книги из ГПНТБ / Термодинамические основы теории тепловых машин учеб. пособие

Так как

р_8314 М

ТV

то

<lS=iW( /ял, — + 8314-5*^-

ТV )■

или после интегрирования для конечного процесса 1—2

Эта формула позволяет определить изменение энтропии рабоче­ го тела по известным значениям температур и объемов в начальном и конечном состояниях. Для получения формул, определяющих из­ менение энтропии при других сочетаниях известных параметров, воспользуемся равенством

Заменяя в уравнении (143) по приведенному равенству отноше­ ние температур, будем иметь

Если же в уравнении (143) исключить отношение объемов, то получим

127

или

Формулы (143), (144) и (145) позволяют определить лишь из­ менение энтропии в процессе. Знание абсолютной величины энтро­ пии рабочего тела при выполнении теплотехнических расчетов прак­ тического интереса не представляет.

§ 6. ДИАГРАММА Т—S

Понятие об энтропии как функции состояния позволяет приме­ нять с целью термодинамического анализа процессов, помимо диа­ граммы р—V, диаграмму Т—S.

В диаграмме Т—5 (рис. 36) по оси абсцисс откладываются зна­ чения энтропии, по оси ординат — значения абсолютной темпера­ туры. В данной координатной системе так же, как и в системе коор­ динат р—V, каждое равновесное состояние газа изображается точ­ кой, а обратимый процесс — линией.

Т

1

Рис. 36

Выявим свойства диаграммы Т—S.

1. Пусть рабочее тело переходит из состояния 1 в состояние 2 по пути 1—2 (см. рис. 36). Двумя бесконечно близкими ординатами выделим под кривой 1—2 площадку с основанием dS и высотой Т. Тогда ее площадь равная TdS, будет соответствовать бесконечно ма­ лому количеству тепла, взаимодействующему с рабочим телом,

TdS = dQ = dF.

128

Интегрирование по всему процессу дает

Следовательно, в диаграмме Т—5 площадь, ограниченная ли­ нией процесса, осью абсцисс и крайними ординатами процесса, в масштабе диаграммы выражает количество тепла, подведенного к рабочему телу или отведенного от него за процесс.

На этом основании диаграмма Т—S называется тепловой диа­ граммой.

2. Диаграмма Т—5 позволяет судить о направлении теплооб­ мена между рабочим телом и аккумулятором тепловой энергии.

пии тела и теплоты всегда одинаковы. Это означает, что при увели­ чении энтропии тела (dS> 0) тепло к телу подводится (dQ>0) и, наоборот, при уменьшении энтропии (dS < 0) тепло от тела отво­ дится (dQ < 0).

Однозначность изменения dS и dQ может быть использована также для определения знака изменения энтропии по известному направлению теплообмена. Так, если тепло к газу подводится, то энтропия газа увеличивается, при отводе тепла энтропия уменьша­ ется.

3. Диаграмма Т—5 позволяет определить термический к. п. д. цикла.

Рассмотрим цикл 1—а—2—6—1, изображенный на рис. 37. В процессе I—а—2, сопровождающемся ростом энтропии, рабочее тело получает некоторое количество тепла

AQ, = F1'-л-а -2- 2'- г •

Рис. 37

В процессе 2—б—1 от рабочего тела некоторое количество тепла отводится

1Q2= t г-1 -6-2—2'-Г •

Таким образом, термический к. п. д. цикла, представленного в координатах Т—S, можно определить как отношение площади замкнутого контура цикла к площади, соответствующей количеству подведенного за цикл тепла.

Основные термодинамические процессы в системе координат Т—5

И з о т е р м и ч е с к и й п р о ц е с с , Т = const

В системе координат Т—S график изотермы представляет со­ бой прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 38).

Рис. 38

Изменение энтропии рабочего тела за процесс 1—2 может быть найдено по одной из общих формул (143), (144), (145).

Так, формула (143)

Последнее уравнение позволяет определить направление процес­ са, изображенного в координатах Т—S.

130

Направление процесса сверху вниз соответствует расширению рабочего тела, так как температура рабочего тела при этом умень­ шается.

Изображение изотерм и адиабат легко воспроизводимыми пря­ мыми линиями является одним из достоинств диаграммы Т S,. определяющим удобство ее практического использования.

Рассмотрим теперь необратимый адиабатический процесс. Для него по-прежнему dQ — 0. Это означает, что необратимый процесс так же, как и обратимый, идет без теплообмена между рабочим телом и окружающей средой. Но в то же врехмя для необратимого адиабатического процесса на основании выражения (137) будем иметь

d S > - dQ = 0.

Т

Отсюда следует, что необратимые адиабатические процессы не­ зависимо от их направления всегда протекают с возрастанием энтро­ пии. Так, в отличие от обратимой адиабаты 1—2 (рис. 40, а) необ­

ратимый адиабатический процесс расширения идет по кривой 1—2',. отклоняющейся от вертикали в сторону возрастания энтропий. Ана­ логично необратимый адиабатический процесс сжатия протекает по кривой 1—2' (рис. 40,6), а не по вертикали 1—2. Площади под графиками необратимых адиабат соответствуют количеству тепла AQT, которое эквивалентно работе трения и энергии завихрений, развивающихся в газе. Это тепло воспринимается газом и вызывает увеличение конечной температуры рабочего тела по сравнению с ко­ нечной температурой в обратимом процессе на величину А Гі^р. Затрата энергии на внутреннее трение и завихрения уменьшает ве­ личину внешней работы, получаемую при расширении рабочего тела, и увеличивает затрату ее на сжатие. Эта потеря работы экви-

1 3 2

валентна теплу AQT и является неизбежным следствием необрати­ мости процесса.

~тТ

г,

Уравнение (147) показывает, что в координатах Т—5 изохора »представляет собой некоторую логарифмическую кривую (рис. 41),

обращенную выпуклостью вниз. При подводе тепла имеет место рост и энтропии и температуры рабочего тела, поэтому кривая идет вверх и направо. При отводе тепла она направлена вниз, налево.

Площадь, расположенная под графиком процесса, соответствует количеству подведенного или отведенного тепла, равного изменению внутренней энергии рабочего тела.

133

И з о б а р и ч е с к и й п р о ц е с с , р — const

Отсюда следует, что в координатах Т—5. изобара подобно изо­ хоре представляет собой логарифмическую кривую (см. рис. 41), обращенную выпуклостью вниз.

Направление процесса вверх направо соответствует расширению рабочего тела, так как характеризуется подводом тепла и ростом температуры. Сравнение формул (147) и (148) показывает, что при одинаковых начальных и конечных температурах приращение энтропии в процессе р=*const будет больше, чем при V = const, по­ скольку тср > тс у. Поэтому в координатах Т—51 изобара идет не­

сколько положе изохоры.

П о л и т р о п и ч е с к и й п р о ц е с с

Изменение энтропии рабочего тела в политропическом процессеможет быть определено по любой из трех формул (143), (144) и (145). В ряде случаев применение этих формул может оказаться нецелесообразным, так как при этом необходимо знать начальные

иконечные величины двух параметров состояния тела.

Сцелью получения формулы, позволяющей определять измене­ ние энтропии лишь по изменению одного параметра, подставим в

выражение ds = величину dQ согласно уравнению (115)

dQ = М тСу — ----— d Т. 11 — 1

Тогда

или для конечного процесса

134

Характер протекания политропического процесса в координатах 7 5 будет зависеть от величины показателя политропы п.

На рис. 42 приведен сводный график процессов в координатах T—S. Точка 1 принята за начальную. Толстыми линиями нанесены

четыре основных термодинамических процесса, тонкими-—некотсь рые другие политропические процессы. Стрелками показаны на­ правления процессов, соответствующие расширению рабочего тела. Штриховкой выделена область, в которой лежат процессы, имеющие отрицательные значения показателя политропы.

Знание сводных графиков процессов в координатах р— V и T—S позволяет легко переносить отдельные процессы и циклы из одних координат в другие.

Цикл Карно в координатной системе Т—X

В качестве примера рассмотрим перенос цикла Карно из коор­ динат р— V (рис. 43,о) в координаты Т—S (рис. 43,6).

Зная наибольшую Т\ и наименьшую Т2температуры цикла, нане­ сем на диаграмме Т—5 в виде горизонтальных линий соответствую­ щие им изотермы. На изотерме Т\ произвольно намечаем точку 1 цикла.

Процесс изотермического расширения 1—2 на диаграмме Т—S пойдет по изотерме Т, от точки 1 вправо до точки 2. Энтропия ра­ бочего тела получает при этом положительное приращение

135 -

Процесс адиабатического расширения изобразится вертикаль­ ной линией 2—3.

Рис. 43

Процесс изотермического сжатия идет по изотерме Т2 от точки 3 влево до точки 4 и сопровождается уменьшением энтропии на ве­ личину

Д5з-4 -= 8314 М In - р - - - Д5,_2.

Цикл замыкается процессом адиабатического сжатия, идущим по вертикали от точки 4 до точки 1.

Таким образом, в координатах Т—5 цикл Карно изображается в виде прямоугольника 1—2—3—4—1.

Количество тепла, подведенного за цикл к рабочему телу, соот­ ветствует площади под изотермой 1—2 и равно

AQt = 7', А.91_2-

Количество тепла, отданного рабочим телом холодильнику, соот­ ветствует площади под изотермой 3—4 и по абсолютной величине равно

A Q , - т, Д 5 , _ * .

Количество тепла, использованного для получения полезной работы за цикл, соответствует площади замкнутого контура

1—2—3—4—1 и равно

U = AQt - Д<?,= (7-, - 72) Д ^ .2.

Термический к. п.д. цикла

136