книги из ГПНТБ / Методы оптимизации в статистических задачах управления

Пусть, например, двумерная нелинейная функция имеет вид

Определим теперь характеристики (33) и (34) нелинейной системы (32). Усредняя уравнение (32) по совокупности, получим дифференциальное уравнение относительно математического ожи­ дания вектора Jt (t):

и принимая во внимание формулу (51), получим дифференциальное уравнение относительно матрицы корреляционных функций век­ тора X (t):

ѵ.'ЦЗЕЬ'ІПГЯР

Так как автокорреляционные функции составляющих вектора X (t) симметричны относительно плоскости, проходящей через биссектрису координатного угла и ось ординат, а их взаимные корреляционные функции обладают свойством

kxtXj {t\> к) — kх .х. (t2, к)>

то для определения матрицы корреляционных функций Кх (tь і2) достаточно решить уравнение (52) в области, где t2■Но при t> 12 второе слагаемое в правой части уравнения (52) равно

k > t 2.

Для решения уравнения (53) необходимо вычислить среднее значение правой части уравнения и задать значения корреля­ ционной матрицы вектора х (t) на границе области интегрирова­

Для определения математических ожиданий в уравнениях (53) и (55) предположим нормальным двумерный закон распределения вектора х (t). Тогда, используя выражение (39), уравнение (55)

торного нелинейного элемента (35) по случайной составляющей вектора на входе, которая при нормальном распределении век­ тора X (t) зависит от вектора тх и дисперсионной матрицы Dx.

18

Нетрудно показать, что при двумерном нормальном распреде­ лении вектора х (t) матрицы взаимных корреляционных функций векторов на входе и выходе нелинейного элемента (35) опреде­ ляются равенствами:

= Kx (h, t2)K\{k).

Для доказательства справедливости равенств (57) рассмотрим векторную нелинейную функцию размерности п, которая имеет вид

где ф (х, П) и Ф (х, t2) — одинаковые векторные нелинейные функции типа выражения (35); и — вектор размерности 2п, ком­ понентами которого являются векторы х (к) и х (t2):

где I КиI — определитель корреляционной матрицы вектора и;

Ки1 — обратная корреляционная матрица того же вектора. Заме­ тим, что корреляционная матрица вектора и на основании фор­ мулы (59) выражается через матрицу корреляционных моментов и корреляционных функций вектора х (t). В самом деле,

Дифференцируя по mu математическое ожидание нелинейной функции (58), выраженное через плотность распределения (60), по аналогии с формулой (44) получим матрицу эквивалентных

статистических коэффициентов усиления этой нелинейной функ­ ции по случайной составляющей вектора и:

которая на основании формулы (58) имеет вид

где Кі (ti) и Ki (f2) — матрицы эквивалентных статистических коэффициентов усиления нелинейного элемента (35) по случай­ ным составляющим векторов х (ti) и х (f2) соответственно.

Запишем матричное равнество (62) в следующей форме:

Предположим теперь, что нелинейная функция (58) зависит только от вектора х (fj), тогда Ki'(t2) в равенстве (63) равна нулю. Принимая во внимание формулу (61) и используя выражение (64), получим

Но при нормальном распределении вектора х (П)

Ki (fa) К» (fa, f2) = М [ф (х, fa) X* (f2)],

что доказывает справедливость первого равенства формулы (57). Транспонируя равенство (64) и предполагая, что нелинейная

функция (58) зависит только от вектора х (f2), получим

На основании транспонированного равенства (39) матричное равенство (66) выполняется, если

Кх (fi, f2) Kl (f2) = M lx (fi) ф* (х, f2)l,

что доказывает справедливость второго равенства формулы (57). Принимая во внимание выражение (57), уравнение (53) запи­

шем в виде

В отличие от линейных систем, для. которых математическое ожидание и дисперсионная матрица вектора фазовых координат определяются из независимых уравнений, уравнения (50) и (56)

20

при нормальном распределении вектора х (t) оказываются свя­ занными функциональными зависимостями

Совместное интегрирование уравнений (50) и (56) с использо­ ванием зависимостей (68) может быть выполнено только с помощью ЦВМ. Причем, однократным решением этой системы определяются математическое ожидание и дисперсионная матрица вектора фазовых координат систем (32). Помимо этого, в процессе реше­ ния этих уравнений определяется матрица эквивалентных коэф­ фициентов усиления векторного нелинейного элемента Кг, которая вместе с матрицей Dx может быть исползована для решения диф­ ференциального уравнения (67). При этом однократным решением дифференциального уравнения (67) определяется сечение корре­ ляционной матрицы вектора х (t) как функция Ц при фиксирован­ ном значении t2. Общее число решений уравнения (67) для опре­

в обыкновенное дифференциальное уравнение относительно корре­ ляционной матрицы вектора фазовых координат

(69)

которое решается при начальных условиях, определяемых си­

Решение системы уравнений (70) может быть выполнено на ЦВМ методом последовательных приближений. В процессе решения этой системы уравнений определяются Кг и Dx, которые исполь­ зуются для решения уравнения (69).

Рассмотрим пример составления дифференциальных уравнений для определения элементов матрицы корреляционных функций выходных координат системы.

Пример. Нелинейная система, изображенная на рис. 3, возмущается в мо­ мент времени t = 0 стационарным белым шумом |( 0 с интенсивностью Q,

21

равной единице, И неслучайным воздействием г (t). Нелинейная система опи­ сывается дифференциальными уравнениями

//у ]

-Ф (Xx, x2)];

(71)

dx2

dt = 41 -2[*i(0-

где cp {xl7 x2) — двумерная нелинейная функция выходных координат системы, имеющая вид:

Предполагая совместный двумерный закон распределения хг (t) и х2 (t) близким к нормальному, построим систему уравнений для определения элементов матрицы корреляционных функций выходных координат системы (71) в переход­ ном режиме.

Принимая во внимание формулу (67) и используя выражения (71) и (72) при двумерном нормальном векторе' л: (t), получим уравнения относительно эле-

Рис. 3. Структурная схема нелинейной системы, содер­ жащей двумерный нелиней­ ный элемент

ментов матрицы корреляционных функций выходных координат системы в об­ ласти, где tx > t2:

dkxx Wh

22

совместно с системой уравнений, определяющих значения корреляционных функ­

3. Интегральный метод анализа точности нелинейных систем

В предыдущем параграфе рассмотрен метод анализа нелиней­ ных многомерных систем, основанный на предположении, что закон распределения вектора фазовых координат известен с точ­ ностью до двух параметров. В настоящем параграфе проводится анализ многомерных нелинейных систем при известном законе распределения вектора на входе нелинейного элемента.

Рассмотрим многомерную нелинейную систему порядка п (рис. 4). Обозначим через х (t)

вектор фазовых координат си­ стемы размерности т на входе нелинейного элемента cp (х, t) той же размерности. Введем ма­ трицу размерности \т, т] им­ пульсных переходных функций W (t, т) линейной части систе­ мы. Тогда вектор х (t) выразит­ ся следующим образом:

где В (т) — матрица переменных коэффициентов размерности [т, /]; z (т) — нормально распределенный вектор случайных воз­ действий размерности / с известными статистическими характе­ ристиками. Начальные условия вектора х (t) предполагаются нулевыми.

Принимая нормальным двумерный закон распределения век­ тора X (t), определим приближенно математическое ожидание и матрицу корреляционных функций этого вектора.

Используя формулу (73), определим математическое ожида-

О

ние тх (t) и центрированный вектор л: (t) через матрицу импульс­ ных переходных функций линейных звеньев:

23

Корреляционную функцию (78) векторного нелинейного эле­ мента ф (х, t) при двумерном нормальном законе распределения вектора х (t) можно представить в виде суммы двух составляющих:

где Ч*- (т, X) — известная функция, которая для определенного вида нелинейного элемента при двумерном нормальном распре­ делении вектора на входе выражается через математическое ожи­ дание и элементы матрицы корреляционных функций этого вектора.

24

Первое слагаемое равенства (79) представляет собой корреля­ ционную функцию векторного нелинейного преобразования, про­ порциональную корреляционной функции вектора х (t), которая получена с помощью статистической линеаризации нелинеййого элемента.

Второе слагаемое этого равенства выражает нелинейные иска­ жения вида корреляционной функции вектора х (t). Это слагаемое представляется разложением в ряд по степеням элементов матрицы корреляционной функции вектора х (t), начиная со вторых сте­ пеней. При этом используется разложение 2«-мерного нормаль­ ного закона распределения по ортогональным полиномам Чебы­ шева—Эрмита. В частном случае, когда нелинейный элемент имеет полиноминальные характеристики, функция 47 может быть определена непосредственно.

В интегральное уравнение (77) входят матрицы коэффициентов

статистической линеаризации Кі (т) и Кі (А) векторного нелиней­ ного элемента по случайной составляющей, а также функция ТР (т, А), которые при двумерном нормальном законе распределе­ ния вектора х (/) являются функциями математического ожидания и матрицы корреляционных функций этого вектора, т. е.

В силу этого интегральное уравнение (77) и уравнение (74) необходимо решать совместно с зависимостями (80).

Систему уравнений (74) и (77) можно решить методом последо­ вательных приближений или проинтегрировать методом квадра­ турных формул на цифровых вычислительных машинах. Исполь­ зуя метод прямоугольников, представим систему уравнений (74) и (77) в следующем виде [2]:

где А — шаг интегрирования по переменным т и А.

25

всегда можно найти значение матрицы Кх (П. h) внутри всего

Чтобы начать вычислительный процесс, достаточно знать зна­ чение матрицы Кх (П. t'è в точке (0, 0). Поскольку в уравнении (73) начальные условия равны нулю, то Кх (0, 0) = 0. Наличие случайных начальных условий в системе (73) не приведет к возник­ новению дополнительных трудностей

26