книги из ГПНТБ / Методы оптимизации в статистических задачах управления

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1. Линейные стационарные системы со случайными параметрами

В этой главе будут рассмотрены некоторые подходы к анализу систем управления, содержащих случайные параметры и слу­ чайно изменяющиеся во времени коэффициенты.

Точное аналитическое решение задачи анализа автоматических систем со случайными параметрами найдено лишь для простейшей параметрической системы, описываемой линейным дифференциаль­ ным уравнением первого порядка [95, 145]. В других случаях известны лишь приближенные методы анализа. Некоторые из ав­ торов пошли по пути изыскания возможностей сокращения числа испытаний, необходимых для анализа систем со случайными пара­ метрами методом Монте-Карло. Один из подобных алгоритмов определения статистических характеристик выходных координат

Б. Г. Доступовым предлагается проводить испытания в заранее рассчитанных точках, выбор которых связан со статистическими характеристиками случайных параметров. Один из способов вы­ бора расчетных точек для проведения нестатистических испыта­ ний был предложен А. И. Авербухом [1]. Увеличение точности результата, возможная корреляция параметров, а также возра­ стание их числа значительно затрудняют определение расчетных точек и существенно увеличивают объем вычислительной работы.

Еще один метод анализа систем управления со случайными параметрами, основанный на проведении нестатистических испы­ таний, предложен В. И. Чернецким [ПО, 111].

Все перечисленные методы могут быть применены к широкому классу нелинейных автоматических систем со случайными пара­ метрами.

В последние годы широкое развитие получила теория чув­ ствительности [112, 47]. Рядом авторов разработан удобный метод моделирования функции чувствительности для линейных систем со случайными параметрами [48, 19]. Дальнейшее развитие теории чувствительности применительно к системам со случайными пара­ метрами дано в работах Л. Г. Евланова [31, 32]. Следует отметить, что разложение реакции системы в ряд Тейлора по параметрам и

48

ограничение линейной или квадратичной его частью возможно только при малых отклонениях параметров и поэтому при реше­ нии практических задач не всегда дает удовлетворительную точ­ ность. Увеличение же точности за счет старших членов ряда Тейлора приводит к существенному увеличению объема вычис­ лений.

Изложенные методы анализа линейных систем управлеяия со случайными коэффициентами позволяют построить конечную систему дифференциальных уравнений относительно математиче­ ского ожидания, дисперсии и других моментных функций выход­ ных координат системы. Дальнейшее применение средств вычис­ лительной техники дает возможность рассчитать численные зна­ чения этих статистических характеристик.

В этом параграфе будут рассмотрены автоматические системы, математической моделью которых являются линейные дифферен­ циальные уравнения с постоянными коэффициентами. Вследствие неточности реализации систем некоторые параметры не строго фиксированы, а принимают значения из заданной области с опре­ деленным распределением вероятностей. В этом случае параметры, имеющие разброс возможных значений, рассматриваются как случайные величины с известным законом распределения вероят­ ностей. Причиной разброса значений параметров могут быть и непостоянные условия внешней среды, которые неодинаковы в разных реализациях.

Во всех работах, посвященных анализу динамических систем со случайными параметрами, для определения статистических характеристик выходных координат проводится непосредственное усреднение функции случайных аргументов. Пусть, например,

а также метод функций чувствительности представляют собой различные способы приближенного численного интегрирования выражения (128). Эти способы не связаны со свойствами функций X (t, a lt а 2, . . ., ak) и ф [л:] и потому обладают универсаль­ ностью.

Вработах Самуэльса и Эрингена [148, 149] предлагаются приближенные методы исследования линейных систем со случай­ ными свойствами, учитывающие специфику этого класса систем.

Вданном параграфе излагается метод анализа линейных ста­ ционарных систем управления со случайными параметрами при различных предположениях относительно закона распределения параметров [69]. Учет особенностей стационарных линейных систем и закона распределения случайных параметров позволил установить дифференциальное уравнение, которому удовлетво­ ряет математическое ожидание выходной координаты исследуемой системы. Таким образом, однократное решение полученного диф­ ференциального уравнения является достаточным для определе­ ния математического ожидания выходной координаты как функции времени. Корреляционная функция выходной координаты удов­ летворяет интегро-дифференциальному уравнению.

Перейдем к постановке задачи анализа линейной стационарной системы управления со случайными параметрами. Пусть движе­ ние выходной координаты исследуемой системы описывается дифференциальным уравнением в операторной форме

где z (t) — неслучайное внешнее воздействие на систему; "х (t) —

системы.

Рассмотрим вначале случай, когда исследуемая система (129)

50

Плотность распределения вероятностей случайного параметра предполагается принадлежащей следующему классу дифферен­ циальных законов распределения:

где с1( с2 — произвольные постоянные; А — нормирующий мно­ житель; Рд (а) — полином по а степени q. Классу дифференциаль­ ных законов распределения (131) принадлежат: нормальный закон распределения

Свойство (135) может быть установлено путем непосредствен­ ного вычисления М [P’q (а) ф (а)]:

Сг

— А I ф' (а) exp [Pq (а)] da = Аср (с2) exp [Pq (с2)] —

— Ац> (cj) exp \Pq (cj)] — M [cp' (а)].

Поскольку начальное состояние системы (130) предполагается невозмущенным, преобразование Лапласа выходной координаты X (р , а) связано с преобразованием Лапласа входного воздей­

X (р , а) позволил представить зависимость выходной координаты от случайного параметра в явной форме. Математическое ожида­ ние X (р, а) представляет собой преобразование Лапласа мате­

матического ожидания выходной координаты М [х (t, а)] = x(t) (предполагаются выполненными условия, при которых операторы усреднения и преобразования Лапласа коммутативны):

Однако такой способ определейия X (р) привел бы к чрезвы­ чайно громоздким и неудобным в практике результатам. Выра­ жение (135) позволяет установить уравнение, которому удов­

с М [Х'а (р,а)}. Эта связь устанавливается на основании оче­ видного тождества, следующего из формулы (136):

52

Применяя к выражению (138) операцию усреднения по слу­ чайному параметру а и пользуясь коммутативностью этого опе­ ратора и оператора дифференцирования по переменной р, полу­ чим следующее выражение для М [Х'а (р, а)]:

Подставляя выражение (139) в формулу (137), получим

М [Р'ч (а) X (р, а) ] = АХ (р, с2) ехр [Рч (с2) ] —

— А Х (р, сх) exp lPq (сх) ] —

Учитывая формулу (136) и выражение

А ехр 1Р„ (с)] = / (с),

уравнение (140) может быть записано в форме

Рассмотрим частные случаи закона распределения вероятно­ стей случайного параметра а, определяемые формулой (131), Для «усеченного» нормального закона распределения

Учитывая выражение (136) для X (р, а), формулу (142) после простых преобразований можно представить в виде

Теперь на основании (141), (143) можно записать следующее уравнение относительно X (Р):

53

Рис. 11. Блок-схема моделирования х (t) при «усеченном» нормаль­ ном распределении а

Уравнению (144) соответствует структурная схема моделиро­

вания X (t), представленная на рис. 11, где показаны передаточ­ ные функции всех стационарных линейных блоков. При построе­ нии структурной схемы было учтено, что функции-оригиналу (t), где ф (t) имеет изображение ¥ (р), соответствует изобра-

Структурная схема, показанная на рис. 11, соответствует не­ стационарной системе, содержащей переменный коэффициент t. Эта система нелинейна, так как передаточные функции бло­

входного процесса. При определении математического ожидания импульсной переходной функции следует положить Z (р) = 1.

Может оказаться, что в передаточных функциях у'^(р)

и2 (р) степень полинома числителя больше степени поли­

нома знаменателя, что соответствует практически нереализуемым блокам. Это возможно при определенном виде входного про­ цесса z (t), а также когда порядок оператора R (р) превышает

54

Рис. 13. Блок-схема

моделирования х (t) при нормальном зако­ не распределения а

порядок Z (р), т. е. при п 1 > п. Последнее, как отмечалось выше, означает, что отличие от нуля параметра а приводит к увеличе­ нию порядка исследуемой системы. В этих случаях для удобства

реализации модели х (t) на вычислительной машине необходимо провести эквивалентные структурные преобразования, очевидные в каждом конкретном случае. Эти преобразования, в частности, могут быть связаны с промежуточным переходом к обратной си­ стеме. На рис. 12 представлены структурные схемы моделирова­

ния X (/), эквивалентные схеме, показанной на рис. 11. Математическое ожидание х (і) является реакцией систем

на б (t). Характер входного воздействия г (t) на исследуемую си­ стему учтен в блоке с оператором Z (р).

Если распределение случайного параметра а нормально, то

X (р) удовлетворяет уравнению (144), в котором следует поло­ жить сг = —оо, с2 = оо. Поскольку при этом /н (сх) = fH(с2) =

= 0, структурная схема моделирования х (t) может быть пред­ ставлена в виде, изображенном на рис. 13.

Перейдем к другому частному случаю распределения случай­ ного параметра а — экспоненциальному распределению (133). При

55

Рис. 15. Блок-схема моделирования х (t) при равномерном за­ коне распределения а

Операторному уравнению (146) соответствует структурная

схема моделирования х (t), представленная на рис. 15.

Таким образом, уравнение (141) позволяет построить алгоритм моделирования математического ожидания выходной координаты линейной системы с одним случайным параметром, распределен­ ным по закону (131).

Теперь передйем к моделированию корреляционной функции. Составим уравнение относительно второй начальной моментной функции выходной координаты М [х (іг) х (£2)] = rxx (tx, £2), ко­ торая связана с корреляционной функцией известным соотно­ шением

kxx (ti, t2) = rxx (^, t2) — X (tj) X (t2).

Для составления уравнения воспользуемся двумерным преоб­ разованием Лапласа функции х (^) х (t2):

Х 2 (р, <7, а) = X (р, а) X (q, а) =

Ф„ ( p ) V ( p ) Z ( p ) Ф 0 ( q ) V ( q ) Z ( q ) _

Применим к выражению (147) оператор усреднения по пара­ метру а и после простейших преобразований получим уравнение относительно изображения Rxx (р, q) — М [Х2 (р, q, a)l, кото­ рому соответствует функция-оригинал rxx (tlt t2):

t V ( q ) - V ( p ) ] Rxx {p, q) =

Полагая, что изображению К (р) соответствует функция-ори­ гинал V (t), а Фо (р) Z (р) соответствует х0 (^) (выходная коорди­ ната при нулевом значении параметра а), и применяя к выраже-

56