книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

Д о к а з а т е л ь с т в о .

(1) — следствие лемм 15.2,

15.3. (2) Согласно предложении^ 14.5 и

лемме 15.2,

Кег Вг (х) в X v совпадает с Im Ct (Si%) =

Im C% (st %).

Согласно (1), то же верно

в 35 v (образы

замкнуты).

(3) Коммутативность схемы,

образованной всеми нак­

жении 1, 4 на подходящую константу X,

с одновремен­

ным умножением 2, 3 на X-1. Теорема доказана.

Для каждого

модуля

Е

положим

Е = F —»•Е0,

если Е0 — подмодуль в

Е,

F = Е/Е0.

Положим

Дх = Кег Ci (ы?{х) = Кег А (и?а).

С л е д с т в и е

15.4.

В условиях диаграммы (А)

С л е д с т в и е

15.5. В условиях диаграммы (А)

Du = Ях—*•Ях,

где

R X~ R X, D x z^Fx-

G = SL (2, С), то

Dx

С л е д с т в и е

15.6. Если

(DWix) является композицией

двух неприводимых

(А) сопряжены операторам типа 3,

4 относительно

формы <ф, ф> ((<р, ф))

в пространствах Dx-

З а м е ч а н и е

5.

Оператор Ri =

CiCt — CiCt в

диаграмме (А) совпадает с вычетом

рациональной

функции Bi = В (mt, ф) в точке ф = Wi %.

6.

В л о ж е н и я D x, -* D Xa. Пусть Х + — множе

ство всех сигнатур

% = р \q, для которых Re q ЕЕ Ь+-

X, х' соседними,

х < х'>

если К = WP I ?> /

=

™'Р I 9.

Re р G §+, причем

(1) W = WaU>',

l(w) =

l (и/) + 1,

(2) (wp)aе

— N*.

П р е д л о ж е н и е

15.7.

Если

х ^

> то суще­

ствует вложение D x —> D*'.

Достаточно

рассмотреть

Д о к а з а т е л ь с т в о .

случай, когда элементы

х

х! являются

соседними,

в обозначениях (1), (2).

Пусть wa =

— приве­

денное разложение элемента wa- Положим

Са =

В (то, siu^x) Ci (и~гх) В (иг-1, х),

м е м ,

Заметим, что w = uwiv,

w' =

uv — приведенные

раз­

ложения с

одночленами

и,

v.

Поскольку % ge Х +, то

Re qa >

0

при а е= А+.

разло­

1) Поскольку то-1

— и - ^ и - 1 — приведенное

жение,

то

Au-i CZ Ац)-* (лемма

4.5);

тогда

то- 1Au-» CZ

CZ u>-1A№-i

=

— АшCZ А- . Отсюда

Re (wp)tз = Re

<

0

при

[3 e

Au-i.

Следовательно,

- %£= 2 „-i,

откуда

заключаем

(след­

ствие 14.11), что В (то-1,

х) — топологический

изо­

морфизм.

(wp)a £Е — N*,

по

ус­

2) Заметим, что (u~1wp)i =

ловию (2),

(и-1 q)i =

qa GE N*

(ос £Е А+).

Следователь­

но,

Cj (м-1%) — оператор

топологического

вложения

(теорема 5).

что

SiU-1x = vp |uq,

w- 1Au CZ A+

(из

f 3)

Заметим,

приведенности uv), uAu =

— Au-i GE А". Отсюда имеем

Re(z;p)Y = Rep„-iY > 0 ,

Re(u^q)^ = R e quy < 0 , y e

A4.

Следовательно,

SiU-1x 6E

откуда заключаем,

что

5 (то, SjU~2x) — топологический

изоморфизм.

Предложение доказано.

сигнатур

В частности, пусть Y + — множество всех

X — Р I <7£= -Х+

с

целочисленными

векторами р, q

(р, g е

Г).

Условие упорядоченности %

х'

Для пяры

X — юр |q,

х' — н^Р I ?

сводится теперь к

условию

w' ^

и?

(см.

конец §

4).

З а м е ч а н и е

6. Можно

показать, что

упорядо­

ченность в классе Х + для пар р \q,

р'\ q равносильна

упорядоченности,

введенной

в [38

для

элементов

р , р' GE fo. При этом условия

вложения для

модулей

D x (предложение

5.7) равносильны

условиям вложе­

ния для модулей М х алгебры ()С (см.

[38]).

Результаты этого параграфа имеют локальное зна­

чение. Следствием теоремы 5

является теорема 6 § 16

П р е д л о ж е н и е

16.1.

Операторная

функция

ег (g), g Ez G, удовлетворяет соотношениям

В (т , X)

(ё) =

етх (ё) В (иг, х),

(1)

где т (Е w — произвольный

представитель

класса w,

X — произвольная

сигнатура

класса

2 „,.

З а м е ч а н и е

1.

Система (1)

порождается под­

i = 1 , 2, . . ., 1.

%— ф, если сигнатуры %, ф

ле­

Условимся писать

жат на одной орбите

относительно группы Вейля

W

(ф =

w GE W). Из предложения 16.1

получаем

С л е д с т в и е

16.2. Если

у — ф,

х,

ф е 2 +,

то

ех эквивалентно еФ: е, — в ф .

С л е д с т в и е

16.3. Если сигнатура

у не вырож­

дена

(х ЕЕ 2°), то

ех — вф для

всех ф — х-

С л е д с т в и е

16.4. Если

Re а =

0

(ех — основ­

З а м е ч а н и е 2.

Система (1) означает, что ех (g)

является

инвариантом семейства преобразований

Т(т)

а(%) = В (т,

х)_1а(и>х) в (т, Х)> т е М ',

(X) (g) =

е-х (g) (х),

причем операторы

Ci {%),

(х) определены,

соответ­

ственно, при pi е

— N*, qt е

— N*.

Следствия этих соотношений были отмечены в § 15.

З а м е ч а н и е

3. Ввиду

непрерывности

операто­

на Э х © ,

(ф, ф) = <ф, ф>. Для каждого

а е= С(Э)

пусть а' (а *)

— сопряженный линейный оператор в Э

относительно формы <ф, ф> ((ф, ф)).

= — %,

П р е д л о ж е н и е

16.6. Положим

X* = — Я I — Р при х =

р

|q- Тогда имеем

в К

X)'

- в (т, Х'Г1,

в (т, х)* = В (т,

х Т 1-

С4(Х)* = С|(Х),

* = 1. 2........I.

Продолжая

билинейную

форму <ф,

ф> ((ф, ф))

на Э х ©%

получаем продолжения

операторов

является

элементом Ж (33%, 3)юу). Соответственно,

тож­

дества (1), (2) продолжаются на представления ех в

сопряженных модулях £Z5X-

=

З а м е ч а н и е

4. Скалярное произведение в

=

Ех 0

Eh (v) совпадает со скалярным произведением,

индуцированным из Ех:

((я <8>I), (ъ ®

Т])) =

(а, Ъ) (!\, л).

III.

Пусть U^x — весовая категория

алгебры U,

порожденная подалгеброй Е(§

3). Имеем

X, р е Л.

Для каждого и €Е

и каждой сигнатуры % = v ®

а

пусть и (х)

= и (v,

о) — соответствующий

элемент

Horn (Х^, Sft).

О п р е д е л е н и е

16.8.

Для каждой

пары орто-

нормированных векторов а, b ЕЕ Ех и каждого и е

U ^

определим эндоморфизм

иаЬ(у) £= Н о т (Е^ (v), Ех (v))

по

правилу

К

ь (X) П>

I)

=(и (х) (Ь (Е) л), (я (8) £))>

£ge£ x (v), t i e ^ v ) .

Пусть

F

— множество всех операторных

функций

иаЬ(у) при фиксированных

а,

ЪЕЕ. Еу\

Элементы /

е

€Е

являются полиномами от а (а — показатель у).

П р е д л о ж е н и е

16.9.

Множество

F

не

за­

висит от векторов а,

ЪЕЕ Ех.

что

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно заметить,

иса,ъ (х) =

(ис)аЬ(%)

для

всех

с е ( 7

(fc), и вектор

а цикличен в Е х относительно

U (fc).

Следовательно,

F xv- не зависит от а.

Аналогично, F ^ не зависит от Ь.

Предложение

доказано.

Положим /

(у) = /

(v, а) при % = v ® сг.

П р е д л о ж е н и е

16.10. Элементы /

е

F xvудов­

летворяют соотношениям

bx (т, v, a) /

(v, а) =

/ (wv, wa) b** (m, v, с),

m e

M '.

(3)

Доказательство следует из включения В (т,

v, а)

6Е

GE Hom8 (S5V,

5S„,V), т е ш .

Аналогично,

пусть

ct (v, а) — сужение

оператора

(е_;)|р*'

на

Ех (v)при

pt = V2 (ог + vt) е

—

N*,

сг (v,

°)

— сужение

оператора (ег)|9{| на

Е х (v)

при

qt -

V, (<Ti — V|) е

— N*.

е= iW

удо-

П р е д л о ж е н и е

16.11. Элементы /

влетворяют

соотношениям

Сг(V, <3) / (v, о)

=

/ (v — ftOj,

о + асц) с4(v, б),

(4)

Si (v, о) / (v, з)

= / (v +

а — д л ) с4(v, з),

(5)

г =

1,

2,

. .

/,

где,

соответственно, в (4), (5) поло­

жено pt €ЕЕ— N*,

qt £Е — N*.

Доказательство

очевидно *).

З а м е ч а н и е

5.

Уравнения (3) могут быть запи­

саны в матричной форме следующим образом.

Пусть

Для

каждого

фиксируем

т ЕЕ w.

ег — фиксированный базис в Ех (v); тогда е\ =

теь —

базис в Ех (w\).

Аналогично, выберем

согласованные

базисы в ЕР (v),

Е^ (wv).

выполняется

система

уравнений

bx ( u * , % ) f ( x ) = f ( w % ) b ¥‘ (w,x),

w < = W ,

(6)

где bx (w,

%),

(w, х)

— матрицы операторов Ьх (т, у),

ЬР (т,

%) относительно этих базисов. Согласно замеча­

нию 2 § 13, остальные уравнения (3) являются следстви­

ями системы (6).

Аналогично могут быть записаны уравнения (4) (5).

X•

IV.

Положим,

в частности, р, =

v+, где v — индекс

В

этом

случае

/ (х) £ Нош (£ ,+ (v), £ х (v)) ~

~ £ ^ ( v ) ,

поскольку

dim E*+ (v)

= 1.

Согласно

пред­

ложению

16.8 и условию нормировки операторов

В (т,

х)

(§14), имеем

в этом случае

b * ( m , x ) f ( % ) = f ( w x ) m ,

т < = М ' .

Пусть / j,

/ 2, . . , / г

— произвольный

набор элементов

из

F XP, г* =

п-к (v).

Фиксируем

произвольный

базис

в

Е х (\),

и

пусть

(Д, / а, . . ., Д ) — квадратная

Л

матрица

r>. X гк, составленная

из столбцов

/ г ,

i =

— 1 , 2 , . . . , г%.

?

П р е д л о ж е н и е

16.12.

Пусть

я,

(Д+,

а) —

полином от а, определенный в §

14. Тогда

det (Л, / 2, ..., / а ) (v,

а) =

я* (А+, — а) р {у, а),

где

р (v,

а) — полином от а такой,

что

р (v,

а)

=

=

р (wv,

wa) для всех w £5 W.

Положим

/ (v,

о)

=

=

Д о к а з а т е л ь с т в о .

del (/j,

/ 2, . . . , /г ) (v,

о).

Согласно

соотношению

симметрии, отмеченному выше, имеем

(w, v, о)/ (v, б) = / (wv, wa),

i o e t f ,

где р (v, о)

= р (wv, wo) — полином от о,

инвариант­

ный относительно W . Предложение доказано.

О, то

С л е д с т в и е

16.13.

Если ] ( Е б а,

а <

U L? ^ Lx-

в этом случае полином я„ (А, — о)

Действительно,

обращается

в

нуль при

некотором

1 е Л ,

откуда

U ^ L ? ф Ь\.

16.14. Если сигнатура

вырождена,

С л е д с т в и е

то представление ех приводимо.

@а, ос < 0 ,' либо

Действительно,

если

то х

а 0.

Приводимость в первом случае вытекает из след­

ствия

16.13,

во

втором

случае — из

двойственности

Заметим, что, ввиду теоремы

1, модуль D x допу­

скает фильтрацию

замкнутыми

подмодулями

Ek ZD

ZD Ек+i, к =

0, ± 1,

± 2,

. . . , с

неприводимыми

ком­

понентами

F k = Ек/Ек+1.

Иначе

говоря, D x

имеет

композиционный

ряд

Dx =

. . . —> Fы—> Ек+1—* . . .

Т е о р е м а

6.

Если % — i]), то модули D x, Нф

до перестановки компонент

F k.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим вначале, что если

*

*

*

4 Д. П. Желобенко

97

случая v = 0 (v — индекс %)•

В этом случае D x содер­

жит инвариант

подгруппы

К

(Ьх ф (0)).

Напомним,

что dim Lx =

1.

Модуль Lx =

Loa называется модулем

класса

0.

Соответственно,

ех =

е0а

называется пред­

ставлением класса

0.

Заметим,

что Lx

натянуто

на

функцию

ф0 (g) =

= da (g)

(§ 13),

причем ф0(к)

=

1,

к s

К.

Нашей

ближайшей целью является изучение циклического

модуля N x =

ULX. Положим также

N x = N 0a

при

%= 0 ® о.

Т е о р е м а

7.

Циклический модуль N x =

N 0a

сов­

падает с

Lx

тогда и только

тогда,

когда оа ф

—2,

—4, . . .,

а (ЕЕ А+ (т. е.

] ( Е

2 +).

Доказательство этой теоремы основано на теореме

Костанта

(§

2).

что

gc — прямая]

сумма

идеалов

1.

Напомним,

gt, g2;

положим

U i=

U (gj),

t/2 =

U (g2). Изоморфиз­

мы gc

на gi,

g2,

Iе определяются отображениями (§

1):

a (x) — x

|0,

b (x)

=

0 |x,

c (x)

=

x |— x',

x S

gc-

(1)

Отождествляя

gc>

fG (относительно

указанного

изо­

морфизма),

заметим»

что

U — градуированный

gc-

модуль,

Uи

и г — его

подмодули.

Из

разложения

gG в прямую сумму gi, gc находим

U = Ц г® t/gc

(2)

(прямая сумма), откуда Ui C^U/Uqc. (Аналогично, {/2 ~

~ U/U$c-) Отображение

х >->- а (х) осуществляет

изо­

морфизм

gc-модулей

U (gc),

U4.

Vе =

{ I s

Пусть

V — произвольный

{/-модуль,

6 F: gG Е =

(0)}. Отметим

П р е д л о ж е н и е

17.1. Для каждого £ ЕЕ F0 ото­

бражение и >-*- и\ — гомоморфизм

модулей U, V.

Действительно, хи\ = \х, и] |,

ж ЕЕ дед и е

U.

В частности, £/х —> Fx, 1 е

А,

где Л — множество

всех старших весов алгебры дс.

2. Рассмотрим действие алгебры С/в ^о, порожден­

ное представлением еоа. Согласно (2), имеем

и%* =

и г2% =

Е Ы Z (в1) Х°0 = Е Ы 55JJ,

где Е (дД ~ Я (дД (§ 2),

Z (дД — центр

U (зО,

скаляр­

ный на Хо (следствие 11.5).

Фиксируем

базисный

вектор

ф0 е

Х°0.

модуль

П р е д л о ж е н и е

17.2.

Циклический

Ж 0 =

UXо совпадает

с

Х 0 тогда и

только

тогда,

когда

отображение Е (g,) —> Е (gi) ф0

инъективно.

Действительно,

=

Е (дДх ф0 d Х\ (предложение

ты

yi

е Hom9c (Е\

Н (gO), i = 1,

2,

. . .,

гх =

=

«х (0) =

dim Я х (0),

такие,

что

их

образы

уг£,

I ЕЕ Ег, — однородные

полиномы

над

до

порождаю­

щие Я (дД х.

Положим

at — а ° у,-,

где а

— изомор­

физм

Н (gc) —> Е (дД.

Согласно

предложению

17.1,

имеем

еоа (а£) Фо =

2 /у (3) (S ®

ei),

(3)

i=l

где

et — фиксированный

базис

Е х (0),

| 0 т] — эле­

менты

Хо =

Ех ® Ях (0)

(§ 11),

fij (о) — полиномы

от

а £

fo.

Согласно

определению

16.8, каждый век­

тор

/j

(а)

с

координатами / у (а)

является

элементом

F xo. Положим

dx(o) =

det(/l)(a)).

(4)

Из

предложения

17.2

получаем

Ж 0 =

С л е д с т в и е

17.3.

Циклический

модуль

= UXо совпадает с

Х 0

тогда

и только тогда,

когда

dx (о)

Ф 0 для всех 1 е Л

таких,

что пх (0) ф 0.