книги из ГПНТБ / Методы оптимизации в статистических задачах управления

В выражении (179) о (А) объединяет все слагаемые правой части уравнения (178), зависящие от А2.

Путем введения векторов ѵ, (ІА), j — 1, 2, . . k , размер­ ности n

Выражение (181) является системой векторных разностных уравнений относительно Vj (ІА), j = 1,2, . . ., k при начальных значениях

Vj (0) '= 0, / = 1 , 2 , . . . , k.

Система (181) должна решаться совместно с системой уравне­

ний (171), определяющей вектор вероятностей состояний р (ІА). Согласно формулам (172) и (180)

/=І

Таким образом, системы разностных уравнений (171), (181) совместно с выражением (182) определяют математическое ожида­

ние векторной функции х (ІА), I — 0, 1, 2, . . ., которая является допредельной моделью исследуемого случайного процесса х (/). Предельным переходом при А —>0 в выражении (181) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

удовлетворяют системе уравнений (166). Системы уравнений (166) и (183) совместно с выражением

полученным предельным переходом в формуле (182) при А —>0, определяют математическое ожидание процесса х(і). Для опре­ деления М [х (01 достаточно однократного решения на вычисли-

“к

Рис. 21. Блок-схема моделирования М 1х (t)]

тельной машине полученной системы уравнений при нулевых начальных условиях.

На рис. 21 представлена графическая интерпретация решения уравнений. В основе структурной схемы лежат блоки 1, 2,

. . ., k, каждый из которых отражает поведение исследуемой ди­ намической системы в соответствующем состоянии. Между ука­ занными блоками существуют связи через переменные коэффи­ циенты Я(7 (t) *, отражающие интенсивности перехода системы

из состояния і в состояние /. Детерминированное входное воздей­

ствие f (/) распределяется по блокам 1,2, . . . , k с помощью пере­ менных коэффициентов ß (. (t) pt (t), i = 1, 2, . . ., k, учитываю­ щих вероятности пребывания системы в каждом из возможных состояний. Математическое ожидание М [х (t) ] является суммой выходных процессов ut (t) блоков 1, 2, . . ., k.

Изложенный выше подход к определению математического ожидания выходного процесса х (t) может быть применен и к опре­ делению моментов вектора х (t) более высокого порядка. Пусть

Ф(0] — известная функция случайного вектора х (t). Случай­

ный характер х (t), а следовательно, и ф [х (0 1 , вызван случай­ ным воздействием f (t) на исследуемую динамическую систему и случайными переключениями состояния системы. Вследствие от­ сутствия статистической связи случайного процесса / (t) и про­ цесса переключения матриц А (t) и В (t) можно при вычислении М [ф ] последовательно применить операторы усреднения по каж­ дому из случайных процессов:

М [ф] = [ф].

* На рис. 21—23, и 25 для простоты изображения опущен аргумент t.

68

Вычисление М [ф] возможно в том случае, если существует линейная система дифференциальных уравнений, которой удов­

летворяет Mf [ф] = ф/. В частности, если ф [х (01 “ х (t) х* (t), то ф/ совместно с Mf [х Д)] = Xf (і) удовлетворяют следующей матричной дифференциальной системе уравнений (см. гл. 1):

% = Лф/ + фМ* + BNB* +

+Bfxf + Xff В ;

=Axf + Bf;

Ф/ (0) = 0; Xf (0) = 0.

Таким образом, ф/ удовлетворяет системе линейных диффе­ ренциальных уравнений со случайными скачкообразно изменяю­

щимися коэффициентами. Математическое ожидание Аа<в [фу] может быть найдено изложенным выше методом. Например, усреднение выражения (185) с целью определения дисперсионной матрицы вектора х (t) приводит к следующей системе дифферен­ циальных уравнений:

k

Полученный результат будет проиллюстрирован в дальнейшем на примерах.

Изложенная выше математическая модель может быть приме­ нена для описания ненадежных автоматических систем. В про­ цессе работы системы возможен внезапный отказ некоторых эле­ ментов или резкое изменение внешних условий, что может при­ вести к скачкообразному изменению параметров рассматриваемой системы. К подобным системам относятся электронные схемы, содержащие ненадежные элементы. Другим примером являются системы, содержащие механические контакты и работающие в усло­ виях сильных вибраций. Вследствие вибраций в случайные мо­ менты времени возможен обрыв замкнутых контактов или замы­ кание контактов, которые по условиям работы должны быть разомкнуты. Изменение уровня вибраций может привести к вос­

69

становлению механических контактов. Такие отказы являются обратимыми и могут быть отражены в математической модели системы с помощью случайных, скачкообразно изменяющихся коэффициентов.

Отказы в системах управления могут быть и необратимыми, когда восстановление нормального режима работы невозможно. При этом система может сохранить работоспособность при ухуд­ шенных динамических свойствах. Покажем, как полученный в этом параграфе алгоритм расчета моментных функций вектора выходных координат системы x (t) может быть применен для ана­ лиза системы управления с возможными необратимыми отказами.

Допустим, в линейной системе возможны k отказов (k ^ 1). Каждый из отказов приводит к скачкообразному изменению коэффициентов дифференциального уравнения (162), описываю­ щего поведение выходных координат системы. Обозначим моменты скачков в системе іх, і2, . . ., tk. Предположим, что скачки определенным образом упорядочены:

мой неравенствами (186).

В момент включения системы матрицы переменных коэффи­ циентов А (t), В (і) в формуле (162) имеют значения А х (t), В х (t). После первого скачка эти значения изменяются и становятся

новании известной плотности распределения вероятностей скачков

70

і+і

Если в системе произошло k скачкообразных изменений пара­ метров и матрицы переменных коэффициентов приняли значе­ ния ЛА+1 (t), Bk+l (t), то система сохраняет это состояние, и дальнейшие изменения в ней невозможны. Поэтому интенсивность

71

полученной на основании формул (190)—(192), моделирование математического ожидания выходных координат в линейной си­ стеме при наличии необратимых отказов элементов может быть выполнено по схеме, изображенной на рис. 22. Эта структурная схема является частным случаем схемы рис. 2 1,

Схеме, показанной на рис. 22, соответствует система диффе­ ренциальных уравнений, являющаяся частным случаем уравне­

72

uk+i — A k + i (4 uk+i + u k K ,k + i (4 +

73

приводит к системе уравнений

‘ѵі = А1( 0 » і + Ві ( О Ь

Ему соответствует структурная схема моделирования М [*(/)],

Полученные результаты исследования систем со случайным скачкообразным изменением параметров могут быть применены не только к системам с обратимыми и необратимыми отказами, но и к системам, подвергающимся воздействию мультипликатив­ ной помехи. Допустим, что линейная система управления описы­

Рис. 23. Частный случай моделированиям [х (<)] при необратимых изменениях структуры системы

74

+ H

■a(t)xi(t)

- N

&)

Процесс а (f) является случайным, стационарным с равным нулю математическим ожиданием М [а (01 и корреляционной функцией

Таким образом, система (196) содержит мультипликативную помеху а (t) xt (t) (рис. 24, а) по і-й координате выходного про­ цесса. Для случайного процесса а (t) может быть построена сле­ дующая модель (рис. 24, б). Реле в случайные моменты времени переключается из положения 1 в положение 2 и обратно. Пред­ положим, что положения 1 и 2 равновероятны, а распределение моментов переключений подчиняется закону Пуассона со средней частотой р:

P(n, 0 =

где р (n, t) — вероятность того, что в течение интервала времени t произойдет точно п переключений. Построенный таким способом процесс имеет корреляционную функцию (197) и математическое ожидание, равное нулю, что доказывает возможность представле­ ния процесса а (і) моделью рис. 24, б. Это позволяет заменить схему рис. 24, а схемой рис. 24, в, Содержащей блоки постоянных коэффициентов + N и —N , а также контакты случайным образом переключающегося реле. Таким образом, система управления с мультипликативной помехой заменена системой со случайным скачкообразным изменением состояний. В первом состоянии она описывается дифференциальным уравнением

X == Ä qX —j- Â ^ x —I- H f ,

75

где

0 0

Математическбе ожидание и дисперсионная матрица выходных координат рассматриваемой системы могут быть определены изло­ женным выше методом. На рис. 25 представлена схема модели­ рования М [х (t)}.

Заметим, что представление процесса а (і) моделью рис. 24, б Основано лишь на совпадении математического ожидания и кор­ реляционной функции модели и процесса и не учитывает старших моментов мультипликативной помехи а (і). Поэтому изложенный выше подход может быть применен при несущественной зависи-

76