книги из ГПНТБ / Методы оптимизации в статистических задачах управления

нию (148) обратное преобразование Лапласа, получим следующее интегральное уравнение относительно rxx (fx, t2):

12

ходимости учитывать закон распределения случайного пара­ метра а. Отсюда следует вывод: при известном математическом

ожидании X (t) системы (130) корреляционная функция выходной координаты kxx (tlt t2) не зависит от закона распределения слу­ чайного параметра.

Если закон распределения случайного параметра является равномерным, то вторая начальная моментная функция rxx (tx, t2) может быть определена и из другого интегрального уравнения. Для вывода этого уравнения применим к Х 2 (р , q, а) свойство, записываемое формулой (135). После несложных преобразований

Здесь X (p, Ci) и X (p, c2) являются преобразованиями Лап­ ласа выходной координаты при значениях параметра сх и с2:

ходная функция системы Z (р) = 1, а передаточная функция представляется в форме

1

Обозначая через k (t) функцию-оригинал, соответствующую

изображению , путем обратного преобразования Лапласа

выражения (153) получим следующее интегральное уравнение относительно rxx (tlf t2):

} k ( t 1— x)xrxX(x, t2)dx-f f k{t2 — x)xrxx(t1, t ) dx —

которое должно решаться при граничных условиях (150). Рассмотрим способ моделирования математического ожидания

линейной стационарной системы при наличии нескольких нор­ мально распределенных параметров. Предположим, что случай­ ные параметры а0 і = 1, 2, . . ., k в системе (129) распределены нормально с нулевыми средними значениями и корреляционными моментами М [ага у] = оц, г, j = 1, 2, . . ., k. Тогда преобра­ зование Лапласа выходного процесса системы можно представить в следующей форме:

k

где ß = 2 at R( (p) является нормально распределенным случай- t=l

ным параметром с нулевым средним значением и дисперсией

k k

И р) і2= 2j È<ii/#i(p)fi/(p),

‘=1/=і

с — знак комплексного сопряжения; а (р) — рациональная дробь, нули и полюса которой расположены в левой полупло­ скости комплексной переменной р. Нормируя случайный пара­ метр ß:

ß = ßH<7 (Р)

преобразуем выражение (154) к виду

м(Р) Z (р)

х(Р) — L (pH - ßHo (р) '

58

На основании формулы (144) для «неусеченного» нормального закона распределения нормированного параметра ßH(с1 — —оо, с 2 — со) получим

В заключение рассмотрим пример, иллюстрирующий приме­ нение изложенного метода к анализу системы со случайным пара­ метром.

Пример. Рассмотрим динамическую систему, структурная схема которой представлена на рис. 16. Передаточная функция системы

1

Ф (Р) = ' V (р) + а

где

^ > = 7 > Т Т >

зависит от случайного параметра а, распределенного равномерно в интервале [с1( с2]. При исследовании импульсной переходной функции системы необходимо положить z (t) = 6 (/), Z (р) = 1.

Математическое ожидание и корреляционная функция импульсной реакции исследуемой системы определяются путем совместного решения операторных

59

Обратное преобразование Лапласа выражений (146) и (153) с учетом приня­ тых обозначений (152), (155) — (157) приводит к следующей системе уравнений

при граничных условиях

x (0) = T ;

(160)

rxx (0> 0 = бхдс (^> 0) = Тх (I).

Моделирование системы уравнений (158)—(160) проводилось на цифровой вычислительной машине. Реализация на ЦВМ уравнения Вольтерра второго рода (158), эквивалентного системе обыкновенных дифференциальных уравне­ ний, не представляет затруднений. Моделирование функции двух переменных гхх (Ц> ^2) согласно уравнению (159) может быть проведено более экономичным

методом, чем метод сеток. Симметрия функции гхх (Ц, t2):

r X x U l ’ ^2) = Г Х Х (Ц> Ц)>

позволяет проводить моделирование в области Ц > t2. Для каждого фиксирован­ ного значения Ц при определении -гхх (Ц, согласно выражению (159) прово-

60

дится решение уравнения по переменной t2. При этом необходимо, чтобы в па­ мяти машины запоминалось

i1

(для любого фиксированного значения t2) через линейную систему с импульсной переходной функцией т] (t). Таким образом, при определении X (Ц, і2) проводится интегрирование по переменной tx при каждом фиксированном значении t2 = jh, j = 1, 2, . . ., N. Расчет rxx (Ц, t2) согласно выражению (159) будет состоять тогда в интегрировании по переменной t2 при каждом фиксированном значе­

Во всех этих вариантах математическое ожидание параметра неизменно и равно 3,0, а стандартное отклонение о меняется от 0,29^ (в первом варианте) до 1,16 (в последнем варианте).

На рис. 17, а показано математическое ожидание x (t) импульсной переход­

ния импульсной переходной функции исследуемой системы для вариантов (161). Обозначения на графиках соответствуют номерам вариантов.'

гft)

ОМ

0,3

0.2

0.1

0

61

2. Линейные системы управления со случайным скачкообразным изменением коэффициентов

Изучение влияния мультипликативной помехи на процесс управления, исследование динамики ненадежных систем автома­ тического управления, а также дискретных автоматических си­ стем со случайным временем съема данных и ряд других задач инженерной практики при их математической формализации сводятся к исследованию статистических свойств решения системы линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффи­ циентами. В этом параграфе проводится анализ решения системы линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты кото­ рой в случайные моменты времени переходят в одно из множества возможных состояний [57, 70, 71, 85,].

Рассмотрим случайный процесс х (t), являющийся решением стохастического дифференциального уравнения

где л: — вектор п измерений; А (t) — матрица переменных коэф­ фициентов размерности [п, п]; В (t) — матрица переменных коэф­ фициентов размерности ln, mV, f \t) — m-мерный случайный про­ цесс типа «белый» шум с известными математическим ожиданием и корреляционной матрицей:

и не зависит от поведения системы, предшествующего моменту t. Под о (А) понимается величина более высокого порядка малости, чем А, так что

62

Таким образом, случайный процесс изменения состояния си­ стемы является чисто разрывным марковским процессом с непре­ рывным временем и конечным числом возможных значений.

Обозначим через р (t) вероятность пребывания исследуемой системы в /-м состоянии в момент времени t. Известно [99], что при сформулированных выше свойствах процесса переключений состояния системы вероятности ps (t), / = 1, 2, . . ., k удовлетво­ ряют системе дифференциальных уравнений

при заданных начальных значениях вероятностей состояний

Рі (0) = Ріо-

Систему уравнений (165) удобно представить в векторно-матрич­ ной форме:

= — SA-/-

/—1

i=fcj

Предполагается, что случайный процесс переключений состоя­ ния системы не связан статистически со случайным внешним воз­ действием.

Случайный процесс х (t) с непрерывным временем может быть рассмотрен как предел случайного процесса х (ІА) с дискретным

временем. Изменения значения процесса х (t) происходят в ди­ скретные моменты времени 0, А, 2А, . . ., /А, . . .:

X (ІА + А) = X (ІА) + [А (ІА) X (ІА) + В (ІА) ф (/А)] А;

В выражении (167) под ф (ІА) понимается дискретный «белый» шум, являющийся допредельной моделью «белого» шума f (t). Статистические характеристики дискретного «белого» шума ф (ІА)

63

связаны со статистическими характеристиками (163) соотноше­ ниями:

Л*[Ф(/Д)] = /(/А);

(168)

М [ср (ІА) ф* ((/А)] = ~ N (ІА) öiq,

где dig — дельта-функция Кронекера:

Матрицы Ä (ІА) и В (ІА), I = 0, 1, 2, . . являются дискрет­ ными аналогами матриц переменных коэффициентов А (t) и В (t).

Матрицы А (ІА), В (ІА) могут принимать любое из k возможных

Процесс переключения состояний матриц А (ІА), В (ІА) яв­ ляется цепью Маркова с конечным числом состояний. Вероятность

перехода матриц А (ІА), В (ІА) из состояния і в момент вре­ мени ІА в состояние j (і ф j) через один интервал дискретности А определяется выражением

Р [/, IА + A I і, ІА] = Ки (ІА) А, і Ф j,

которое связано со статистическими свойствами (164) матриц A (f), В (t). Вероятность сохранения состояния і матриц А (ІА) и В (ІА) через один такт определяется выражением

Р [/, ІА.+ А I і, ІА] = 1 - І I ti m А = 1 + %tt № А.

/=і

і+І

Обозначим вероятность пребывания матриц А (ІА), В (ІА) в/-М состоянии в момент времени/А через ру (ІА), j = 1 , 2 , . . ., k. Для ру (/А), / = 1, 2, . . ., k можно записать следующую систему разностных уравнений:

64

жении (166), перейти к более компактной матричной форме записи системы уравнений (170):

р (/А + А) = р (ІА) + Л* (/А) р (/А) А; р (0) = р0. (171)

Таким образом, построен дискретный во времени случайный

процесс X (ІА), I — 0, 1, 2, . . который может рассматриваться как допредельная форма исследуемого случайного процесса х (t).

даст решение поставленной задачи определения статистических характеристик х (t).

В момент времени ІА (I = 0, 1 , 2 . . . . ) система разностных

уравнений (167), определяющая процесс х (ІА), может находиться в любом из k возможных состояний, поэтому математическое

где M [x (ІА) I i, ІА ] — математическое ожидание процесса x (ІА) при условии, что в момент ІА система находится в состоянии і.

М [X (ІА + А) I /, /А -(- А] =

к

= S М [X (ІА + А) I /, /А + А; і, ІА] Р [і, ІА \ j, ІА + А],

ляется состоянием системы в момент времени ІА и не зависит от ее

к разностному уравнению (167) и проведем его усреднение при условии, что в момент времени /А система находилась в t-м со­

66