—

—V ее А.

л е м м ы .

Если

v

ЕЕ А,

Д о к а з а т е л ь с т в о

то

ж: = С2Тov =

^oo^ov

(§ 12),

откуда

имеем

L x = L xpV Q4,

Xo =

X + (0|v).

Поскольку

элементы

ср ЕЕ E0v — антианалитические

функции на G, то умножение на <р перестановочно с дей-

стием

f/j.

Отсюда

N x = и , Ы = ( U

J •V 0v = N x p V M .

Если

] [ ё

2 +,

то

/о G

2 +,

причем

%о — сигнату­

ра

нулевого

индекса,

откуда,

согласно теореме

7,

А'Хо =

L Xo.

В результате,

согласно следствию

12.9,

А х =

Ьх.

Аналогично рассматривается случай v Е — А. Не­

обходимость

условия

х S

2 +

доказана

ранее

(следст­

вие

16.13).

Лемма

доказана.

g ±

А,

С л е д с т в и е

18.3.

Теорема верна при v

Действительно,

— 2° =

2 ° C l 2 +.

х Е

Рассмотрим

теперь произвольную сигнатуру

изоморфно Lwx, w ЕЕ W,

причем

w% ЕЕ 2°. Поэтому

общий

случай сводится

к v ЕЕ А.

Теорема доказана.

3.

М о д у л ь Е х.

Пусть Е х — регулярный G-мо­

Т е о р е м а

9. Модуль

Е х топологически (вполне)

неприводим тогда и только тогда,

когда сигнатура % не­

вырождена.

это верно

для

модулей D x СИ Н х d

В частности,

СZ ® х.

18.4. Представления основной серии

С л е д с т в и е

Гельфанда — Наймарка

неприводимы.

Действительно,

R ea

= 0=4-%£E2°.

4.

Ц и к л и ч е с к и е в е к т о р ы Ьх. Метод, ис­

векторов Lx с произвольной сигнатурой %.

Заметим,

что Lx,LXi d LMXa+P *).

Т е о р е м а

10. Всякий модуль Lx обладает цикли­

ческим вектором.

Положим X — %о +

Xi +

Д о к а з а т е л ь с т в о .

-f р.

Предположим, что

(1)

dim

N Xi<Zoo, (2) LXt —

класса 0. Согласно предложению

12.3,

(1)

имеет

мес­

то при

Xi -f Р —

— Я, |—•р,

X,

р, е

А.

Рассмотрим

вектор

ф (х) = я„0(х) 01 (х),

где 0, — младший

вектор

N Xt.

Напомним

(§ 12),

что

U (fc)

0!

= 7VXl.

Воспользовавшись

/sT-инвариантно-

стью

а„

(fGа„ =

(0)),

находим

^ ( f G)«p = oe,(J7(lc)01) = eet'Vx4.

Далее,

NXl =

V\0Vov., a0oFx0=

Z,£„

где

положено Хг =

= Хо — (4 0 ).

Воспользовавшись

антианалитичностыо

элементов Т0!а,

находим

UiU (fc) Ф = (t/1a0oF,.0) •F„ух = NXl-V01i.

Предположим

теперь,

что

выполняется

условие

(3):

Х2 =

X

+

(0

I р) GE 2 +.

Тогда,

согласно

лемме 18.2,

N Xt =

ЬХг, и мы находим,

в силу следствия 12.9,

что

Uср =

Ьх. Теорема доказана.

Отметим

еще одно

следст­

5.

П о д м о д у л и

Ьх.

вие теоремы

10.

18.5. Ьх — модуль конечного типа.

С л е д с т в и е

* )

В действительности

^ XJ

X, =

/-Xl+Xj+p

(см.

замечание 4

в § 12).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Vn,

п =

= 1 , 2,

. . .,

— возрастающая последовательность под­

модулей

Lx.

Ввиду!

счетномерности1 L x,

можем

счи­

тать,

что Lx —

объединение Vn, п =

1,

2,

. . . Соглас­

но теореме 10, эта

последовательность конечна (Р„ =

= Lx при некотором п), т. е. модуль Lx нетеров.

Поскольку L_x также нетеров, то мы заключаем,

что

L x — модуль

конечного

типа.

будет

получена

оценка

З а м е ч а н и е

1.

В

§ 3 6

для числа

неприводимых

компонент

L x.

З а м е ч а н и е

2.

Доказательство теоремы 10 мож­

но видоизменить таким образом, чтобы оно было при­

годно

для

всех

полупростых

вещественных

групп

Ли — см.

[32]

(см.

также

[47]).

подробно

рассмотрен

Случай

% ЕЕ 2 +

будет

более

в § 19.

§ 19. Теорема о цикличности

Рассмотрим

сигнатуры

класса

2 +.

Результаты,

полученные выше (теорема 7, лемма 18.2), позволяют

предположить,

что

Lx при

обладает

цикли­

ческим

вектором из

Lx

(v — индекс %).

если

Заметим,

что

L Xl ~

ЬХг

(следствие

14.12),

Xi> %2 е

2 +,

%2 =

w е W . Поскольку на орбите

всякой сигнатуры имеется точка

% ЕЕ 2 +, для которой

Re а ее Ь+ (<* — показатель

у),

то

можем

считать,

не ограничивая общности, что это условие выполняется.

Т е о р е м а

11. Циклический

модуль

N x =

UL*+

совпадает

с L x тогда

и только

тогда,

когда

% Е 2 +.

Доказательство, приведенное ниже, основано на

связи между матричными элементами ех

и

еХо,

где

еХа— элементарное

представление

полупростой

нор­

мально

вложенной

подгруппы G0CZ G.

что

a (g) = а

1.

Ф у н к ц и я

а (тг)\ Напомним,

в разложении g =

кап.

Положим А + =

ехр ^+.

е

&+,

Л е м м а

19.1 .пЕсли)

n ^ N _ ,

а ^ А +,

I

то

1 <1 а (аЯа-1)х ^

а (Я)х.

J ,G

А. Пусть

| 0 — старший

вектор

Е Ч Имеем

1 glо II =

II kanlо I = Iап101|=

ах = a (g)\

где

1 Е I = (£,

(£,

т|) — jf-инвариантное

скаляр­

ное произведение

в Е \

Если

й е= iV_, то

й£0 = | 0 -f

+ 21 ci%i’

где

£* — весовой

ортонормированный

ба-

i¥=0

зис

Еь,

апаГг1о = £о + 2

i+О

причем

р,г >

О

(А — р,г — вес

|;).

Отсюда

вытекает

искомая

оценка:

1 ^

|апа-^о |

|/?£0|-

Лемма

до­

казана.

Фиксируем

сигнатуру

% — v 0

а, для

которой

2.

Re а Е fy+. Пусть Д0 — множество

всех корней a ЕЕ А,

для

которых

Re оа = О,

= Д \ Д0. Положим

Д+0 = Д о П Д +,

ДХ+ = Д1 Н е ­

я с н о ,

что До порождается подсистемой S0 =

S П До,

Дх — множество

всех к ё Д, д л я

которых Recxa

0 .

Пусть

9о — полупростая

подалгебра

в з, порожденная

подсистемой

S0.

Положим

G0= exp За.

Воспользуемся обозначениями § 10. В частности, поло­

жим

n0 = п П &0>

Hi — ортогональное

дополнение

в п к

п0.

Отсюда

N =

N 0Ni =

NiNo, где положено

No =

exp n0,

N i = exp Bj.

Соответственно,

имеем

N ' = N 'o N 'i = N ' i N ' o ,

где x

x' — транспонирование в G (§ 9),

отображаю­

щее N

=

N +

на N

'

=

N _ . Заметим, что TVj — нормаль­

ный делитель в В'.

W 0 ал­

Согласно предложению 4.8, группа Вейля

гебры

$о отождествляется с подгруппой в W , поро­

жденной

подсистемой

S0. Положим

w. Д+-»Д ",

ш0:Д£-»До,

ШоЕгИ’о)

и пусть Wi — ww0. Фиксируем х ЕЕ а такой,

что ха =

— О

при а е А 0, ха _> 0

при а ЕЕ Д|, и

положим

а, = exp tx,

t е= R.

Л е м м а 19.2. Пусть ср ЕЕ D x, яр g= D -x. Сущест­

вует

константа с > 0 такая, что

Фо (g) = $ Ф (gn) dn — A (mlt х) ф(gml1),

g е G0,

тх — представитель

класса

wL. При

этом

фо ЕЕ DXo.

яро е /) - хо, Хо — проекция %

на Гд, =

I) Г) во-

что

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Напомним

(§

10),

билинейная форма <ф, яр)

определяется

интегралом

по N'. Для каждого

а ё А имеем

<аф, яр) =

^ ф (а~1п) яр (п) dn — а~2р § ф(гасГ1) яр (anar1) dn =

N’

N'

=

аа~р § ф (п) яр (агаа-1) dn.

N’

Заметим,

что dn — dn0dni

относительно

разложения

п — пйпи

п0 ёе N0,

щ €= iVi,

причем

ага0а -х =

п0,

апщ -1

е при а = at,

t —* оо.

Совершая формальный

предельный переход,

находим

lim aja+p (atф, яр) =

^

ф (га0гаi) яр (га0) dnodn^

(*)

что TVi = N Wt, откуда

следует,

что

(*)

записывается

в виде <фо, "фо),

где

положено

ф' (х) = ^

ф (хп{) dnx = #-т ,Ф (хт?),

i e f i .

N'i

Согласно лемме 13.1, ф' (х)€ЕС°° (G).

Полагая х ЕЕ G0,

легко проверяем, что

фо E / ) Zo-

В то

же

время

4j?0 ЕЕ

ЕЕ D -y„. Лемма доказана.

g0 ЕЕ G0,

g EEG

С л о д с т в и е 19.3. Для всех

имеем

с -lira аГР<.g0at(f, g-ф) =

<g0<Po, (£Ф)о>-

/-► 00

A (m-i, х) ф (/«Г1) ф 0

Фо ф 0.

Пусть ф — элемент из L_x

такой,

что

<иф,

ф> =

О

для всех

и ЕЕ U.

Ввиду аналитичности,

имеем

также

<хф, ф) =

0 для

всех i

E G .

Заменяя

х

на

g0at,

ф

на £ф, находим,

согласно

следствию

19.3,

что

<£офо> (£Ф)о) — 0,

goEEGQ,

gEEG.