книги из ГПНТБ / Методы оптимизации в статистических задачах управления
..pdfРис. 25. Схема моделирования М [х (t) ] в системе с муль типликативной помехой
мости статистических характеристик выходных координат си стемы от старших моментов мультипликативной помехи. Для учета старших моментов мультипликативной помехи следует применить более сложные модели.
3. Линейные системы со случайными коэффициентами типа «белый» шум
В предыдущих параграфах было проведено исследование ли нейных динамических систем со случайными возмущениями коэф фициентов, когда эти возмущения представляют собой случайные величины или марковские чисто разрывные процессы (например, телеграфный сигнал). В первом случае вся мощность процесса отклонения параметра сосредоточена на нулевой частоте его спектральной характеристики, во втором случае случайный про цесс имеет более богатый спектральный состав. В этом параграфе будут рассмотрены возмущения параметров, имеющие равную интенсивность всех гармоник, или процессы типа «белый» шум. Статистическому анализу линейных динамических систем со слу чайными коэффициентами типа «белый» шум посвящен ряд работ [118, 121, 123, 131 ], в которых для решения задачи анализа приме нен аппарат теории процессов Маркова и уравнения Колмогорова.
Рассмотрим линейную динамическую систему, вектор выход ных координат которой х (/) удовлетворяет системе уравнений в векторно-матричной форме
X = А (t) X + f (t), |
|
||
где X— вектор-столбец п измерений; матрица |
А (t) размерности |
||
[п, п] с элементами als (t), i, j = |
1, |
2 , . . ., n, |
характеризующи |
мися статистическими свойствами |
|
|
|
М Іаи (/)] |
= |
аи (t)\ |
( 198) |
М [аи (t) akl (т) 1= |
|
|
|
|
ki (і) б (t — г); |
||
77
/ (/) — и-мерное входное возмущение со статистическими харак теристиками
M[ f ( t ) ] = 7 ( 0 ; |
I |
(199)
М [/ (/) /* (т)] = N (/) б (/ — т). (
Случайные процессы Л (/) и f (t) коррелированы:
М lau (i) °fk (т) ] = G(i, k (t) б (t — т). |
(200) |
При принятых предположениях относительно свойств случай ных процессов А (/) и f (/) [см. формулы (198)—(200)] случайный вектор X (/) является марковским и его одномерная плотность распределения вероятностей р (/, х) удовлетворяет уравнению Колмогорова (108):
Зр |
( ж ) ' |
*Ъ + - Т ІГ |
|
(201) |
|
dt |
дхдх*Р® V' ХУ |
||||
|
Если известно начальное распределение вероятностей вектора выходных координат х (/):
Р (0, х) = ро (X), |
(202) |
то уравнение (201) также имеет начальное условие (202). Определим вектор коэффициентов сноса с (/, х) и матрицу
коэффициентов диффузии Ѳ (/, х) рассматриваемого процесса х (/):
|
c(t, х) — lim -r-M [Дх(/)|х(/) = х] — |
|
|||||||
|
|
|
|
Д->0 л |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
) |
|
= й 4 -'м J [Л (т) * w + / м |
( о = * = |
|
|||||||
lim_J_ |
М |
і |
} dx |
А (т) |
х(/) + ]^Я[Л(Я)х(Я)+/(Я)] |
+ |
|||
д^о д |
|
< |
|
L |
Lі |
|
|
\ |
|
/( т) X (/) = |
xj |
= Ига -д- I |^Л (/) X + |
/ + - у Д м (/) X -ф- |
||||||
л/(0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(203) |
В формуле (203) для вектора коэффициентов сноса с (/, х) |
|||||||||
матрица Л (/) имеет элементы |
atj (і), / , / = 1 , 2 , . . ., п; |
матрица |
|||||||
(/) и вектор d^ (/) |
определяются выражениями |
|
|||||||
|
|
|
|
|
jД_ |
г+Д |
т |
|
|
|
Daa (t) = |
lim |
М J dx |
J dЯЛ (x) А (Я); |
|
||||
|
|
|
|
Д->0 |
I |
t |
t |
|
|
|
dAf (0 = |
Hm |
tf+A |
T |
|
|
|||
|
T |
M J dx |
j dXA (x) f (Я), |
|
|||||
78
так что
\daa(ОЬ/ = S Я **/(0;
k —\
{dAf(t)},= t G ik, k(t).
k = i
Аналогично определяется матрица коэффициентов диффузии процесса х (t):
ѲЛ j (t, x) — limД->0 -^ТГ-М[Аде, (О Аx, (t) | x (t) = x] —
= |
(і+ Д |
f-{-A |
n |
n |
[fl/feO')**('t) + |
|
|
|
d x Jj |
|
S |
|
|||
|
I t |
t |
k = l |
1= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
= |
S |
2 Rik. и (0 xkxi + |
|
|
n |
n |
|
I |
ft= l |
/= 1 |
|
_ |
|
|
|
|
|
||
+ |
Gik, j (t) Xk -f- ^ |
GjL i (t) xt -j- Nu-(t). |
(204) |
||||
|
k = \ |
i = 1 |
|
|
|
|
|
Решение уравнения (201) связано со значительными трудно стями, однако в большинстве практических задач представляет интерес поведение моментных функций вектора х (/).
В гл. I было показано, что математическое ожидание марков ского процесса является решением дифференциального уравне ния (115). Подставляя в формулу (115) выражение (203) для век тора коэффициентов сноса, получим:
m==( j4 “(-_2~ DAA) т - \ - ~ f d Af. |
(205) |
Дисперсионная матрица марковского процесса D (t) удовле творяет дифференциальному уравнению (116). Введем обозначение:
П |
П |
Тц — ^ S ^Rik, л Фкі -f- тііЩ) + ^jpik, imk +
+ Gjk, іЩ + N ц. |
(206) |
k = l |
|
Тогда используя в формуле (116) выражения (203), (204) и обозначение (206), получим следующее дифференциальное урав нение:
6 = (Х + - Т ° л л ) D + D ( 1 + ~^DAAy + Т . |
(207) |
Аналогичный прием позволяет найти обыкновенное дифферен циальное уравнение, определяющее моментную функцию выходных координат Xj (t), i = 1, 2, . . ., п произвольного порядка. Суще-
79
ственной особенностью дифференциального |
уравнения относи- |
|
k k |
k ] |
порядка H = ki + |
[ х\1хг2. . |
.Xn\ |
|
+ k<i + • • •+ kn является возможность применения рекурсивной процедуры вычисления моментной функции. Это связано с тем, что правая часть дифференциального уравнения, разрешенного
относительно M [xi1^ 2. . . xn"j зависит только от моментных
функций порядков N и N — 1. Уравнения (205), (207) наглядно демонстрируют это свойство.
Пример. Рассмотрим простейшую параметрическую систему первого порядка
* = — а (t) X + / ( t),
где стационарные случайные процессы а (() и / (() определяются следующими статистическими характеристиками:
М[а (01 = а = const;
М[a (t) а (т)] = Rö (t—т);
М[/ (0 ] = f — const;
|
|
М |
|
t) J = т ( t - т); |
|
|
|
|
М [a (t) f (т) ] = G6 ((—т). |
|
|||
Коэффициенты сноса и диффузии процесса х (t) |
согласно формулам (203) |
|||||
и (204) определяются выражениями |
|
|
||||
|
c ( t , х) = |
а + |
R^j X -f- j + |
— G; |
||
|
|
Ѳ (t, x) = |
Rx2 + 2Gx + N, |
|
||
а уравнение Колмогорова (201) принимает вид: |
|
|||||
dp _ |
d_ |
{ ~ a x + ~ Rx + f + |
p (t, x)j + |
|||
d t |
dx |
|||||
|
|
|
|
|||
~ ~ l ( R x 2 + 2Gx + N )p(t,x)] .
Математическое ожидание рассматриваемого процесса т (t) и его дисперсия D (t) согласно выражениям (205) и (207) удовлетворяют уравнениям
m = ( - ä |
+ i * ) m + / + - ^ G; |
{208) |
D = 2 (—а + |
R) D + Rm2 + 2Gm + N ^ |
|
при начальных условиях
т (0) = т0\
D (0) = D„.
На основании формулы (208) могут быть установлены допустимые вариации случайных параметров для обеспечения устойчивости системы в среднем и в сред-
80
S(a)
$О
Wo |
—(Од +Аи) |
kJО~А(іj |
(Oq+Üq |
- и 0 |
|
|
си |
Рис. 27. График S (со)
Рис. 26. Схема корреляционного компенса тора
нем квадрате. Очевидно, что для устойчивости системы в среднем должно выпол няться условие
a > ~ 2 R'
а для устойчивости в среднем квадрате — условие
ä> R.
Вопросы устойчивости линейных систем, параметры которых возмущены «белыми» шумами, подробно рассмотрены Р. 3. Хасьминскими {107].
К исследованию линейных систем со случайными коэффициентами типа «белый» шум сводится анализ некоторых радиотехнических схем. Рассмотрим следующий пример.
Пример. Исследуем фильтр, построенный на корреляционном принципе. Структурная схема подобного фильтра представлена на рис. 26. Схеме соответ ствует система дифференциальных уравнений
|
|
г 1 * 1 |
+ |
zi = vi lvo+ |
Уіѵі2і + |
Y x Bx zx ] , |
|
(209) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тх 2± + |
г х = |
[ ро + |
ѴіѵЛ |
|
+ У±°хгх І |
|
|
|||
После простейших |
преобразований |
выражения |
(209) приводится к виду |
|||||||||
2 |
1 |
= 2j |
|
|
+ zx у^У хѵіѵх + "7^°0°Ь |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
Yx |
„ |
\ . |
1 |
(210) |
z x |
= |
zi у - |
Уіѵіѵх + |
гх |
|
■ V x - |
||||||
|
1±.V2. |
|
|
|||||||||
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
T± ' X |
|
|
||
Входные процессы корреляционного фильтра |
(t), |
üj (t) |
и |
(t) являются |
||||||||
коррелированными узкополосными стационарными гауссовыми процессами. Спектральная плотность мощности процесса ѵ0 (t), представленная на рис. 27, определяется выражением
S( «в) = |
S0 |
при |
I со — (00| < Д М, |
со + со0| < Дш; |
0 |
при |
I со — со0 Ди, |
(211) |
|
|
“ + “оІ5гдю. |
где со0 — несущая частота процесса; со0 =
2л
*о
Процесс ѵг (t) связан с ц0 (0 зависимостью
vL (t) — kv0 (t — e),
6 А. M. Батков |
81 |
что отражает прием сигнала с задержкой во времени и изменением амплитуды.
Процесс |
(t) сдвинут по |
времени |
относительно |
ѵг (t ) на |
1 / 4 |
периода несущей |
|||
частоты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ѵ± <о = »і |
|
|
|
|
||
Процессы |
(t ) и |
(t ) |
являются |
ортогональными |
[55]. |
Необходимость |
|||
двух трактов |
компенсации |
и г |
(t) и |
(t ) |
вызвана |
наличием двух независимых |
|||
параметров фильтруемого узкополосного гауссова процесса ѵ 0 (t ): амплитуды и фазы.
В связи с тем, что входные процессы системы (210) являются случайными, она описывается линейной системой дифференциальных уравнений со случай ными коэффициентами. Система (210) может быть записана в векторно-матричной форме:
г = А (0 г + / (0,
где
|
|
г |
I |
I |
Z |
l |
|
|
|
I |
Iг х |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Тх (1 - Y i ®і) |
|
4 Y x ^ x |
||||
|
1 |
Yi°iüx |
|
|
т± 0 |
ВД .) |
Т ± |
|
|
||||
|
|
/ = |
к |
ѴаѴі |
|
|
|
|
|
|
ѴпѴ |
|
|
|
|
|
|
|
ои± |
|
Введем обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
K i j = М [ v ^ j ] , |
|
|||
так что, например, К 1 Х = |
М |
[üjUj J . |
Тогда |
|
||
у1- |
(1 — Yi^n) |
|
т і У ± К і ± |
|||
А = |
|
|
|
|
|
(212) |
4 - Y i* ix |
|
|
- ( 1 - Y x ) * х х |
|||
1X |
|
|
|
|
|
|
7 \ Ко1
41 ~X к°х
82
Матрица А и вектор f составлены из средних значений элементов А (t) и / (t) соответственно. Тогда центрированные отклонения элементов матриц А (t) и / (t) могут быть представлены в виде:
Yi |
би |
Ух |
|
Тг |
Тг |
і х |
|
А (0 = |
t |
Ух |
(213) |
Yi |
|
||
тх |
Six |
т± |
хх |
1
Тг и
=1
тх Sox
где
= ViVj ~ * i
Вычислим А и /, определяемые выражениями (212). Нетрудно установить, что
Кп = |
М [ѵ\ ( 0 ] = |
k>M [vl (t - в)] = k2M Ң ( 0 ] = A2D , . I |
KXi_ = |
M (t) v± ( |
0 ] = k m v0(t — г) v0 (^t — e — |
= kW Vo(t)v0[t — |
= |
0; |
K± ± = M [ v \ ( t ) } = k 2Dv - |
Д^8 |
|
K0l = kM [O0(t ) V0 (t — 8)] = kD |
COSO)08 |
|
|
|
sin До)8 |
I но |
О |
О |
= kDVocosсо0(•+£)
OC 1 |
1 |
1 ----1 |
sin Дм / |
! |
|
+ Та \ |
||
. |
( |
т„\ • |
М |
е + |
~ г ) |
Здесь было использовано выражение (211) для спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса ѵа (t). Таким образом, можно записать:
- ± {1- ѵ № 0) |
о |
о |
_ J _ (i _ YxA2d0o) ’ |
■JrkDVo cos (o0e 11
7 =
cos w0 1
Sin A№8 |
(214) |
OC 3 1 < |
|
sin д ю ( е + |
^ ) |
6 * |
83 |
Изучим теперь случайные отклонения элементов матрицы А (t) и вектора / (t) от их средних значений Л и / , которые определяются выражениями (213). Рас
смотрим статистические характеристики процесса |
gn (<). Корреляционная |
функция этого процесса |
|
|
*п.п(т) = Л1 Г~Yi |
6іі (0 5 п « + т) |
|
|||
|
|
L11 |
|
|
|
|
_Ѵі_ |
|
|
|
|
|
|
'Р2 |
I И ( 0 - |
* 1 і ] К (* + *> ~ * 1 і ] ) = 2 ^ 2 |
*1 1 W . |
|||
11 |
|
|
|
|
Г/ |
|
где |
Кп (т) — М [vt |
(t) |
vt (t + |
т)] = |
|
|
|
|
|||||
= |
k2M [v0 (t — e) v0 (t + |
T — e) ] = &2K0o W- |
||||
Таким образом, |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
и (т) |
:2 - |
^ ^ |
0(т). |
(215) |
|
|
|
7 1 |
|
|
|
В соответствии со спектральной плотностью мощности процесса v0 (t), вы числяемой по формуле (211), его корреляционная функция определяется выра жением
|
|
|
гг / \ |
г* |
sin А/лТ |
, |
|
|
К00 (т) = D0cos (00 X — . ■ ю |
||||
где |
|
|
|
|
, 2S0Aq |
|
|
|
|
D0=M [ug(0 ] |
|
||
Теперь нетрудно определить спектральную плотность Sn , п (со) мощности |
||||||
процесса |
L1 |
| u (t) как |
преобразование |
Фурье его |
корреляционной функции |
|
Kn, п (т). |
График S n , u |
(со) представлен |
на рис. 28. В ряде практических за |
|||
дач ширина спектра S u , ц (со) |
много больше полосы пропускания системы при |
|||||
средних значениях параметров, определяемых выражением (214). Это означает, что на динамику системы оказывают влияние только низкие гармоники спектра 5 ц , u (ш), интенсивность которых близка к S Ul u (0). Иначе говоря, случайные
отклонения gn (t) воспринимаются системой как «белый» шум интенсивности
*1
Sn, п (0). В соответствии с принятым обозначением [см. формулу (198) ] S n , u (0)= = Rn, и- Величина Rllt u легко подсчитывается по формуле
|
і(0) = 2 ^ й 4 |
со |
„ 2 |
|
|
со |
S(co)S(-(ü)dco = |
|
* п , и — ^ii.i |
11 |
J ^ 0(t)rfx = 2 ^ é 4 — |
|
I |
||||
|
|
|
= |
8 -=!— |
|
SqÄ4 Д со. |
||
|
|
|
|
2я т\ |
|
и |
|
|
|
|
|
Свойствами, |
аналогичными |
указанным вы |
|||
|
|
ше |
для процесса |
gu |
(/), |
характеризуются |
||
|
|
й другие элементы А (t) |
и / |
(t). Таким образом, |
||||
|
|
все процессы случайных отклонений парамет |
||||||
|
|
ров |
могут рассматриваться |
как «белые» шумы, |
||||
84
интенсивность которых равна значению спектральной плотности мощности при (о = 0. Взиамные интенсивности случайных отклонений коэффициентов пола
гаются равными значению взаимной спектральной плотности мощности при
со=0.
|
Y_l |
(t) |
характеризуется |
интенсивностью |
В частности, процесс ------| ljL |
||||
|
YJL |
|
|
|
р |
|
|
sin 2 Аа Іо. |
|
_4 _L Yx c2l4 Д |
4 |
|||
K n, |
12 ~ 4 2л ~ф2 |
|
2A |
То |
|
1 1 |
|
||
|
|
|
'“ “Г J |
|
Ниже приведены все статистические характеристики случайных отклоне ний коэффициентов, необходимые для проведения анализа системы:
|
|
2 |
|
|
|
. .. |
Г. |
|
|
1 |
?1 - Slk*A, |
sin 2ДМ |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
^21, 21 ^ 2л |
°0ге |
^(0 |
|
2А |
Т'о |
|
||
|
|
|
|
|
|
1®>“4- |
|
|
|
Р |
__ О |
' |
^ 4 - (?2 а 4д . |
|
|
||
|
*•22, |
22 —й |
2^ |
j .2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
■Slk~A, |
|
|
|
sin 2 Аав |
||
А'п = 4 |
|
1 + cos2ö>08 - ^ |
bB |
|||||
2л |
0 |
® . |
|
|
|
|
||
Nm=442л~ x~j s lk2^ |
1 -f- cos2(ü0^e -f ~ |
sin 2Am(ч£У |
||||||
|
|
|
: 0; |
|
2Д, ■(•+£) J’ |
|||
|
^ 11. 12 — ^ 11. 21 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
ч |
О |
1 |
YlYx |
^ |
д |
|
|
|
?П, 22 8 |
2л |
|
0 |
0 |
|
|
|
^ 12, 21 —4 |
1 |
-VlYx с2)4д |
|
sin 2А(а - ± |
||||
|
|
|
|
|||||
2л Т{ГХ 0 |
«> |
|
2А |
|
||||
|
*?12. 22 — К 21t 22 — 0 ; |
|
||||||
|
|
|
|
|||||
Rli, Ik = |
ij> |
N12 ~ 4 |
|
-jTj— X |
||||
X Sßé2 дш cos (öq |
|
|
|
|
|
) ’ |
||
|
|
V + « 1 л (2c -j- |
||||||
|
|
|
|
|
|
sin Аие _ |
||
Ga, 1 = |
8 |
Щ s lk* Ло>cos “ о8 |
Affle |
|
||||
sin A,
- ( • + £ )
■(•+*) '
85
|
|
|
|
|
COS СОл ( E--- - |
)------ ----- — |
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
[ |
1 > |
* |
. ( |
- |
£ |
) |
|
|
|
|
- COSG)0 |
|
|
sin Am (e + ^ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A* ( e + x ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
° I2> 2 |
= |
4 ~2n |
T1T± 5 oa3a co x |
|
|
|
|
|
||
X |
|
|
sin Дм8 , |
|
|
sin Affl |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cosM0s - - л c - + COS co0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
aCüb |
|
( |
+ 2 |
) |
A„(» + i ) |
|
’ |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
G«.1^ |
|
V , |
D O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4~ è r i \ f r[^ > k^ a X |
|
|
|
|
|
|||||
X COSG)0 |
(e - |
- f ) |
--------7~~~ |
T \ L |
+ cosco0( s |
+ J |
f ) -------- |
|
To |
||||
|
/ |
r„ \ |
Sin A“ ( e |
v ) |
|
/ |
T |
\ |
Sin A® ( 8 + 14 |
||||
|
|
|
A“ (6- ^ ) |
|
V |
|
' |
A« ( 8+ ^ |
|||||
|
|
|
G 2 1 , |
2 — |
|
1 X |
|
sin Aw ( е + |
-Ь -) |
|
|||
|
|
sin Affl8 |
, |
( |
r |
TB\ |
|
||||||
X |
|
sinA» ( s |
+ |
~ # |
|
||||||||
COS“ oS----д - ^ - + СО5С00 ( e - f - J - ) ---------j - i ---- |
fT—- |
’ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
7 |
T \ |
|
||
|
|
|
|
|
|
2 J A< o ( e + ^ ) |
|
|
|||||