книги из ГПНТБ / Методы оптимизации в статистических задачах управления

координат системы было нормальным; он основан на предположе­ нии о совместном нормальном распределении только тех коорди­ нат, которые поступают на входы нелинейных элементов.

В случае, когда исследуемая система (73) стационарна и устой­ чива, для установившегося режима работы системы уравнения (74)

где Sx (со) и Sz (со) — матрицы спектральных плотностей мощно­ сти векторов X (t) и z (t) соответственно; W (/со) — матрица частот­ ных характеристик линейных звеньев системы.

После несложных преобразований формулы (84) получим урав­ нение:

Е— единичная матрица. Обозначив

[Е + W (—/со) К і ] ' 1 W (—/со) = Ф (—/со);

іГ (/со) [Е + Kl W* (/со)] - 1= Ф* (/со),

27

получим уравнение для определения матрицы спектральных плот­ ностей мощности вектора х (t) в компактной форме:

где

Кг = Кг \тх, Кх (0)]; У (со) = У [тх, Sx (со)].

Для определения матрицы корреляционных моментов, от кото­ рой зависят фо, Кг и можно воспользоваться формулой

СО

Уравнения (82) и (85) вместе с формулой (86) можно решать на ЭВМ методом последовательных приближений, определяя в качестве нулевого приближения математическое ожидание

т і 0) спектральную плотность S*0) (со) и мощности вектора х (t) системы, в которой нелинейные элементы заменены линейными.

После этого вычисляются первые приближения фо1’, /(j1>и ¥ (1) (со), а затем первые приближения и Sx ) (со). Процесс вычислений продолжается до тех пор, пока ф0 и Кг нового приближения будут отличаться от значений предыдущего вычисления на величины, меньше заданных.

Пример 1. Разомкнутая нелинейная система, структурная схема которой представлена.на рис. 6, возмущается нормальным белым шумом g (t) с интен­ сивностью, равной единице, и неслучайным воздействием г.

Определим спектральную плотность мощности процесса на выходе нели­ нейного элемента в установившемся режиме.

Пусть двумерная нелинейная функция имеет вид

Тогда корреляционная функция случайного процесса г (t) в установившемся состоянии определяется формулой

К W = Л , W + "4 <Т) К хМ + т Хгт х г lkXlXl М + **,*, М] +

+ kxt (т) k x 2 СО + (Т) kXiXt (т). (87)

Взяв преобразование Фурье от левой и правой частей формулы (87), получим

Рис. 6. Структурная схема разомкнутой системы, со­ держащей двумерный нелинейный элемент

28

Выразим спектральные плот­ ности мощности процессов на входе блока произведения через частот­ ные характеристики линейных звеньев: ч

метода статистической линеаризации (кривые 2, 4) для различных значений дис­ персий сомножителей при фиксированных средних значениях.

Пример 2. Определим математическое ожидание и корреляционную функ­ цию процесса хг (!) системы, которая рассмотрена в примере предыдущего пара­ графа (рис. 3).

Принимая во внимание формулы (74) и (76), запишем уравнения относительно математических ожиданий и корреляционных функций выходных координат исследуемой системы:

t

29

о

Математические ожидания, входящие в уравнения (89) и (90), при совмест­ ном нормальном распределении выходных координат для нелинейной функции (72) имеют вид:

Уравнения (89), (90) с учетом выражений (91) и (92) были проинтегрированы

приводятся на рис. 8, 9, 10. На рис. 9 и 10 для сравнения показаны математическое ожидание и диспер­ сия выходной координаты Xi (t), определенные методом статистиче­ ских испытаний по тысяче реали­ заций (кривые 2).

thC

Рис. 8. Поверхность корреляцион­ ной функции процесса хг (t) нели­ нейной системы, содержащей дву­ мерный нелинейный элемент

30

4. Применение теории процессов Маркова к анализу, непрерывных систем управления

Широкий класс систем управления описывается дифферен­ циальным уравнением

где вектор-столбец фазовых координат системы х имеет размер­ ность п\ f (t, х) — вектор-функция п измерений; G (t, х) — ма­ трица размерности [п, т). Случайные возмущения, действующие на систему, представлены в формуле (94) в виде вектора-столбца I (t) т измерений. Случайный векторный процесс £ (t) является нормально распределенным белым шумом со следующими ста­ тистическими характеристиками:

Анализ системы, описываемый уравнением (93), предполагает вычисление некоторых показателей точности. Достаточно общей формой такого показателя является

т

1 — М j ф [х (t), t] dt,

о

где ф [х (t), t] — скалярная функция фазовых координат сис­ темы. Обозначим через р (t, х) плотность распределения вероят­ ностей случайного процесса х (t). Тогда

31

где J dx означает я-Кратный интеграл по всем компонентам век­ тора X в пределах от —оо до -foo, т. е.

СОJ dxt соJ dx2. .

В частном случае

Ф Ix (i), t] — X* (t) V (t) X (t) +

+ X* (0 Лх (t) 6 {T — t),

Показатель точности, определяемый выражением (96), зависит только от второй начальной моментной функции Г (t) случайного процесса в то время, как в общем случае [см. формулу (95)] показатель / зависит от закона распределения случайного про­ цесса. Расчет плотности распределения вероятностей р (t, х) случайного процесса х (t) может быть проведен с применением

32

Условная плотность распределения вероятностей марковского процесса х (t) обладает свойством, аналогичным выраженному формулой (97):

(98)

Приведенное определение марковского векторного процесса X (t) означает, что если производится предсказание поведения х (t)

в случае известного измерения только в последний момент вре­ мени 4-і- Иначе говоря, вся информация о марковском процессе сосредоточена в последнем его измерении. Можно сказать и так: будущее марковского процесса независит от его прошлого при

деления вероятностей в момент t при известной реализации про­ цесса X (т), т < s < 4

Согласно известным свойствам многомерного дифференциаль­ ного закона распределения х (t) [82]

Применяя к выражению (99) свойство (98) марковского про­

Таким образом, многомерный дифференциальный закон рас­ пределения вероятностей произвольного порядка k полностью

Случайный процесс х (t) является непрерывным, если за малые интервалы времени он с малой вероятностью получает заметные по величине приращения. Дадим следующее определение непре­ рывности случайного процесса: случайный процесс является не­ прерывным, если для любого п-мерного вектора е, все компоненты которого положительны,

Другое, более жесткое, определение непрерывности случайного процесса состоит в следующем: случайный процесс непрерывен, если для любого п-мерного вектора е, все компоненты которого положительны,

Непрерывные марковские случайные векторныелтроцессы х (t), или процессы диффузионного типа, характеризуются п-мерным вектором коэффициентов сноса с (t, х) и матрицей коэффициентов диффузии Ѳ (t, X) размерности [п, я], которые определяются выражениями:

Ѳ(t, x) — lim -rjM [(x(t -f At)—x (t)) (x) (t -j- At)—

д/->о

— x{t))*\x{t) = x] = Y\m^j f (y — x) (y — x)*p(t + At, y\t, x) dy.

ДГ>0 Af J

( 101)

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия прира­ щения процесса х (t) за время At при условии х (t) = х являются бесконечно малыми величинами порядка At. В дальнейшем будут рассматриваться такие процессы, для которых момецты прира­ щения порядка выше второго являются бесконечно малыми более высокого порядка малости, чем At.

Процесс х (/), описываемый дифференциальным уравнением (93), обладает марковским свойством и является непрерывным [8,

34

74, 88]. Рассчитаем коэффициенты сноса и диффузии этого про­ цесса в следующем частном случае:

[я, я]; г (t) — известная вектор-функция времени размерности я;

Матрица коэффициентов диффузии 0 (t, х) рассчитывается по формуле (101) с использованием выражения (103) и характеристи­

Н, (t). Из этого свойства вытекает отсутствие статистической связи

Расчетами, аналогичными приведенным в формулах (104), (105), можно показать, что для нелинейной системы, описываемой урав­ нением (93) при G (t, х) = В (t) коэффициенты сноса и диффузии определяются соответственно выражениями

2)существуют коэффициенты сноса с (t, х) и диффузии Ѳ{t, х);

3)существуют непрерывные по переменным х, у, t и т < t частные производные

Ö23

дх дх* [Ѳ(/, x)p{t,x\x, у)}-,

36