книги из ГПНТБ / Термодинамические основы теории тепловых машин учеб. пособие

Теплоемкость газа в политропическом процессе

Ранее было отмечено, что теплоемкость данного газа зависит от характера процесса, при котором осуществляется теплообмен.

Под теплоемкостью понимается количество тепла, необходимое для изменения температуры единицы количества рабочего тела на один градус. Последнее обусловливает и вполне определенное из­ менение внутренней энергии газа.

В общем случае политропического процесса не все тепло, сооб­ щаемое рабочему телу, идет на изменение его внутренней энергии и соответствующее изменение температуры, а в том или ином коли­ честве участвует в совершении работы. В зависимости от величины доли тепла Ф, идущей на изменение внутренней энергии, полное ко­ личество тепла, определяющее изменение температуры рабочего тела на 1 кельвин, может быть различным. Отсюда следует, что каждому процессу изменения состояния будет соответствовать свое

Пользуясь уравнением (104), установим, какие значения прини­ мает политропическая теплоемкость газа для четырех типичных тер­ модинамических процессов.

Для изохорического процесса (V=?const) ф —-1,

тсп == тсѵ.

Следовательно, для изохорического процесса политропическая теп­ лоемкость принимает частное значение теплоемкости при постоян­ ном объеме.

87

\_

Для изобарического процесса (р — const) ф =

k 5

В этом случае политропическая теплоемкость принимает частное значение теплоемкости при постоянном давлении.

Для изотер-мического процесса (T=iconst) ф = О-

тсп = оо,

т. е. теплоемкость в изотермическом процессе равна бесконечности. Это объясняется тем, что подвод тепла в данном случае не вызы­ вает увеличения температуры и внутренней энергии газа. Все под­ водимое тепло полностью переходит в работу.

Для адиабатического процесса (dQ — 0) ф = оо,

тсп — 0.

Равенство нулю теплоемкости газа означает, что в данном процессе температура рабочего тела изменяется без подвода или отвода теп­ ла. Изменение внутренней энергии осуществляется лишь за счет работы.

Уравнение политропического процесса

Уравнение первого закона термодинамики

dQ = dU + dL

в развернутом виде можно записать следующим образом:

MtncndT = МтСу dT -f- pdV,

или

М(тсп — тсѵ) dT — p d V = 0

Подставляя в уравнение значение dT, полученное дифференци­ рованием уравнения Менделеева

88

:или

Заменяя 8314 =ancp ~ т с у п группируя члены уравнения с об­ щим множителем pdV, получаем

имеет определенное постоянное численное значение, обозначаемое через п

После указанной замены уравнение принимает вид:

пр cV -р- Vdp — 0.

После разделения переменных и интегрирования получаем уравне­ ние политропического процесса

Поскольку уравнение политропы рѴп = const и уравнение адиа­ баты р У* = const аналогичны по своей структуре и отличаются только показателем, то формулы соотношения параметров и рабо­ ты политропического процесса будут иметь тот же вид, что и для адиабатического процесса с заменой в них показателя k на показа­

89

ском процессе определяется по общим для всех процессов форму­ лам:

dU = Mmcv dT;

W = M m c v \ (72 — 7',).

г,

Для определения количества подведенного или отведенного тепла (изменение энергии теплового аккумулятора) используем формулу (103)

dQ = Мтсп dT.

Решая уравнение (105) относительно политропической тепло­ емкости, находим

90

После интегрирования в пределах от Ті до Т2 получаем для ко­ нечного интервала изменения состояния газа

г,

Совместное решение уравнений

го процесса. Следовательно, для них показатель политропы п при­ нимает вполне определенные значения.

Значения п для указанных процессов можно определить по формуле (105)

шсп - тс

я ----------------- ,

тсп - тсѵ

подставив в нее частные значения политропической теплоемкости тсп. В соответствии с этим получим:

для изохорического процесса (тсп — тсѵ) а — ± =*-=;

для изобарического процесса (тс„ — тср) п — 0;

тс„ — тсѵ

для адиабатического процесса (/77сл = 0), я — k.

После подстановки полученных значений п в формулы политропического процесса последние получают вид формул основных тер­ модинамических процессов.

т

Покажем это на примере уравнения политропического процесса

другие значения п. В зависимости от характера процесса величина п может иметь любое постоянное значение, лежащее в интервале от 0 до ± -jo.

Основным источником получения данных по величинам показа­ телей политропических процессов является экспериментальная диаграмма процесса в р— V координатах. При наличии такой диа­ граммы показатель политропы может быть найден из уравнения

Политропический процесс, объединяя бесконечно большое чис­ ло случаев изменения состояния газа, содержит в себе и опреде­ ленную ограниченность. Эта ограниченность обусловливается по­ стоянством показателя п в каждом политропическом процессе. В то же время реальные процессы изменения состояния рабочего тела протекают, как правило, при переменных п.

При переменном значении величины показателя п расчет про­ цессов усложняется, поэтому обычно его проводят при постоянном, среднем за процесс значении этого показателя.

В этом случае график процесса целесообразно изобразить в ло­ гарифмических координатах lgp, lgB. Действительно, логарифми­ руя уравнение политропы

получаем

lgp - f n lg l/ = с,

или

lg р = с — п lg V.

92

Отсюда следует, что в логарифмических координатах политропический процесс изображается прямой линией (рис. 21), а показа­ тель политропы п представляет собой тангенс угла а наклона этой линии к оси абсцисс.

Если в диаграмме lgр, lgV график процесса не спрямляется, а имеет некоторую кривизну, то его следует разбить на несколько участков, близких к прямолинейным, найти для каждого участка значение п, а затем определить среднюю величину показателя для всего процесса.

О б щ и е с в о й с т в а пол и т р о п и ч е с к и х

пр о ц е с с о в

Вполитропических процессах изменение состояния газа и ха­ рактер превращения энергии определяются двумя факторами: на­ правлением процесса (сжатие или расширение) и величиной показа­ теля политропы п.

Для более глубокого уяснения сущности различных процессов построим их сводный график в координатах р— Ѵ. Наличие такого графика позволяет выявить некоторые общие правила, облегчаю­ щие анализ энергетических превращений в любом политропическом процессе.

процесса от точки 1 вправо будет соответствовать расширению газа, влево — сжатию. Для каждого из этих направлений будем отмечать изменение температуры рабочего тела и условия теплообмена его с аккумулятором тепловой энергии. Условимся знаком плюс обозна­ чать процессы, протекающие при увеличении температуры рабоче­ го тела, знаком минус — процессы, сопровождающиеся уменьше­ нием его температуры. Процессы, совершающиеся с подводом тепла к рабочему телу, будем отмечать стрелкой, направленной от знака Q к линии процесса, и наоборот.

93

Используя ранее изложенный материал и применяя указанные обозначения, нанесем на сводный график линии четырех основных процессов: V — const, р = const; Т — const и cfQ — 0.

Кроме этих процессов, через точку 1 можно провести бесчислен­ ное множество других политроп. Их расположение и форма будут зависеть от величины показателя п.

Рассматривая основные процессы, замечаем, что крутизна их ли­ ний зависит от величины п.

Анализируя диаграмму (см. рис. 22), можно сделать следующие выводы.

Чем больше абсолютное значение показателя политропы, тем круче кривая процесса.

Используя это правило, можно найти на диаграмме места распо­ ложения политроп с различными показателями. Так, политропы с показателями 1 > п > 0 располагаются между изобарой и изотер­ мой, с показателями k > п >. 1 — между изотермой и адиабатой, с показателем п > k — между адиабатой и изохорой.

Политропы с отрицательными значениями п располагаются в первой и третьей четвертях диаграммы. При этом линия политропы

9 4

-с показателем n ——-1, будет представлять собой прямую, проходя­ щую через начало координат, что следует из уравнения

В процессах расширения (Д V > 0) рабочее тело совершает по­ ложительную работу, увеличивая запас энергии механического аккумулятора. В процессах сжатия ( Д V < 0) работа затрачивает­ ся, запас энергии механического аккумулятора уменьшается.

Рассматривая основные процессы с точки зрения характера теп­ лообмена рабочего тела с аккумулятором тепловой энергии, уста­ навливаем следующее правило: адиабата (dQ = 0, n ~ k ) делит по-

литропические процессы на две группы. Процессы, линии которых лежат выше адиабаты, осуществляются с подводом тепла к газу, т, е. с уменьшением энергии в тепловом аккумуляторе; процессы, линии которых лежат ниже адиабаты, протекают с отводом тепла от газа, т. е. с увеличением энергии в тепловом аккумуляторе.

Анализируя основные процессы по характеру изменения темпе­ ратуры газа, заключаем: изотерма (Т = const, п=~ 1) делит поли-

тропические процессы на две группы. В процессах, линии которых лежат выше изотермы, происходит увеличение температуры и внут­ ренней энергии рабочего тела. В процессах, линии которых лежат по& изотермой, температура и внутренняя энергия рабочего тела умень­ шаются.

Каждый из трех основных процессов — адиабатический, изотер­ мический и изохорический—делит область политропических процес­ сов на две группы, отличающиеся знаком изменения величин AQ, AU и ДL, соответственно. При этом чем дальше отстоит та или иная политропа от этих характерных процессов, тем интенсивнее происходит изменение величины соответствующего вида энергии.

Пример. Исследовать процесс расширения, имеющий показатель политропы п — 1,2; показатель адиабаты k = 1,4.

Решение. Находим положение линии процесса на диаграмме р— Ѵ (рис. 23). Кривая процесса идет от точки 1 вправо (расшире­ ние) и лежит между изотермой и адиабатой, поскольку k > п > 1.

Я

р = const, п=0 T=consi, /7-1

кп =},2

V-const dQ=0, п=к

Рис. 23

95

Диаграмма превращения и перераспределения энергии в дан­ ном процессе показана на рис. 24. При расширении рабочего тела запас энергии механического аккумулятора увеличивается. Так как кривая процесса лежит ниже изотермы, температура и внутренняя энергия рабочего тела уменьшаются. Расположение кривой процес­ са выше адиабаты соответствует подводу тепла к рабочему телу и уменьшению запаса энергии теплового аккумулятора.

Расш ирение, r,z1t 2 , k z 1J

Рис. 24

Таким образом, в данном процессе работа совершается как за счет подвода тепла, так и за счет уменьшения внутренней энергии

рабочего тела. I Количественные соотношения превращения энергии устанавли­

ваются коэффициентами:

AQ

ф_ АЦ _____ 1_

Последнее выражение показывает, что в данном процессе рабо­ та совершается наполовину за счет уменьшения внутренней энергии рабочего тела и наполовину за счет тепла, подводимого от тепло­ вого аккумулятора.

Теплоемкость газа в процессе

т сп тСу п — k = — т сѵ

п — 1

является величиной отрицательной. Это означает, что при подводе тепла к рабочему телу температура его уменьшается (при сжатии при том же показателе п температура будет возрастать, несмотря на отвод тепла).

Это странное, на первый взгляд, обстоятельство весьма просто объясняется тем, что в данном процессе совершаемая газом рабо-

96